Theorem axlowdim2 28894

Description: The lower two-dimensional axiom. In any space where the dimension is greater than one, there are three non-colinear points. Axiom A8 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axlowdim2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧

Proof of Theorem axlowdim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11183	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1, 1	axlowdimlem5 28880	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
3		1re 11181	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3, 1	axlowdimlem5 28880	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
5	1, 3	axlowdimlem5 28880	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
8		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))
9	6, 7, 8	axlowdimlem6 28881	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
10		opeq2 4841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ = ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)
11	10	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
12		opeq1 4840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ = ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)
13	12	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
14		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
15	11, 13, 14	3orbi123d 1437	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩) ↔ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)))
16	15	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩) ↔ ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)))
17	16	rspcev 3591	. . 3 ⊢ ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 1⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)) → ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
18	5, 9, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
19		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩))
20		opeq2 4841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ⟨𝑧, 𝑥⟩ = ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)
21	20	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ↔ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
22		opeq1 4840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩)
23	22	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩))
24	19, 21, 23	3orbi123d 1437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ((𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩)))
25	24	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (¬ (𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩)))
26	25	rexbidv 3158	. . 3 ⊢ (𝑥 = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩)))
27		opeq1 4840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ = ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩)
28	27	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩))
29		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
30		opeq2 4841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩ = ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)
31	30	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩ ↔ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩))
32	28, 29, 31	3orbi123d 1437	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩) ↔ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)))
33	32	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩) ↔ ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)))
34	33	rexbidv 3158	. . 3 ⊢ (𝑦 = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) → (∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑦⟩) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)))
35	26, 34	rspc2ev 3604	. 2 ⊢ ((({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), 𝑧⟩ ∨ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) Btwn ⟨𝑧, ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})), ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 0⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0}))⟩)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
36	2, 4, 18, 35	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ¬ (𝑥 Btwn ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑧, 𝑥⟩ ∨ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ∪ cun 3915  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076  2c2 12248  3c3 12249  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  𝔼cee 28822   Btwn cbtwn 28823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-icc 13320  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-ee 28825  df-btwn 28826

This theorem is referenced by: (None)