Theorem abvexp 42522

Description: Move exponentiation in and out of absolute value. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvexp.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvexp.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
abvexp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvexp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
abvexp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
abvexp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
abvexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
abvexp	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))

Proof of Theorem abvexp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvexp.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fvoveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)))
3		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑0)))
5		fvoveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)))
6		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦))
7	5, 6	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)))
8		fvoveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
9		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)))
10	8, 9	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1))))
11		fvoveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)))
12		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))
13	11, 12	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁)))
14		abvexp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
15		abvexp.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
16		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	16, 17	nzrnz 20480	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
20		abvexp.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21	20, 16, 17	abv1z 20789	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
22	14, 19, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
23		abvexp.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
24		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
25		abvexp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
26	24, 25	mgpbas 20110	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
27	24, 16	ringidval 20148	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
28		abvexp.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
29	26, 27, 28	mulg0 19062	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
30	23, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
31	30	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
32	20, 25	abvcl 20781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
33	14, 23, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
35	34	exp0d 14163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)↑0) = 1)
36	22, 31, 35	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑0))
37	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
38		nzrring 20481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
39	24	ringmgp 20204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
40	15, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
42		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
43	23	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
44	26, 28, 41, 42, 43	mulgnn0cld 19083	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
45		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46	20, 25, 45	abvmul 20786	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)))
47	37, 44, 43, 46	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)))
48		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦))
49	48	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
50	47, 49	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
51	24, 45	mgpplusg 20109	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
52	26, 28, 51	mulgnn0p1 19073	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
53	41, 42, 43, 52	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
54	53	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)))
55	34	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
56	55, 42	expp1d 14170	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
57	50, 54, 56	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)))
58	4, 7, 10, 13, 36, 57	nn0indd 12695	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))
59	1, 58	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139  ℕ₀cn0 12506  ↑cexp 14084  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  Mndcmnd 18717  ._gcmg 19055  mulGrpcmgp 20105  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  NzRingcnzr 20477  AbsValcabv 20773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-ico 13373  df-fz 13530  df-seq 14025  df-exp 14085  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mulg 19056  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-nzr 20478  df-abv 20774

This theorem is referenced by:  fiabv  42526