Theorem abvexp 43789

Description: Move exponentiation in and out of absolute value. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvexp.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvexp.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
abvexp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvexp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
abvexp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
abvexp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
abvexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
abvexp	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))

Proof of Theorem abvexp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvexp.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fvoveq1 7466	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)))
3		oveq2 7451	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑0)))
5		fvoveq1 7466	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)))
6		oveq2 7451	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦))
7	5, 6	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)))
8		fvoveq1 7466	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
9		oveq2 7451	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)))
10	8, 9	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1))))
11		fvoveq1 7466	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)))
12		oveq2 7451	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))
13	11, 12	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁)))
14		abvexp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
15		abvexp.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
16		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	16, 17	nzrnz 20795	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
19	15, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
20		abvexp.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21	20, 16, 17	abv1z 21111	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
22	14, 19, 21	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
23		abvexp.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
24		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
25		abvexp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
26	24, 25	mgpbas 20395	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
27	24, 16	ringidval 20439	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
28		abvexp.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
29	26, 27, 28	mulg0 19313	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
30	23, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
31	30	fveq2d 6912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
32	20, 25	abvcl 21103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
33	14, 23, 32	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
35	34	exp0d 14310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)↑0) = 1)
36	22, 31, 35	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑0))
37	14	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
38		nzrring 20796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
39	24	ringmgp 20495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
40	15, 38, 39	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
41	40	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
42		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
43	23	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
44	26, 28, 41, 42, 43	mulgnn0cld 19334	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
45		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46	20, 25, 45	abvmul 21108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)))
47	37, 44, 43, 46	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)))
48		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦))
49	48	oveq1d 7458	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
50	47, 49	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
51	24, 45	mgpplusg 20394	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
52	26, 28, 51	mulgnn0p1 19324	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
53	41, 42, 43, 52	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
54	53	fveq2d 6912	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)))
55	34	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
56	55, 42	expp1d 14317	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
57	50, 54, 56	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)))
58	4, 7, 10, 13, 36, 57	nn0indd 12823	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))
59	1, 58	mpdan 700	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232  ℕ₀cn0 12633  ↑cexp 14231  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  0_gc0g 17639  Mndcmnd 18952  ._gcmg 19306  mulGrpcmgp 20390  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  NzRingcnzr 20792  AbsValcabv 21095

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-ico 13509  df-fz 13667  df-seq 14172  df-exp 14232  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mulg 19307  df-mgp 20391  df-ur 20438  df-ring 20491  df-nzr 20793  df-abv 21096

This theorem is used by:  fiabv  43793