Theorem dmdmd 32884

Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdmd	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem dmdmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
2		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
3	2	ineq1d 4165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
4		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
5	3, 4	eqeq12d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) ↔ (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
6	1, 5	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
7	6	rspccv 3574	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8		choccl 31890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑥) ∈ Cℋ )
9	8	imim1i 64	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
10	9	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
11	10	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
12		chsscon3 32084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
13	12	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
14	13	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
15		fveq2 6877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
16		choccl 31890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
17		chjcl 31941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
18	8, 16, 17	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
19		chdmm3 32111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵))
20	18, 19	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵))
21		chdmj4 32116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) = (𝑥 ∩ 𝐴))
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) = (𝑥 ∩ 𝐴))
23	22	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
24	20, 23	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
25	24	anasss 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
26		choccl 31890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
27		chincl 32083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
28	16, 26, 27	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
29		chdmj2 32114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
30	28, 29	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
31		chdmm4 32112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
33	32	ineq2d 4166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
34	30, 33	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
35	25, 34	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
36	35	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
37	15, 36	imbitrid 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
38	14, 37	imim12d 82	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
39	11, 38	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
40	39	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
41	40	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
42	7, 41	syl5 35	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
43	42	ralrimdv 3161	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
44		sseq2 3957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
45		ineq1 4159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ 𝐴) = ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴))
46	45	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
47		ineq1 4159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
48	46, 47	eqeq12d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
49	44, 48	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
50	49	rspccv 3574	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
51		choccl 31890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑦) ∈ Cℋ )
52	51	imim1i 64	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
53	52	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
54	53	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
55		chsscon2 32086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) ↔ 𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵)))
56	55	biimprd 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
57	56	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
58		fveq2 6877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
59		chincl 32083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
60	51, 59	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
61		chdmj1 32113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
62	60, 61	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
63		chdmm2 32110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
65	64	ineq1d 4165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
66	62, 65	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
67	66	anasss 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
68		chjcl 31941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
69		chdmm2 32110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
70	68, 69	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
71		chdmj1 32113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
72	71	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
73	72	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
74	70, 73	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
75	67, 74	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
76	75	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
77	58, 76	imbitrid 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
78	57, 77	imim12d 82	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
79	54, 78	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
80	79	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
81	80	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
82	50, 81	syl5 35	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
83	82	ralrimdv 3161	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
84	43, 83	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
85		mdbr 32878	. . 3 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
86	16, 26, 85	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
87		dmdbr 32883	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
88	84, 86, 87	3bitr4rd 315	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   C_ℋ cch 31513  ⊥cort 31514   ∨_ℋ chj 31517   𝑀_ℋ cmd 31550   𝑀_ℋ^* cdmd 31551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10494  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261  ax-hilex 31583  ax-hfvadd 31584  ax-hvcom 31585  ax-hvass 31586  ax-hv0cl 31587  ax-hvaddid 31588  ax-hfvmul 31589  ax-hvmulid 31590  ax-hvmulass 31591  ax-hvdistr1 31592  ax-hvdistr2 31593  ax-hvmul0 31594  ax-hfi 31663  ax-his1 31666  ax-his2 31667  ax-his3 31668  ax-his4 31669  ax-hcompl 31786

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-lm 23527  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cfil 25556  df-cau 25557  df-cmet 25558  df-grpo 31077  df-gid 31078  df-ginv 31079  df-gdiv 31080  df-ablo 31129  df-vc 31143  df-nv 31176  df-va 31179  df-ba 31180  df-sm 31181  df-0v 31182  df-vs 31183  df-nmcv 31184  df-ims 31185  df-dip 31285  df-ssp 31306  df-ph 31397  df-cbn 31447  df-hnorm 31552  df-hba 31553  df-hvsub 31555  df-hlim 31556  df-hcau 31557  df-sh 31791  df-ch 31805  df-oc 31836  df-ch0 31837  df-shs 31892  df-chj 31894  df-md 32864  df-dmd 32865

This theorem is used by:  mddmd  32885  ssdmd1  32897  mdsldmd1i  32915  cvdmd  32921  dmdsym  32997  cmdmdi  33001