Theorem axcontlem11 26867

Description: Lemma for axcont 26869. Eliminate the hypotheses from axcontlem10 26866. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcontlem11	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑥   𝐵,𝑏,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑥,𝑦   𝑈,𝑏,𝑥,𝑦   𝑍,𝑏,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem axcontlem11

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 4763	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ⟨𝑍, 𝑞⟩ = ⟨𝑍, 𝑝⟩)
2	1	breq2d 5044	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ↔ 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩))
3		breq1 5035	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩ ↔ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))
4	2, 3	orbi12d 916	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩) ↔ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
5	4	cbvrabv 3404	. 2 ⊢ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
6		eqid 2758	. . 3 ⊢ {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧‘𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑗)))))} = {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧‘𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑗)))))}
7	6	axcontlem1 26857	. 2 ⊢ {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧‘𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑟 · (𝑈‘𝑗)))))} = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
8	5, 7	axcontlem10 26866	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  ⟨cop 4528   class class class wbr 5032  {copab 5094  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580  +∞cpnf 10710   − cmin 10908  ℕcn 11674  [,)cico 12781  ...cfz 12939  𝔼cee 26781   Btwn cbtwn 26782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-z 12021  df-uz 12283  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-ee 26784  df-btwn 26785

This theorem is referenced by:  axcontlem12  26868