Theorem axcontlem11 29558

Description: Lemma for axcont 29560. Eliminate the hypotheses from axcontlem10 29557. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcontlem11	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑥   𝐵,𝑏,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑥,𝑦   𝑈,𝑏,𝑥,𝑦   𝑍,𝑏,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem axcontlem11

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 4840	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ⟨𝑍, 𝑞⟩ = ⟨𝑍, 𝑝⟩)
2	1	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ↔ 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩))
3		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩ ↔ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))
4	2, 3	orbi12d 932	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩) ↔ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
5	4	cbvrabv 3422	. 2 ⊢ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧‘𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑗)))))} = {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧‘𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑗)))))}
7	6	axcontlem1 29548	. 2 ⊢ {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧‘𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑗)))))} = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
8	5, 7	axcontlem10 29557	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  {copab 5166  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209  +∞cpnf 11344   − cmin 11545  ℕcn 12339  [,)cico 13482  ...cfz 13643  𝔼cee 29471   Btwn cbtwn 29472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-z 12698  df-uz 12970  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-ee 29474  df-btwn 29475

This theorem is used by:  axcontlem12  29559