Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdim2 26854
 Description: The lower two-dimensional axiom. In any space where the dimension is greater than one, there are three non-colinear points. Axiom A8 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
axlowdim2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧

Proof of Theorem axlowdim2
StepHypRef Expression
1 0re 10682 . . 3 0 ∈ ℝ
21, 1axlowdimlem5 26840 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
3 1re 10680 . . 3 1 ∈ ℝ
43, 1axlowdimlem5 26840 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
51, 3axlowdimlem5 26840 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
6 eqid 2759 . . . 4 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
7 eqid 2759 . . . 4 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
8 eqid 2759 . . . 4 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
96, 7, 8axlowdimlem6 26841 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
10 opeq2 4764 . . . . . . 7 (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ = ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)
1110breq2d 5045 . . . . . 6 (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
12 opeq1 4762 . . . . . . 7 (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ = ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)
1312breq2d 5045 . . . . . 6 (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
14 breq1 5036 . . . . . 6 (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
1511, 13, 143orbi123d 1433 . . . . 5 (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩) ↔ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)))
1615notbid 322 . . . 4 (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩) ↔ ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)))
1716rspcev 3542 . . 3 ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)) → ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
185, 9, 17syl2anc 588 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
19 breq1 5036 . . . . . 6 (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩))
20 opeq2 4764 . . . . . . 7 (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ⟨𝑧, 𝑥⟩ = ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)
2120breq2d 5045 . . . . . 6 (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ↔ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
22 opeq1 4762 . . . . . . 7 (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩)
2322breq2d 5045 . . . . . 6 (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩))
2419, 21, 233orbi123d 1433 . . . . 5 (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ((𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩)))
2524notbid 322 . . . 4 (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (¬ (𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩)))
2625rexbidv 3222 . . 3 (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩)))
27 opeq1 4762 . . . . . . 7 (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ = ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩)
2827breq2d 5045 . . . . . 6 (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩))
29 breq1 5036 . . . . . 6 (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
30 opeq2 4764 . . . . . . 7 (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩ = ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)
3130breq2d 5045 . . . . . 6 (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩ ↔ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
3228, 29, 313orbi123d 1433 . . . . 5 (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩) ↔ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)))
3332notbid 322 . . . 4 (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩) ↔ ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)))
3433rexbidv 3222 . . 3 (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)))
3526, 34rspc2ev 3554 . 2 ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
362, 4, 18, 35syl3anc 1369 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3072   ∪ cun 3857  {csn 4523  {cpr 4525  ⟨cop 4529   class class class wbr 5033   × cxp 5523  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  0cc0 10576  1c1 10577  2c2 11730  3c3 11731  ℤ≥cuz 12283  ...cfz 12940  𝔼cee 26782   Btwn cbtwn 26783 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-icc 12787  df-fz 12941  df-seq 13420  df-exp 13481  df-ee 26785  df-btwn 26786 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator