HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmdmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdmd 29991
Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdmd ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵)))

Proof of Theorem dmdmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3996 . . . . . . 7 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
2 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)))
32ineq1d 4192 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
4 oveq1 7155 . . . . . . . 8 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
53, 4eqeq12d 2842 . . . . . . 7 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → (((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) ↔ (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
61, 5imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑦 = (⊥‘𝑥) → ((𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
76rspccv 3624 . . . . 5 (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8 choccl 28997 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (⊥‘𝑥) ∈ C )
98imim1i 63 . . . . . . . . . 10 (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
109com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
1110adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
12 chsscon3 29191 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵𝑥 ↔ (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
1312biimpd 230 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
1413adantll 710 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (𝐵𝑥 → (⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵)))
15 fveq2 6667 . . . . . . . . . 10 ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
16 choccl 28997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴C → (⊥‘𝐴) ∈ C )
17 chjcl 29048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊥‘𝑥) ∈ C ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
188, 16, 17syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C𝐴C ) → ((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
19 chdmm3 29218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∈ C𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵))
2018, 19sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵))
21 chdmj4 29223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C𝐴C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) = (𝑥𝐴))
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) = (𝑥𝐴))
2322oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴))) ∨ 𝐵) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
2420, 23eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
2524anasss 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
26 choccl 28997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
27 chincl 29190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊥‘𝐴) ∈ C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C )
2816, 26, 27syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐵C ) → ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C )
29 chdmj2 29221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C ) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
3028, 29sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
31 chdmm4 29219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 𝐵))
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 𝐵))
3332ineq2d 4193 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑥 ∩ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
3430, 33eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
3525, 34eqeq12d 2842 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥C ∧ (𝐴C𝐵C )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3635ancoms 459 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3715, 36syl5ib 245 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → ((((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))) → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))
3814, 37imim12d 81 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
3911, 38syld 47 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑥C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
4039ex 413 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C ) → (𝑥C → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
4140com23 86 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (((⊥‘𝑥) ∈ C → ((⊥‘𝑥) ⊆ (⊥‘𝐵) → (((⊥‘𝑥) ∨ (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝑥) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))) → (𝑥C → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
427, 41syl5 34 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → (𝑥C → (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))))))
4342ralrimdv 3193 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) → ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
44 sseq2 3997 . . . . . . 7 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝐵𝑥𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
45 ineq1 4185 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥𝐴) = ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴))
4645oveq1d 7163 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
47 ineq1 4185 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))
4846, 47eqeq12d 2842 . . . . . . 7 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → (((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ↔ (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))))
4944, 48imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑥 = (⊥‘𝑦) → ((𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5049rspccv 3624 . . . . 5 (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → ((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
51 choccl 28997 . . . . . . . . . . 11 (𝑦C → (⊥‘𝑦) ∈ C )
5251imim1i 63 . . . . . . . . . 10 (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5352com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
5453adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))))
55 chsscon2 29193 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝑦C ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) ↔ 𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵)))
5655biimprd 249 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝑦C ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
5756adantll 710 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦)))
58 fveq2 6667 . . . . . . . . . 10 ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))))
59 chincl 29190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊥‘𝑦) ∈ C𝐴C ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C )
6051, 59sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦C𝐴C ) → ((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C )
61 chdmj1 29220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∈ C𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6260, 61sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
63 chdmm2 29217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦C𝐴C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 (⊥‘𝐴)))
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) = (𝑦 (⊥‘𝐴)))
6564ineq1d 4192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6662, 65eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦C𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
6766anasss 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))
68 chjcl 29048 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
69 chdmm2 29217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))))
7068, 69sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))))
71 chdmj1 29220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C𝐵C ) → (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
7271adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))
7372oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑦 (⊥‘(𝐴 𝐵))) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
7470, 73eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))
7567, 74eqeq12d 2842 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦C ∧ (𝐴C𝐵C )) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7675ancoms 459 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((⊥‘(((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) = (⊥‘((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) ↔ ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7758, 76syl5ib 245 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))
7857, 77imim12d 81 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → ((𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
7954, 78syld 47 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝑦C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8079ex 413 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C ) → (𝑦C → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8180com23 86 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (((⊥‘𝑦) ∈ C → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((⊥‘𝑦) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((⊥‘𝑦) ∩ (𝐴 𝐵)))) → (𝑦C → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8250, 81syl5 34 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → (𝑦C → (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))))))
8382ralrimdv 3193 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))) → ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8443, 83impbid 213 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
85 mdbr 29985 . . 3 (((⊥‘𝐴) ∈ C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
8616, 26, 85syl2an 595 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵) ↔ ∀𝑦C (𝑦 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝑦 (⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) = (𝑦 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))))))
87 dmdbr 29990 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))))
8884, 86, 873bitr4rd 313 1 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀 (⊥‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  cin 3939  wss 3940   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148   C cch 28620  cort 28621   chj 28624   𝑀 cmd 28657   𝑀* cdmd 28658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28690  ax-hfvadd 28691  ax-hvcom 28692  ax-hvass 28693  ax-hv0cl 28694  ax-hvaddid 28695  ax-hfvmul 28696  ax-hvmulid 28697  ax-hvmulass 28698  ax-hvdistr1 28699  ax-hvdistr2 28700  ax-hvmul0 28701  ax-hfi 28770  ax-his1 28773  ax-his2 28774  ax-his3 28775  ax-his4 28776  ax-hcompl 28893
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-lm 21753  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cfil 23773  df-cau 23774  df-cmet 23775  df-grpo 28184  df-gid 28185  df-ginv 28186  df-gdiv 28187  df-ablo 28236  df-vc 28250  df-nv 28283  df-va 28286  df-ba 28287  df-sm 28288  df-0v 28289  df-vs 28290  df-nmcv 28291  df-ims 28292  df-dip 28392  df-ssp 28413  df-ph 28504  df-cbn 28554  df-hnorm 28659  df-hba 28660  df-hvsub 28662  df-hlim 28663  df-hcau 28664  df-sh 28898  df-ch 28912  df-oc 28943  df-ch0 28944  df-shs 28999  df-chj 29001  df-md 29971  df-dmd 29972
This theorem is referenced by:  mddmd  29992  ssdmd1  30004  mdsldmd1i  30022  cvdmd  30028  dmdsym  30104  cmdmdi  30108
  Copyright terms: Public domain W3C validator