HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmdmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdmd 30227
Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdmd ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem dmdmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3900 . . . . . . 7 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
2 oveq1 7171 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)))
32ineq1d 4100 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
4 oveq1 7171 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
53, 4eqeq12d 2754 . . . . . . 7 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) ↔ (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
61, 5imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
76rspccv 3521 . . . . 5 (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8 choccl 29233 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (⊥‘𝑥) ∈ C )
98imim1i 63 . . . . . . . . . 10 (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
109com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
1110adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
12 chsscon3 29427 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
1312biimpd 232 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
1413adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (𝐵𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
15 fveq2 6668 . . . . . . . . . 10 ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
16 choccl 29233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴C → (⊥‘𝐴) ∈ C )
17 chjcl 29284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊥‘𝑥) ∈ C ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
188, 16, 17syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C𝐴C ) → ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
19 chdmm3 29454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵))
2018, 19sylan 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵))
21 chdmj4 29459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C𝐴C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) = (𝑥𝐴))
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) = (𝑥𝐴))
2322oveq1d 7179 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
2420, 23eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
2524anasss 470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
26 choccl 29233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
27 chincl 29426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊥‘𝐴) ∈ C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C )
2816, 26, 27syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐵C ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C )
29 chdmj2 29457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
3028, 29sylan2 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
31 chdmm4 29455 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 𝐵))
3231adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 𝐵))
3332ineq2d 4101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
3430, 33eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
3525, 34eqeq12d 2754 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3635ancoms 462 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3715, 36syl5ib 247 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3814, 37imim12d 81 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
3911, 38syld 47 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
4039ex 416 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C ) → (𝑥C → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
4140com23 86 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥C → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
427, 41syl5 34 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝑥C → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
4342ralrimdv 3100 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
44 sseq2 3901 . . . . . . 7 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝐵𝑥𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
45 ineq1 4094 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥𝐴) = ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴))
4645oveq1d 7179 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
47 ineq1 4094 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))
4846, 47eqeq12d 2754 . . . . . . 7 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))))
4944, 48imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5049rspccv 3521 . . . . 5 (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → ((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
51 choccl 29233 . . . . . . . . . . 11 (𝑦C → (⊥‘𝑦) ∈ C )
5251imim1i 63 . . . . . . . . . 10 (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5352com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5453adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
55 chsscon2 29429 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝑦C ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) ↔ 𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵)))
5655biimprd 251 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝑦C ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
5756adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
58 fveq2 6668 . . . . . . . . . 10 ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))))
59 chincl 29426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊥‘𝑦) ∈ C𝐴C ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C )
6051, 59sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦C𝐴C ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C )
61 chdmj1 29456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6260, 61sylan 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
63 chdmm2 29453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦C𝐴C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 (⊥‘𝐴)))
6463adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 (⊥‘𝐴)))
6564ineq1d 4100 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6662, 65eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6766anasss 470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
68 chjcl 29284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
69 chdmm2 29453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))))
7068, 69sylan2 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))))
71 chdmj1 29456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝐵C ) → (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
7271adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
7372oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
7470, 73eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
7567, 74eqeq12d 2754 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7675ancoms 462 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7758, 76syl5ib 247 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7857, 77imim12d 81 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
7954, 78syld 47 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8079ex 416 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C ) → (𝑦C → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8180com23 86 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦C → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8250, 81syl5 34 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → (𝑦C → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8382ralrimdv 3100 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8443, 83impbid 215 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
85 mdbr 30221 . . 3 (((⊥‘𝐴) ∈ C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8616, 26, 85syl2an 599 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
87 dmdbr 30226 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
8884, 86, 873bitr4rd 315 1 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  cin 3840  wss 3841   class class class wbr 5027  cfv 6333  (class class class)co 7164   C cch 28856  cort 28857   chj 28860   𝑀 cmd 28893   𝑀* cdmd 28894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cc 9928  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688  ax-hilex 28926  ax-hfvadd 28927  ax-hvcom 28928  ax-hvass 28929  ax-hv0cl 28930  ax-hvaddid 28931  ax-hfvmul 28932  ax-hvmulid 28933  ax-hvmulass 28934  ax-hvdistr1 28935  ax-hvdistr2 28936  ax-hvmul0 28937  ax-hfi 29006  ax-his1 29009  ax-his2 29010  ax-his3 29011  ax-his4 29012  ax-hcompl 29129
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-oadd 8128  df-omul 8129  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-acn 9437  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-lm 21973  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cfil 24000  df-cau 24001  df-cmet 24002  df-grpo 28420  df-gid 28421  df-ginv 28422  df-gdiv 28423  df-ablo 28472  df-vc 28486  df-nv 28519  df-va 28522  df-ba 28523  df-sm 28524  df-0v 28525  df-vs 28526  df-nmcv 28527  df-ims 28528  df-dip 28628  df-ssp 28649  df-ph 28740  df-cbn 28790  df-hnorm 28895  df-hba 28896  df-hvsub 28898  df-hlim 28899  df-hcau 28900  df-sh 29134  df-ch 29148  df-oc 29179  df-ch0 29180  df-shs 29235  df-chj 29237  df-md 30207  df-dmd 30208
This theorem is referenced by:  mddmd  30228  ssdmd1  30240  mdsldmd1i  30258  cvdmd  30264  dmdsym  30340  cmdmdi  30344
  Copyright terms: Public domain W3C validator