Theorem axcontlem11 29305

Description: Lemma for axcont 29307. Eliminate the hypotheses from axcontlem10 29304. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcontlem11	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑥   𝐵,𝑏,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑥,𝑦   𝑈,𝑏,𝑥,𝑦   𝑍,𝑏,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem axcontlem11

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 4840	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ⟨𝑍, 𝑞⟩ = ⟨𝑍, 𝑝⟩)
2	1	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ↔ 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩))
3		breq1 5113	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩ ↔ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))
4	2, 3	orbi12d 931	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩) ↔ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
5	4	cbvrabv 3426	. 2 ⊢ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧‘𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑗)))))} = {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧‘𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑗)))))}
7	6	axcontlem1 29295	. 2 ⊢ {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧‘𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑗)))))} = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
8	5, 7	axcontlem10 29304	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ⟨cop 4596   class class class wbr 5110  {copab 5174  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  +∞cpnf 11241   − cmin 11442  ℕcn 12234  [,)cico 13375  ...cfz 13536  𝔼cee 29218   Btwn cbtwn 29219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-z 12593  df-uz 12864  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-ee 29221  df-btwn 29222

This theorem is referenced by:  axcontlem12  29306