Theorem abvexp 42542

Description: Move exponentiation in and out of absolute value. (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvexp.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvexp.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
abvexp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvexp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
abvexp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
abvexp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
abvexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
abvexp	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))

Proof of Theorem abvexp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvexp.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fvoveq1 7454	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)))
3		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑0)))
5		fvoveq1 7454	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)))
6		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦))
7	5, 6	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)))
8		fvoveq1 7454	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)))
9		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)))
10	8, 9	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1))))
11		fvoveq1 7454	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)))
12		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))
13	11, 12	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑥 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁)))
14		abvexp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
15		abvexp.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	16, 17	nzrnz 20515	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
20		abvexp.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21	20, 16, 17	abv1z 20825	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
22	14, 19, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
23		abvexp.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
24		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
25		abvexp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
26	24, 25	mgpbas 20142	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
27	24, 16	ringidval 20180	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
28		abvexp.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
29	26, 27, 28	mulg0 19092	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
30	23, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
31	30	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
32	20, 25	abvcl 20817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
33	14, 23, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
35	34	exp0d 14180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)↑0) = 1)
36	22, 31, 35	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑0))
37	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
38		nzrring 20516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
39	24	ringmgp 20236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
40	15, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
42		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
43	23	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
44	26, 28, 41, 42, 43	mulgnn0cld 19113	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
45		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46	20, 25, 45	abvmul 20822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)))
47	37, 44, 43, 46	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)))
48		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦))
49	48	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) · (𝐹‘𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
50	47, 49	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
51	24, 45	mgpplusg 20141	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
52	26, 28, 51	mulgnn0p1 19103	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
53	41, 42, 43, 52	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
54	53	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = (𝐹‘((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)))
55	34	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
56	55, 42	expp1d 14187	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)) = (((𝐹‘𝑋)↑𝑦) · (𝐹‘𝑋)))
57	50, 54, 56	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑦 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑦)) → (𝐹‘((𝑦 + 1) ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑(𝑦 + 1)))
58	4, 7, 10, 13, 36, 57	nn0indd 12715	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))
59	1, 58	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  ℕ₀cn0 12526  ↑cexp 14102  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747  ._gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  NzRingcnzr 20512  AbsValcabv 20809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-ico 13393  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mulg 19086  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-nzr 20513  df-abv 20810

This theorem is referenced by:  fiabv  42546