Theorem abvexp 42505

Description: Move exponentiation in and out of absolute value. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvexp.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvexp.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
abvexp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvexp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
abvexp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
abvexp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
abvexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
abvexp	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))

Proof of Theorem abvexp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvexp.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fvoveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)))
3		oveq2 7361	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑0)))
5		fvoveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)))
6		oveq2 7361	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦))
7	5, 6	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)))
8		fvoveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
9		oveq2 7361	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)))
10	8, 9	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1))))
11		fvoveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)))
12		oveq2 7361	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))
13	11, 12	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁)))
14		abvexp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
15		abvexp.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
16		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	16, 17	nzrnz 20418	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
20		abvexp.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21	20, 16, 17	abv1z 20727	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
22	14, 19, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
23		abvexp.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
24		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
25		abvexp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
26	24, 25	mgpbas 20048	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
27	24, 16	ringidval 20086	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
28		abvexp.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
29	26, 27, 28	mulg0 18971	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
30	23, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
31	30	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
32	20, 25	abvcl 20719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
33	14, 23, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
35	34	exp0d 14065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)↑0) = 1)
36	22, 31, 35	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑0))
37	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
38		nzrring 20419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
39	24	ringmgp 20142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
40	15, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
42		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
43	23	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
44	26, 28, 41, 42, 43	mulgnn0cld 18992	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
45		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46	20, 25, 45	abvmul 20724	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)))
47	37, 44, 43, 46	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)))
48		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦))
49	48	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
50	47, 49	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
51	24, 45	mgpplusg 20047	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
52	26, 28, 51	mulgnn0p1 18982	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
53	41, 42, 43, 52	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
54	53	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)))
55	34	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
56	55, 42	expp1d 14072	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
57	50, 54, 56	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)))
58	4, 7, 10, 13, 36, 57	nn0indd 12591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))
59	1, 58	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  ℕ₀cn0 12402  ↑cexp 13986  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  Mndcmnd 18626  ._gcmg 18964  mulGrpcmgp 20043  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  NzRingcnzr 20415  AbsValcabv 20711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-ico 13272  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mulg 18965  df-mgp 20044  df-ur 20085  df-ring 20138  df-nzr 20416  df-abv 20712

This theorem is referenced by:  fiabv  42509