MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem12 28858
Description: Lemma for axcont 28859. Eliminate the trivial cases from the previous lemmas. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcontlem12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑥   𝐵,𝑏,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑥,𝑦   𝑍,𝑏,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem axcontlem12
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rzal 4510 . . . . . . . . 9 (𝐵 = ∅ → ∀𝑦𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
21ralrimivw 3139 . . . . . . . 8 (𝐵 = ∅ → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
3 breq1 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑍 → (𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
432ralbidv 3208 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑍 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
54rspcev 3606 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
65expcom 412 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
72, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 = ∅ → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
87adantld 489 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
98adantld 489 . . . . 5 (𝐵 = ∅ → (((𝑢𝐴𝑍𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
10 simprrl 779 . . . . . . 7 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢𝐴𝑍𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)))
11 simprrr 780 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢𝐴𝑍𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
12 simprll 777 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢𝐴𝑍𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑢𝐴)
13 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢𝐴𝑍𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ≠ ∅)
1411, 12, 133jca 1125 . . . . . . 7 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢𝐴𝑍𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑢𝐴𝐵 ≠ ∅))
15 simprlr 778 . . . . . . 7 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢𝐴𝑍𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑍𝑢)
16 axcontlem11 28857 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑢𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑢)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
1710, 14, 15, 16syl12anc 835 . . . . . 6 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢𝐴𝑍𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
1817ex 411 . . . . 5 (𝐵 ≠ ∅ → (((𝑢𝐴𝑍𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
199, 18pm2.61ine 3014 . . . 4 (((𝑢𝐴𝑍𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
2019ex 411 . . 3 ((𝑢𝐴𝑍𝑢) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
2120rexlimiva 3136 . 2 (∃𝑢𝐴 𝑍𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
22 df-ne 2930 . . . . . 6 (𝑍𝑢 ↔ ¬ 𝑍 = 𝑢)
2322con2bii 356 . . . . 5 (𝑍 = 𝑢 ↔ ¬ 𝑍𝑢)
2423ralbii 3082 . . . 4 (∀𝑢𝐴 𝑍 = 𝑢 ↔ ∀𝑢𝐴 ¬ 𝑍𝑢)
25 ralnex 3061 . . . 4 (∀𝑢𝐴 ¬ 𝑍𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢𝐴 𝑍𝑢)
2624, 25bitri 274 . . 3 (∀𝑢𝐴 𝑍 = 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢𝐴 𝑍𝑢)
27 simpr3 1193 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)
28 eqeq2 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑥 → (𝑍 = 𝑢𝑍 = 𝑥))
2928rspccva 3605 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑢𝐴 𝑍 = 𝑢𝑥𝐴) → 𝑍 = 𝑥)
30 opeq1 4875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 = 𝑥 → ⟨𝑍, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
3130breq2d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 = 𝑥 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
32 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 = 𝑥 → (𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
3331, 32bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑥 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
3433ralbidv 3167 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = 𝑥 → (∀𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑦𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
3529, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((∀𝑢𝐴 𝑍 = 𝑢𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑦𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
3635ralbidva 3165 . . . . . . . 8 (∀𝑢𝐴 𝑍 = 𝑢 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
3736biimpa 475 . . . . . . 7 ((∀𝑢𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
3827, 37sylan2 591 . . . . . 6 ((∀𝑢𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩))) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
3938, 5sylan2 591 . . . . 5 ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (∀𝑢𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
4039ancoms 457 . . . 4 (((∀𝑢𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩))) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
4140expl 456 . . 3 (∀𝑢𝐴 𝑍 = 𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
4226, 41sylbir 234 . 2 (¬ ∃𝑢𝐴 𝑍𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
4321, 42pm2.61i 182 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  wss 3944  c0 4322  cop 4636   class class class wbr 5149  cfv 6549  cn 12245  𝔼cee 28771   Btwn cbtwn 28772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-z 12592  df-uz 12856  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-ee 28774  df-btwn 28775
This theorem is referenced by:  axcont  28859
  Copyright terms: Public domain W3C validator