Theorem btwnouttr2 36526

Description: Outer transitivity law for betweenness. Left-hand side of Theorem 3.1 of [Schwabhauser] p. 30. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
btwnouttr2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))

Proof of Theorem btwnouttr2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simp3l 1220	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simp3r 1221	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		axsegcon 29292	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
6	1, 2, 3, 3, 4, 5	syl122anc 1406	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
8		simprrl 793	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)
9		simprl1 1237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
10		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
11		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)
12	10, 11	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))
14		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		simpl2l 1245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		simpl2r 1246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simpl3l 1247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
18		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
19		btwnexch3 36524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩))
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	syl122anc 1406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩))
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩))
22	13, 21	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩)
23		simprrr 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
24	22, 23	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
25		simprl3 1239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)
26		simpl3r 1248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
27	14, 17, 26	cgrrflxd 36492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
29	25, 28	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
30		segconeq 36514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝑥 = 𝐷))
31	14, 17, 17, 26, 16, 18, 26, 30	syl133anc 1420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝑥 = 𝐷))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝑥 = 𝐷))
33	9, 24, 29, 32	mp3and 1493	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → 𝑥 = 𝐷)
34	33	opeq2d 4848	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → ⟨𝐴, 𝑥⟩ = ⟨𝐴, 𝐷⟩)
35	8, 34	breqtrd 5140	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
36	35	expr 462	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
37	36	an32s 665	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
38	37	rexlimdva 3169	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
39	7, 38	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
40	39	ex 418	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092  ⟨cop 4598   class class class wbr 5112  ‘cfv 6540  ℕcn 12243  𝔼cee 29252   Btwn cbtwn 29253  Cgrccgr 29254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-oi 9474  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-rp 13027  df-ico 13388  df-icc 13389  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14378  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-clim 15550  df-sum 15749  df-ee 29255  df-btwn 29256  df-cgr 29257  df-ofs 36487

This theorem is used by:  btwnexch2  36527  btwnouttr  36528  btwnoutside  36629  lineelsb2  36652