Theorem axcontlem12 26444

Description: Lemma for axcont 26445. Eliminate the trivial cases from the previous lemmas. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcontlem12	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑥   𝐵,𝑏,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑥,𝑦   𝑍,𝑏,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem axcontlem12

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rzal 4367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
2	1	ralrimivw 3150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
3		breq1 4965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
4	3	2ralbidv 3166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
5	4	rspcev 3559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
6	5	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
7	2, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
8	7	adantld 491	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
9	8	adantld 491	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
10		simprrl 777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)))
11		simprrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simprll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
13		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ≠ ∅)
14	11, 12, 13	3jca 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
15		simprlr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑍 ≠ 𝑢)
16		axcontlem11 26443	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑢)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
17	10, 14, 15, 16	syl12anc 833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
18	17	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
19	9, 18	pm2.61ine 3068	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
20	19	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
21	20	rexlimiva 3244	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
22		df-ne 2985	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ≠ 𝑢 ↔ ¬ 𝑍 = 𝑢)
23	22	con2bii 359	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = 𝑢 ↔ ¬ 𝑍 ≠ 𝑢)
24	23	ralbii 3132	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ¬ 𝑍 ≠ 𝑢)
25		ralnex 3200	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 ¬ 𝑍 ≠ 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢)
26	24, 25	bitri 276	. . 3 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢)
27		simpr3 1189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)
28		eqeq2 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑍 = 𝑢 ↔ 𝑍 = 𝑥))
29	28	rspccva 3558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑍 = 𝑥)
30		opeq1 4710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → ⟨𝑍, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
31	30	breq2d 4974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
32		breq1 4965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
33	31, 32	bitr4d 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
34	33	ralbidv 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
35	29, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
36	35	ralbidva 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
37	36	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
38	27, 37	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
39	38, 5	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
40	39	ancoms 459	. . . 4 ⊢ (((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩))) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
41	40	expl 458	. . 3 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
42	26, 41	sylbir 236	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
43	21, 42	pm2.61i 183	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∀wral 3105  ∃wrex 3106   ⊆ wss 3859  ∅c0 4211  ⟨cop 4478   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  ℕcn 11486  𝔼cee 26357   Btwn cbtwn 26358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-z 11830  df-uz 12094  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-ee 26360  df-btwn 26361

This theorem is referenced by:  axcont  26445