Theorem axcontlem11 29004

Description: Lemma for axcont 29006. Eliminate the hypotheses from axcontlem10 29003. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcontlem11	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑥   𝐵,𝑏,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑥,𝑦   𝑈,𝑏,𝑥,𝑦   𝑍,𝑏,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem axcontlem11

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 4879	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ⟨𝑍, 𝑞⟩ = ⟨𝑍, 𝑝⟩)
2	1	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ↔ 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩))
3		breq1 5151	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩ ↔ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))
4	2, 3	orbi12d 918	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩) ↔ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
5	4	cbvrabv 3444	. 2 ⊢ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
6		eqid 2735	. . 3 ⊢ {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧‘𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑗)))))} = {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧‘𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑗)))))}
7	6	axcontlem1 28994	. 2 ⊢ {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧‘𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑗)))))} = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
8	5, 7	axcontlem10 29003	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  {copab 5210  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290   − cmin 11490  ℕcn 12264  [,)cico 13386  ...cfz 13544  𝔼cee 28918   Btwn cbtwn 28919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-z 12612  df-uz 12877  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-ee 28921  df-btwn 28922

This theorem is referenced by:  axcontlem12  29005