Theorem axcontlem12 28222

Description: Lemma for axcont 28223. Eliminate the trivial cases from the previous lemmas. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcontlem12	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑥   𝐵,𝑏,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑥,𝑦   𝑍,𝑏,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem axcontlem12

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rzal 4507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
2	1	ralrimivw 3150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
3		breq1 5150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
4	3	2ralbidv 3218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
5	4	rspcev 3612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
6	5	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
7	2, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
8	7	adantld 491	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
9	8	adantld 491	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
10		simprrl 779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)))
11		simprrr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simprll 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
13		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ≠ ∅)
14	11, 12, 13	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
15		simprlr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑍 ≠ 𝑢)
16		axcontlem11 28221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑢)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
17	10, 14, 15, 16	syl12anc 835	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
18	17	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
19	9, 18	pm2.61ine 3025	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
20	19	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
21	20	rexlimiva 3147	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
22		df-ne 2941	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ≠ 𝑢 ↔ ¬ 𝑍 = 𝑢)
23	22	con2bii 357	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = 𝑢 ↔ ¬ 𝑍 ≠ 𝑢)
24	23	ralbii 3093	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ¬ 𝑍 ≠ 𝑢)
25		ralnex 3072	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 ¬ 𝑍 ≠ 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢)
26	24, 25	bitri 274	. . 3 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢)
27		simpr3 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)
28		eqeq2 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑍 = 𝑢 ↔ 𝑍 = 𝑥))
29	28	rspccva 3611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑍 = 𝑥)
30		opeq1 4872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → ⟨𝑍, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
31	30	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
32		breq1 5150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
33	31, 32	bitr4d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
34	33	ralbidv 3177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
35	29, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
36	35	ralbidva 3175	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
37	36	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
38	27, 37	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
39	38, 5	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
40	39	ancoms 459	. . . 4 ⊢ (((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩))) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
41	40	expl 458	. . 3 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
42	26, 41	sylbir 234	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
43	21, 42	pm2.61i 182	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ⟨cop 4633   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  ℕcn 12208  𝔼cee 28135   Btwn cbtwn 28136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-z 12555  df-uz 12819  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-ee 28138  df-btwn 28139

This theorem is referenced by:  axcont  28223