Theorem btwnouttr2 36250

Description: Outer transitivity law for betweenness. Left-hand side of Theorem 3.1 of [Schwabhauser] p. 30. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
btwnouttr2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))

Proof of Theorem btwnouttr2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simp2l 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simp3l 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simp3r 1209	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		axsegcon 29014	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
6	1, 2, 3, 3, 4, 5	syl122anc 1387	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
8		simprrl 786	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)
9		simprl1 1225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
10		simpl2 1199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
11		simprl 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)
12	10, 11	jca 516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))
14		simpl1 1198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		simpl2l 1233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		simpl2r 1234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simpl3l 1235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
18		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
19		btwnexch3 36248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩))
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	syl122anc 1387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩))
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩))
22	13, 21	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩)
23		simprrr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
24	22, 23	jca 516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
25		simprl3 1227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)
26		simpl3r 1236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
27	14, 17, 26	cgrrflxd 36216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
29	25, 28	jca 516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
30		segconeq 36238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝑥 = 𝐷))
31	14, 17, 17, 26, 16, 18, 26, 30	syl133anc 1401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝑥 = 𝐷))
32	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝑥 = 𝐷))
33	9, 24, 29, 32	mp3and 1472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → 𝑥 = 𝐷)
34	33	opeq2d 4811	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → ⟨𝐴, 𝑥⟩ = ⟨𝐴, 𝐷⟩)
35	8, 34	breqtrd 5098	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
36	35	expr 457	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
37	36	an32s 658	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
38	37	rexlimdva 3140	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
39	7, 38	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
40	39	ex 413	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  ℕcn 12165  𝔼cee 28974   Btwn cbtwn 28975  Cgrccgr 28976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-ee 28977  df-btwn 28978  df-cgr 28979  df-ofs 36211

This theorem is referenced by:  btwnexch2  36251  btwnouttr  36252  btwnoutside  36353  lineelsb2  36376