Theorem axcontlem12 27698

Description: Lemma for axcont 27699. Eliminate the trivial cases from the previous lemmas. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcontlem12	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑥   𝐵,𝑏,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑥,𝑦   𝑍,𝑏,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem axcontlem12

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rzal 4461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
2	1	ralrimivw 3145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
3		breq1 5103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
4	3	2ralbidv 3210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
5	4	rspcev 3576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
6	5	expcom 415	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
7	2, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
8	7	adantld 492	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
9	8	adantld 492	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
10		simprrl 779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)))
11		simprrr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simprll 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
13		simpl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ≠ ∅)
14	11, 12, 13	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
15		simprlr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑍 ≠ 𝑢)
16		axcontlem11 27697	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑢)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
17	10, 14, 15, 16	syl12anc 835	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
18	17	ex 414	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
19	9, 18	pm2.61ine 3026	. . . 4 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
20	19	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑢) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
21	20	rexlimiva 3142	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
22		df-ne 2942	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ≠ 𝑢 ↔ ¬ 𝑍 = 𝑢)
23	22	con2bii 358	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = 𝑢 ↔ ¬ 𝑍 ≠ 𝑢)
24	23	ralbii 3094	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ¬ 𝑍 ≠ 𝑢)
25		ralnex 3073	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 ¬ 𝑍 ≠ 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢)
26	24, 25	bitri 275	. . 3 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢)
27		simpr3 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)
28		eqeq2 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑍 = 𝑢 ↔ 𝑍 = 𝑥))
29	28	rspccva 3575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑍 = 𝑥)
30		opeq1 4825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → ⟨𝑍, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
31	30	breq2d 5112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
32		breq1 5103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
33	31, 32	bitr4d 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
34	33	ralbidv 3172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
35	29, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
36	35	ralbidva 3170	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
37	36	biimpa 478	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
38	27, 37	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑍 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
39	38, 5	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
40	39	ancoms 460	. . . 4 ⊢ (((∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩))) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
41	40	expl 459	. . 3 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 = 𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
42	26, 41	sylbir 234	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑍 ≠ 𝑢 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
43	21, 42	pm2.61i 182	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3905  ∅c0 4277  ⟨cop 4587   class class class wbr 5100  ‘cfv 6488  ℕcn 12083  𝔼cee 27611   Btwn cbtwn 27612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-er 8578  df-map 8697  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-z 12430  df-uz 12693  df-ico 13195  df-icc 13196  df-fz 13350  df-ee 27614  df-btwn 27615

This theorem is referenced by:  axcont  27699