Theorem asclf1 43161

Description: Two ways of saying the scalar injection is one-to-one. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclf1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
asclf1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
asclf1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
asclf1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
asclf1.n	⊢ 𝑁 = (0g‘𝑆)
asclf1.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
asclf1.m	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
asclf1	⊢ (𝜑 → (𝐴:𝐾–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐾 ((𝐴‘𝑠) = 0 → 𝑠 = 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑠   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝑆,𝑠   𝐾,𝑠   𝑁,𝑠   0 ,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem asclf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclf1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		asclf1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
3		asclf1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
4		asclf1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 2, 3, 4	asclghm 21992	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑊))
6		asclf1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		asclf1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		asclf1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (0g‘𝑆)
9		asclf1.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10	6, 7, 8, 9	ghmf1 19307	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑊) → (𝐴:𝐾–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐾 ((𝐴‘𝑠) = 0 → 𝑠 = 𝑁)))
11	5, 10	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴:𝐾–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐾 ((𝐴‘𝑠) = 0 → 𝑠 = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  –1-1→wf1 6522  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  Scalarcsca 17303  0_gc0g 17482   GrpHom cghm 19274  Ringcrg 20306  LModclmod 20950  algSccascl 21962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-ghm 19275  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-lmod 20952  df-ascl 21965

This theorem is referenced by: (None)