Theorem axlowdimlem5 28880

Description: Lemma for axlowdim 28895. Show that a particular union is a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axlowdimlem4.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
axlowdimlem4.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem5	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem4.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		axlowdimlem4.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3	1, 2	axlowdimlem4 28879	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ
4		axlowdimlem1 28876	. . . . 5 ⊢ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ
5	3, 4	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ ∧ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ)
6		axlowdimlem2 28877	. . . 4 ⊢ ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅
7		fun2 6726	. . . 4 ⊢ ((({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ ∧ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ) ∧ ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):((1...2) ∪ (3...𝑁))⟶ℝ)
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . 3 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):((1...2) ∪ (3...𝑁))⟶ℝ
9		axlowdimlem3 28878	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁)))
10	9	feq2d 6675	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):((1...2) ∪ (3...𝑁))⟶ℝ))
11	8, 10	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
12		eluz2nn 12854	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		elee 28828	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
15	11, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916  ∅c0 4299  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cop 4598   × cxp 5639  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  𝔼cee 28822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-ee 28825

This theorem is referenced by:  axlowdimlem6  28881  axlowdimlem17  28892  axlowdim2  28894  axlowdim  28895