Theorem btwnsegle 32821

Description: If 𝐵 falls between 𝐴 and 𝐶, then 𝐴𝐵 is no longer than 𝐴𝐶. (Contributed by Scott Fenton, 16-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
btwnsegle	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem btwnsegle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr2 1234	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		simpr 479	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
3		simpl 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simpr1 1205	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpr2 1207	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6	3, 4, 5	cgrrflxd 32692	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
7	6	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
8		breq1 4891	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
9		opeq2 4639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝑥⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
10	9	breq2d 4900	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
11	8, 10	anbi12d 624	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩) ↔ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)))
12	11	rspcev 3511	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩))
13	1, 2, 7, 12	syl12anc 827	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩))
14		simpr3 1209	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		brsegle 32812	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩)))
16	3, 4, 5, 4, 14, 15	syl122anc 1447	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩)))
17	16	adantr 474	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩)))
18	13, 17	mpbird 249	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐶⟩)
19	18	ex 403	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3091  ⟨cop 4404   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  ℕcn 11379  𝔼cee 26254   Btwn cbtwn 26255  Cgrccgr 26256   Seg_≤ csegle 32810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-seq 13125  df-exp 13184  df-sum 14834  df-ee 26257  df-cgr 26259  df-segle 32811

This theorem is referenced by:  colinbtwnle  32822  outsidele  32836