Theorem cm2j 31909

Description: A lattice element that commutes with two others also commutes with their join. Theorem 4.2 of [Beran] p. 49. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cm2j	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → 𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Proof of Theorem cm2j

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmcm 31903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ 𝐵 𝐶ℋ 𝐴))
2		cmbr 31873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ↔ 𝐵 = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)))))
3	2	ancoms 463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ↔ 𝐵 = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)))))
4	1, 3	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ 𝐵 = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)))))
5	4	biimpa 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴))))
6		incom 4170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
7		incom 4170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)
8	6, 7	oveq12i 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴))) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
9	5, 8	eqtrdi 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → 𝐵 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
10	9	3adantl3 1185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → 𝐵 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
11	10	adantrr 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → 𝐵 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
12		cmcm 31903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐶 ↔ 𝐶 𝐶ℋ 𝐴))
13		cmbr 31873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝐶ℋ 𝐴 ↔ 𝐶 = ((𝐶 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ (⊥‘𝐴)))))
14	13	ancoms 463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝐶ℋ 𝐴 ↔ 𝐶 = ((𝐶 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ (⊥‘𝐴)))))
15	12, 14	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐶 ↔ 𝐶 = ((𝐶 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ (⊥‘𝐴)))))
16	15	biimpa 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) → 𝐶 = ((𝐶 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ (⊥‘𝐴))))
17		incom 4170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐶)
18		incom 4170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)
19	17, 18	oveq12i 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ (⊥‘𝐴))) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))
20	16, 19	eqtrdi 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) → 𝐶 = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)))
21	20	3adantl2 1184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) → 𝐶 = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)))
22	21	adantrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → 𝐶 = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)))
23	11, 22	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))))
24		chincl 31788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
25		choccl 31595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
26		chincl 31788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
27	25, 26	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
28	24, 27	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ))
29		chincl 31788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
30		chincl 31788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
31	25, 30	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
32	29, 31	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ))
33		chj4 31824	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))) = (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∨ℋ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))))
34	28, 32, 33	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))) = (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∨ℋ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))))
35	34	3impdi 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))) = (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∨ℋ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))))
36	35	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))) = (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∨ℋ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))))
37		fh1 31907	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))
38		incom 4170	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴)
39	37, 38	eqtr3di 2819	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴))
40	25	3anim1i 1168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ))
41	40	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ))
42		cmcm3 31904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐵))
43	42	3adant3 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐵))
44		cmcm3 31904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐶 ↔ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐶))
45	44	3adant2 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐶 ↔ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐶))
46	43, 45	anbi12d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) ↔ ((⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐵 ∧ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐶)))
47	46	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐵 ∧ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐶))
48		fh1 31907	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐵 ∧ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)))
49	41, 47, 48	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)))
50		incom 4170	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴))
51	49, 50	eqtr3di 2819	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))
52	39, 51	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∨ℋ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴))))
53	23, 36, 52	3eqtrd 2808	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴))))
54	53	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))))
55		chjcl 31646	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
56		cmcm 31903	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) 𝐶ℋ 𝐴))
57		cmbr 31873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) 𝐶ℋ 𝐴 ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))))
58	57	ancoms 463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) 𝐶ℋ 𝐴 ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))))
59	56, 58	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))))
60	55, 59	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))))
61	60	3impb 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))))
62	54, 61	sylibrd 262	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) → 𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
63	62	imp 411	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → 𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   C_ℋ cch 31218  ⊥cort 31219   ∨_ℋ chj 31222   𝐶_ℋ ccm 31225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cc 10415  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176  ax-hilex 31288  ax-hfvadd 31289  ax-hvcom 31290  ax-hvass 31291  ax-hv0cl 31292  ax-hvaddid 31293  ax-hfvmul 31294  ax-hvmulid 31295  ax-hvmulass 31296  ax-hvdistr1 31297  ax-hvdistr2 31298  ax-hvmul0 31299  ax-hfi 31368  ax-his1 31371  ax-his2 31372  ax-his3 31373  ax-his4 31374  ax-hcompl 31491

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-lm 23351  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cfil 25379  df-cau 25380  df-cmet 25381  df-grpo 30782  df-gid 30783  df-ginv 30784  df-gdiv 30785  df-ablo 30834  df-vc 30848  df-nv 30881  df-va 30884  df-ba 30885  df-sm 30886  df-0v 30887  df-vs 30888  df-nmcv 30889  df-ims 30890  df-dip 30990  df-ssp 31011  df-ph 31102  df-cbn 31152  df-hnorm 31257  df-hba 31258  df-hvsub 31260  df-hlim 31261  df-hcau 31262  df-sh 31496  df-ch 31510  df-oc 31541  df-ch0 31542  df-shs 31597  df-chj 31599  df-cm 31872

This theorem is referenced by:  cm2ji  31914