HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmdmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdmd 31553
Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdmd ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem dmdmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 4008 . . . . . . 7 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
2 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)))
32ineq1d 4212 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
4 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
53, 4eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) ↔ (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
61, 5imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
76rspccv 3610 . . . . 5 (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8 choccl 30559 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (⊥‘𝑥) ∈ C )
98imim1i 63 . . . . . . . . . 10 (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
109com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
1110adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
12 chsscon3 30753 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
1312biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
1413adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (𝐵𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
15 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
16 choccl 30559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴C → (⊥‘𝐴) ∈ C )
17 chjcl 30610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊥‘𝑥) ∈ C ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
188, 16, 17syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C𝐴C ) → ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
19 chdmm3 30780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵))
2018, 19sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵))
21 chdmj4 30785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C𝐴C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) = (𝑥𝐴))
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) = (𝑥𝐴))
2322oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
2420, 23eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
2524anasss 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
26 choccl 30559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
27 chincl 30752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊥‘𝐴) ∈ C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C )
2816, 26, 27syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐵C ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C )
29 chdmj2 30783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
3028, 29sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
31 chdmm4 30781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 𝐵))
3231adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 𝐵))
3332ineq2d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
3430, 33eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
3525, 34eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3635ancoms 460 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3715, 36imbitrid 243 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3814, 37imim12d 81 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
3911, 38syld 47 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
4039ex 414 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C ) → (𝑥C → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
4140com23 86 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥C → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
427, 41syl5 34 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝑥C → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
4342ralrimdv 3153 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
44 sseq2 4009 . . . . . . 7 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝐵𝑥𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
45 ineq1 4206 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥𝐴) = ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴))
4645oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
47 ineq1 4206 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))
4846, 47eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))))
4944, 48imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5049rspccv 3610 . . . . 5 (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → ((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
51 choccl 30559 . . . . . . . . . . 11 (𝑦C → (⊥‘𝑦) ∈ C )
5251imim1i 63 . . . . . . . . . 10 (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5352com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5453adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
55 chsscon2 30755 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝑦C ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) ↔ 𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵)))
5655biimprd 247 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝑦C ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
5756adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
58 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))))
59 chincl 30752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊥‘𝑦) ∈ C𝐴C ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C )
6051, 59sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦C𝐴C ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C )
61 chdmj1 30782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6260, 61sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
63 chdmm2 30779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦C𝐴C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 (⊥‘𝐴)))
6463adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 (⊥‘𝐴)))
6564ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6662, 65eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6766anasss 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
68 chjcl 30610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
69 chdmm2 30779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))))
7068, 69sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))))
71 chdmj1 30782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝐵C ) → (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
7372oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
7470, 73eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
7567, 74eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7675ancoms 460 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7758, 76imbitrid 243 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7857, 77imim12d 81 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
7954, 78syld 47 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8079ex 414 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C ) → (𝑦C → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8180com23 86 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦C → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8250, 81syl5 34 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → (𝑦C → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8382ralrimdv 3153 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8443, 83impbid 211 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
85 mdbr 31547 . . 3 (((⊥‘𝐴) ∈ C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8616, 26, 85syl2an 597 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
87 dmdbr 31552 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
8884, 86, 873bitr4rd 312 1 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  cin 3948  wss 3949   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409   C cch 30182  cort 30183   chj 30186   𝑀 cmd 30219   𝑀* cdmd 30220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-shs 30561  df-chj 30563  df-md 31533  df-dmd 31534
This theorem is referenced by:  mddmd  31554  ssdmd1  31566  mdsldmd1i  31584  cvdmd  31590  dmdsym  31666  cmdmdi  31670
  Copyright terms: Public domain W3C validator