Theorem cm2j 30659

Description: A lattice element that commutes with two others also commutes with their join. Theorem 4.2 of [Beran] p. 49. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cm2j	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → 𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Proof of Theorem cm2j

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmcm 30653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ 𝐵 𝐶ℋ 𝐴))
2		cmbr 30623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ↔ 𝐵 = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)))))
3	2	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ↔ 𝐵 = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)))))
4	1, 3	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ 𝐵 = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)))))
5	4	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴))))
6		incom 4181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
7		incom 4181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)
8	6, 7	oveq12i 7389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴))) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
9	5, 8	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → 𝐵 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
10	9	3adantl3 1168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → 𝐵 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
11	10	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → 𝐵 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
12		cmcm 30653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐶 ↔ 𝐶 𝐶ℋ 𝐴))
13		cmbr 30623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝐶ℋ 𝐴 ↔ 𝐶 = ((𝐶 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ (⊥‘𝐴)))))
14	13	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝐶ℋ 𝐴 ↔ 𝐶 = ((𝐶 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ (⊥‘𝐴)))))
15	12, 14	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐶 ↔ 𝐶 = ((𝐶 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ (⊥‘𝐴)))))
16	15	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) → 𝐶 = ((𝐶 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ (⊥‘𝐴))))
17		incom 4181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐶)
18		incom 4181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)
19	17, 18	oveq12i 7389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ (⊥‘𝐴))) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))
20	16, 19	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) → 𝐶 = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)))
21	20	3adantl2 1167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) → 𝐶 = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)))
22	21	adantrl 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → 𝐶 = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)))
23	11, 22	oveq12d 7395	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))))
24		chincl 30538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
25		choccl 30345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
26		chincl 30538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
27	25, 26	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
28	24, 27	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ))
29		chincl 30538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
30		chincl 30538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
31	25, 30	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
32	29, 31	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ))
33		chj4 30574	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))) = (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∨ℋ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))))
34	28, 32, 33	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))) = (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∨ℋ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))))
35	34	3impdi 1350	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))) = (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∨ℋ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))))
36	35	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))) = (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∨ℋ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))))
37		fh1 30657	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))
38		incom 4181	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴)
39	37, 38	eqtr3di 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴))
40	25	3anim1i 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ))
41	40	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ))
42		cmcm3 30654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐵))
43	42	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐵))
44		cmcm3 30654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐶 ↔ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐶))
45	44	3adant2 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐶 ↔ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐶))
46	43, 45	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) ↔ ((⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐵 ∧ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐶)))
47	46	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐵 ∧ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐶))
48		fh1 30657	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐵 ∧ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)))
49	41, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)))
50		incom 4181	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴))
51	49, 50	eqtr3di 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶)) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))
52	39, 51	oveq12d 7395	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∨ℋ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐶))) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴))))
53	23, 36, 52	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴))))
54	53	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))))
55		chjcl 30396	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
56		cmcm 30653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) 𝐶ℋ 𝐴))
57		cmbr 30623	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) 𝐶ℋ 𝐴 ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))))
58	57	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) 𝐶ℋ 𝐴 ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))))
59	56, 58	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))))
60	55, 59	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))))
61	60	3impb 1115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘𝐴)))))
62	54, 61	sylibrd 258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) → 𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
63	62	imp 407	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → 𝐴 𝐶ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3927   class class class wbr 5125  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377   C_ℋ cch 29968  ⊥cort 29969   ∨_ℋ chj 29972   𝐶_ℋ ccm 29975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 30038  ax-hfvadd 30039  ax-hvcom 30040  ax-hvass 30041  ax-hv0cl 30042  ax-hvaddid 30043  ax-hfvmul 30044  ax-hvmulid 30045  ax-hvmulass 30046  ax-hvdistr1 30047  ax-hvdistr2 30048  ax-hvmul0 30049  ax-hfi 30118  ax-his1 30121  ax-his2 30122  ax-his3 30123  ax-his4 30124  ax-hcompl 30241

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-supp 8113  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fsupp 9328  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-fl 13722  df-seq 13932  df-exp 13993  df-hash 14256  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15598  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-starv 17177  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-ip 17180  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-unif 17185  df-hom 17186  df-cco 17187  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17413  df-qtop 17418  df-imas 17419  df-xps 17421  df-mre 17495  df-mrc 17496  df-acs 17498  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-submnd 18631  df-mulg 18902  df-cntz 19126  df-cmn 19593  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-mopn 20844  df-fbas 20845  df-fg 20846  df-cnfld 20849  df-top 22295  df-topon 22312  df-topsp 22334  df-bases 22348  df-cld 22422  df-ntr 22423  df-cls 22424  df-nei 22501  df-cn 22630  df-cnp 22631  df-lm 22632  df-haus 22718  df-tx 22965  df-hmeo 23158  df-fil 23249  df-fm 23341  df-flim 23342  df-flf 23343  df-xms 23725  df-ms 23726  df-tms 23727  df-cfil 24671  df-cau 24672  df-cmet 24673  df-grpo 29532  df-gid 29533  df-ginv 29534  df-gdiv 29535  df-ablo 29584  df-vc 29598  df-nv 29631  df-va 29634  df-ba 29635  df-sm 29636  df-0v 29637  df-vs 29638  df-nmcv 29639  df-ims 29640  df-dip 29740  df-ssp 29761  df-ph 29852  df-cbn 29902  df-hnorm 30007  df-hba 30008  df-hvsub 30010  df-hlim 30011  df-hcau 30012  df-sh 30246  df-ch 30260  df-oc 30291  df-ch0 30292  df-shs 30347  df-chj 30349  df-cm 30622

This theorem is referenced by:  cm2ji  30664