Theorem dmdmd 32236

Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdmd	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem dmdmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
2		oveq1 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
3	2	ineq1d 4185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
4		oveq1 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
5	3, 4	eqeq12d 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) ↔ (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
6	1, 5	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
7	6	rspccv 3588	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8		choccl 31242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑥) ∈ Cℋ )
9	8	imim1i 63	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
10	9	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
12		chsscon3 31436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
13	12	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
14	13	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
15		fveq2 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
16		choccl 31242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
17		chjcl 31293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
18	8, 16, 17	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
19		chdmm3 31463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵))
20	18, 19	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵))
21		chdmj4 31468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) = (𝑥 ∩ 𝐴))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) = (𝑥 ∩ 𝐴))
23	22	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
24	20, 23	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
25	24	anasss 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
26		choccl 31242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
27		chincl 31435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
28	16, 26, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
29		chdmj2 31466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
30	28, 29	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
31		chdmm4 31464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
33	32	ineq2d 4186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
34	30, 33	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
35	25, 34	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
36	35	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
37	15, 36	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
38	14, 37	imim12d 81	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
39	11, 38	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
40	39	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
41	40	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
42	7, 41	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
43	42	ralrimdv 3132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
44		sseq2 3976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
45		ineq1 4179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ 𝐴) = ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴))
46	45	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
47		ineq1 4179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
48	46, 47	eqeq12d 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
49	44, 48	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
50	49	rspccv 3588	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
51		choccl 31242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑦) ∈ Cℋ )
52	51	imim1i 63	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
53	52	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
54	53	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
55		chsscon2 31438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) ↔ 𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵)))
56	55	biimprd 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
57	56	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
58		fveq2 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
59		chincl 31435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
60	51, 59	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
61		chdmj1 31465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
62	60, 61	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
63		chdmm2 31462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
65	64	ineq1d 4185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
66	62, 65	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
67	66	anasss 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
68		chjcl 31293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
69		chdmm2 31462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
70	68, 69	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
71		chdmj1 31465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
73	72	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
74	70, 73	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
75	67, 74	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
76	75	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
77	58, 76	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
78	57, 77	imim12d 81	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
79	54, 78	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
80	79	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
81	80	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
82	50, 81	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
83	82	ralrimdv 3132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
84	43, 83	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
85		mdbr 32230	. . 3 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
86	16, 26, 85	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
87		dmdbr 32235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
88	84, 86, 87	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   C_ℋ cch 30865  ⊥cort 30866   ∨_ℋ chj 30869   𝑀_ℋ cmd 30902   𝑀_ℋ^* cdmd 30903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021  ax-hcompl 31138

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-lm 23123  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cfil 25162  df-cau 25163  df-cmet 25164  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-dip 30637  df-ssp 30658  df-ph 30749  df-cbn 30799  df-hnorm 30904  df-hba 30905  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-hcau 30909  df-sh 31143  df-ch 31157  df-oc 31188  df-ch0 31189  df-shs 31244  df-chj 31246  df-md 32216  df-dmd 32217

This theorem is referenced by:  mddmd  32237  ssdmd1  32249  mdsldmd1i  32267  cvdmd  32273  dmdsym  32349  cmdmdi  32353