Theorem dmdmd 32387

Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdmd	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem dmdmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
2		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
3	2	ineq1d 4173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
4		oveq1 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
5	3, 4	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) ↔ (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
6	1, 5	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
7	6	rspccv 3575	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8		choccl 31393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑥) ∈ Cℋ )
9	8	imim1i 63	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
10	9	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
12		chsscon3 31587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
13	12	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
14	13	adantll 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
15		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
16		choccl 31393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
17		chjcl 31444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
18	8, 16, 17	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
19		chdmm3 31614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵))
20	18, 19	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵))
21		chdmj4 31619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) = (𝑥 ∩ 𝐴))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) = (𝑥 ∩ 𝐴))
23	22	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
24	20, 23	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
25	24	anasss 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
26		choccl 31393	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
27		chincl 31586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
28	16, 26, 27	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
29		chdmj2 31617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
30	28, 29	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
31		chdmm4 31615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
33	32	ineq2d 4174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
34	30, 33	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
35	25, 34	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
36	35	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
37	15, 36	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
38	14, 37	imim12d 81	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
39	11, 38	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
40	39	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
41	40	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
42	7, 41	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
43	42	ralrimdv 3136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
44		sseq2 3962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
45		ineq1 4167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ 𝐴) = ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴))
46	45	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
47		ineq1 4167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
48	46, 47	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
49	44, 48	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
50	49	rspccv 3575	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
51		choccl 31393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑦) ∈ Cℋ )
52	51	imim1i 63	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
53	52	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
54	53	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
55		chsscon2 31589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) ↔ 𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵)))
56	55	biimprd 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
57	56	adantll 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
58		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
59		chincl 31586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
60	51, 59	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
61		chdmj1 31616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
62	60, 61	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
63		chdmm2 31613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
65	64	ineq1d 4173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
66	62, 65	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
67	66	anasss 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
68		chjcl 31444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
69		chdmm2 31613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
70	68, 69	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
71		chdmj1 31616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
73	72	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
74	70, 73	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
75	67, 74	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
76	75	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
77	58, 76	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
78	57, 77	imim12d 81	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
79	54, 78	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
80	79	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
81	80	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
82	50, 81	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
83	82	ralrimdv 3136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
84	43, 83	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
85		mdbr 32381	. . 3 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
86	16, 26, 85	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
87		dmdbr 32386	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
88	84, 86, 87	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   C_ℋ cch 31016  ⊥cort 31017   ∨_ℋ chj 31020   𝑀_ℋ cmd 31053   𝑀_ℋ^* cdmd 31054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31086  ax-hfvadd 31087  ax-hvcom 31088  ax-hvass 31089  ax-hv0cl 31090  ax-hvaddid 31091  ax-hfvmul 31092  ax-hvmulid 31093  ax-hvmulass 31094  ax-hvdistr1 31095  ax-hvdistr2 31096  ax-hvmul0 31097  ax-hfi 31166  ax-his1 31169  ax-his2 31170  ax-his3 31171  ax-his4 31172  ax-hcompl 31289

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-lm 23185  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cfil 25223  df-cau 25224  df-cmet 25225  df-grpo 30580  df-gid 30581  df-ginv 30582  df-gdiv 30583  df-ablo 30632  df-vc 30646  df-nv 30679  df-va 30682  df-ba 30683  df-sm 30684  df-0v 30685  df-vs 30686  df-nmcv 30687  df-ims 30688  df-dip 30788  df-ssp 30809  df-ph 30900  df-cbn 30950  df-hnorm 31055  df-hba 31056  df-hvsub 31058  df-hlim 31059  df-hcau 31060  df-sh 31294  df-ch 31308  df-oc 31339  df-ch0 31340  df-shs 31395  df-chj 31397  df-md 32367  df-dmd 32368

This theorem is referenced by:  mddmd  32388  ssdmd1  32400  mdsldmd1i  32418  cvdmd  32424  dmdsym  32500  cmdmdi  32504