Theorem btwnsegle 36299

Description: If 𝐵 falls between 𝐴 and 𝐶, then 𝐴𝐵 is no longer than 𝐴𝐶. (Contributed by Scott Fenton, 16-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
btwnsegle	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem btwnsegle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr2 1218	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
3		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simpr1 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpr2 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6	3, 4, 5	cgrrflxd 36170	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
8		breq1 5088	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
9		opeq2 4817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝑥⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
10	9	breq2d 5097	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
11	8, 10	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩) ↔ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)))
12	11	rspcev 3564	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩))
13	1, 2, 7, 12	syl12anc 837	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩))
14		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		brsegle 36290	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩)))
16	3, 4, 5, 4, 14, 15	syl122anc 1382	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩)))
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩)))
18	13, 17	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐶⟩)
19	18	ex 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  ℕcn 12174  𝔼cee 28956   Btwn cbtwn 28957  Cgrccgr 28958   Seg_≤ csegle 36288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-sum 15649  df-ee 28959  df-cgr 28961  df-segle 36289

This theorem is referenced by:  colinbtwnle  36300  outsidele  36314