MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absnegd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absnegd 14799
Description: Absolute value of negative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
absnegd (𝜑 → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absnegd
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 absneg 14627 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6352  cc 10524  -cneg 10860  abscabs 14583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11689  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-abs 14585
This theorem is referenced by:  abelthlem8  24942  tanabsge  25007  abssinper  25021  cxpcn3  25242  abscxpbnd  25247  cosangneg2d  25298  chordthmlem  25323  atantayl  25428  lgamgulmlem2  25521  lgambdd  25528  lgsneg  25811  pntibndlem2  26081  poimirlem29  34788  bddiblnc  34829  ftc1anclem8  34841  binomcxplemnotnn0  40553  neglimc  41793  stirlinglem5  42229  fourierdlem30  42288  fourierdlem39  42297  fourierdlem47  42304  fourierdlem73  42330  etransclem41  42426  hoicvr  42696
  Copyright terms: Public domain W3C validator