Theorem dmdmd 30227

Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdmd	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem dmdmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
2		oveq1 7171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
3	2	ineq1d 4100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
4		oveq1 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
5	3, 4	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) ↔ (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
6	1, 5	imbi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
7	6	rspccv 3521	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8		choccl 29233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑥) ∈ Cℋ )
9	8	imim1i 63	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
10	9	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
11	10	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
12		chsscon3 29427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
13	12	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
14	13	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
15		fveq2 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
16		choccl 29233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
17		chjcl 29284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
18	8, 16, 17	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
19		chdmm3 29454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵))
20	18, 19	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵))
21		chdmj4 29459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) = (𝑥 ∩ 𝐴))
22	21	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) = (𝑥 ∩ 𝐴))
23	22	oveq1d 7179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
24	20, 23	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
25	24	anasss 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
26		choccl 29233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
27		chincl 29426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
28	16, 26, 27	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
29		chdmj2 29457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
30	28, 29	sylan2 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
31		chdmm4 29455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
32	31	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
33	32	ineq2d 4101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
34	30, 33	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
35	25, 34	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
36	35	ancoms 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
37	15, 36	syl5ib 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
38	14, 37	imim12d 81	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
39	11, 38	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
40	39	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
41	40	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑥) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
42	7, 41	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
43	42	ralrimdv 3100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
44		sseq2 3901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
45		ineq1 4094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ 𝐴) = ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴))
46	45	oveq1d 7179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
47		ineq1 4094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
48	46, 47	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
49	44, 48	imbi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
50	49	rspccv 3521	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
51		choccl 29233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑦) ∈ Cℋ )
52	51	imim1i 63	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
53	52	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
54	53	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
55		chsscon2 29429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) ↔ 𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵)))
56	55	biimprd 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
57	56	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
58		fveq2 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
59		chincl 29426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
60	51, 59	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ )
61		chdmj1 29456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
62	60, 61	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
63		chdmm2 29453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
64	63	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
65	64	ineq1d 4100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
66	62, 65	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
67	66	anasss 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
68		chjcl 29284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
69		chdmm2 29453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
70	68, 69	sylan2 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
71		chdmj1 29456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
72	71	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
73	72	oveq2d 7180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑦 ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
74	70, 73	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
75	67, 74	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
76	75	ancoms 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
77	58, 76	syl5ib 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
78	57, 77	imim12d 81	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
79	54, 78	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
80	79	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑦 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
81	80	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝑦) ∈ Cℋ → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
82	50, 81	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
83	82	ralrimdv 3100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
84	43, 83	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
85		mdbr 30221	. . 3 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
86	16, 26, 85	syl2an 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
87		dmdbr 30226	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
88	84, 86, 87	3bitr4rd 315	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ∀wral 3053   ∩ cin 3840   ⊆ wss 3841   class class class wbr 5027  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164   C_ℋ cch 28856  ⊥cort 28857   ∨_ℋ chj 28860   𝑀_ℋ cmd 28893   𝑀_ℋ^* cdmd 28894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cc 9928  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688  ax-hilex 28926  ax-hfvadd 28927  ax-hvcom 28928  ax-hvass 28929  ax-hv0cl 28930  ax-hvaddid 28931  ax-hfvmul 28932  ax-hvmulid 28933  ax-hvmulass 28934  ax-hvdistr1 28935  ax-hvdistr2 28936  ax-hvmul0 28937  ax-hfi 29006  ax-his1 29009  ax-his2 29010  ax-his3 29011  ax-his4 29012  ax-hcompl 29129

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-oadd 8128  df-omul 8129  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-acn 9437  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-lm 21973  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cfil 24000  df-cau 24001  df-cmet 24002  df-grpo 28420  df-gid 28421  df-ginv 28422  df-gdiv 28423  df-ablo 28472  df-vc 28486  df-nv 28519  df-va 28522  df-ba 28523  df-sm 28524  df-0v 28525  df-vs 28526  df-nmcv 28527  df-ims 28528  df-dip 28628  df-ssp 28649  df-ph 28740  df-cbn 28790  df-hnorm 28895  df-hba 28896  df-hvsub 28898  df-hlim 28899  df-hcau 28900  df-sh 29134  df-ch 29148  df-oc 29179  df-ch0 29180  df-shs 29235  df-chj 29237  df-md 30207  df-dmd 30208

This theorem is referenced by:  mddmd  30228  ssdmd1  30240  mdsldmd1i  30258  cvdmd  30264  dmdsym  30340  cmdmdi  30344