Theorem axcontlem12 28858

Description: Lemma for axcont 28859. Eliminate the trivial cases from the previous lemmas. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcontlem12	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑥   𝐵,𝑏,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑥,𝑦   𝑍,𝑏,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem axcontlem12

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rzal 4510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
2	1	ralrimivw 3139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
3		breq1 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
4	3	2ralbidv 3208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
5	4	rspcev 3606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
6	5	expcom 412	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
7	2, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
8	7	adantld 489	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
9	8	adantld 489	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
10		simprrl 779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)))
11		simprrr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simprll 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
13		simpl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ≠ ∅)
14	11, 12, 13	3jca 1125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
15		simprlr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑍 ≠ 𝑢)
16		axcontlem11 28857	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑢)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
17	10, 14, 15, 16	syl12anc 835	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
18	17	ex 411	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
19	9, 18	pm2.61ine 3014	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
20	19	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
21	20	rexlimiva 3136	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
22		df-ne 2930	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ≠ 𝑢 ↔ ¬ 𝑍 = 𝑢)
23	22	con2bii 356	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = 𝑢 ↔ ¬ 𝑍 ≠ 𝑢)
24	23	ralbii 3082	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ¬ 𝑍 ≠ 𝑢)
25		ralnex 3061	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 ¬ 𝑍 ≠ 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢)
26	24, 25	bitri 274	. . 3 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢)
27		simpr3 1193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)
28		eqeq2 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑍 = 𝑢 ↔ 𝑍 = 𝑥))
29	28	rspccva 3605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑍 = 𝑥)
30		opeq1 4875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → ⟨𝑍, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
31	30	breq2d 5161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
32		breq1 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
33	31, 32	bitr4d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
34	33	ralbidv 3167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
35	29, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
36	35	ralbidva 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
37	36	biimpa 475	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
38	27, 37	sylan2 591	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
39	38, 5	sylan2 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
40	39	ancoms 457	. . . 4 ⊢ (((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩))) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
41	40	expl 456	. . 3 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
42	26, 41	sylbir 234	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
43	21, 42	pm2.61i 182	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  ⟨cop 4636   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  ℕcn 12245  𝔼cee 28771   Btwn cbtwn 28772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-z 12592  df-uz 12856  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-ee 28774  df-btwn 28775

This theorem is referenced by:  axcont  28859