Theorem cgrrflxd 32999

Description: Deduction form of cgrrflx 32998. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrrflxd.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrrflxd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrrflxd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
cgrrflxd	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)

Proof of Theorem cgrrflxd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrrflxd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		cgrrflxd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		cgrrflxd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		cgrrflx 32998	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1351	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2050  ⟨cop 4441   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  ℕcn 11437  𝔼cee 26389  Cgrccgr 26391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-seq 13183  df-exp 13243  df-sum 14902  df-ee 26392  df-cgr 26394

This theorem is referenced by:  cgrcomim  33000  segconeq  33021  btwnouttr2  33033  btwnxfr  33067  btwnconn1lem6  33103  btwnsegle  33128  outsidele  33143