Theorem abvexp 43162

Description: Move exponentiation in and out of absolute value. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvexp.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvexp.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
abvexp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvexp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
abvexp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
abvexp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
abvexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
abvexp	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))

Proof of Theorem abvexp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvexp.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fvoveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)))
3		oveq2 7408	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2781	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑0)))
5		fvoveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)))
6		oveq2 7408	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦))
7	5, 6	eqeq12d 2781	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)))
8		fvoveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
9		oveq2 7408	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)))
10	8, 9	eqeq12d 2781	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1))))
11		fvoveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)))
12		oveq2 7408	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))
13	11, 12	eqeq12d 2781	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁)))
14		abvexp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
15		abvexp.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
16		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	16, 17	nzrnz 20589	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
19	15, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
20		abvexp.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21	20, 16, 17	abv1z 20896	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
22	14, 19, 21	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
23		abvexp.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
24		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
25		abvexp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
26	24, 25	mgpbas 20212	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
27	24, 16	ringidval 20256	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
28		abvexp.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
29	26, 27, 28	mulg0 19131	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
30	23, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
31	30	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
32	20, 25	abvcl 20888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
33	14, 23, 32	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11225	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
35	34	exp0d 14167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)↑0) = 1)
36	22, 31, 35	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑0))
37	14	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
38		nzrring 20590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
39	24	ringmgp 20312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
40	15, 38, 39	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
41	40	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
42		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
43	23	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
44	26, 28, 41, 42, 43	mulgnn0cld 19152	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
45		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46	20, 25, 45	abvmul 20893	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)))
47	37, 44, 43, 46	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)))
48		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦))
49	48	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
50	47, 49	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
51	24, 45	mgpplusg 20211	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
52	26, 28, 51	mulgnn0p1 19142	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
53	41, 42, 43, 52	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
54	53	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)))
55	34	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
56	55, 42	expp1d 14174	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
57	50, 54, 56	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)))
58	4, 7, 10, 13, 36, 57	nn0indd 12684	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))
59	1, 58	mpdan 699	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  ℕ₀cn0 12495  ↑cexp 14088  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  0_gc0g 17482  Mndcmnd 18782  ._gcmg 19124  mulGrpcmgp 20207  1_rcur 20254  Ringcrg 20306  NzRingcnzr 20586  AbsValcabv 20880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-ico 13369  df-fz 13527  df-seq 14029  df-exp 14089  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mulg 19125  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-nzr 20587  df-abv 20881

This theorem is referenced by:  fiabv  43166