Theorem axlowdimlem5 29506

Description: Lemma for axlowdim 29521. Show that a particular union is a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axlowdimlem4.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
axlowdimlem4.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem5	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem4.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		axlowdimlem4.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3	1, 2	axlowdimlem4 29505	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ
4		axlowdimlem1 29502	. . . . 5 ⊢ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ
5	3, 4	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ ∧ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ)
6		axlowdimlem2 29503	. . . 4 ⊢ ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅
7		fun2 6737	. . . 4 ⊢ ((({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ ∧ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ) ∧ ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):((1...2) ∪ (3...𝑁))⟶ℝ)
8	5, 6, 7	mp2an 705	. . 3 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):((1...2) ∪ (3...𝑁))⟶ℝ
9		axlowdimlem3 29504	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁)))
10	9	feq2d 6685	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):((1...2) ∪ (3...𝑁))⟶ℝ))
11	8, 10	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
12		eluz2nn 12996	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		elee 29453	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
14	12, 13	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
15	11, 14	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590   × cxp 5649  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182  ℕcn 12316  2c2 12378  3c3 12379  ℤ_≥cuz 12946  ...cfz 13620  𝔼cee 29447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-ee 29450

This theorem is used by:  axlowdimlem6  29507  axlowdimlem17  29518  axlowdim2  29520  axlowdim  29521