Theorem chnerlem3 47128

Description: Lemma for chner 47129- trichotomy of integers within the word's domain. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chner.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chnerlem3	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem chnerlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
2		elfzoelz 13575	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	zred 12596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
5		chner.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
6		elfzoelz 13575	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8	7	zred 12596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
9		lttri4 11217	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼))
10	4, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼))
11		3orcomb 1093	. . 3 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼) ↔ (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽))
12	10, 11	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽))
13		elfzonn0 13623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℕ0)
16	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽)
18	15, 16, 17	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐽))
19		elfzo0z 13617	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐽))
20	18, 19	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽)))
22		elfzonn0 13623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
23	5, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℕ0)
25	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼)
27	24, 25, 26	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐼))
28		elfzo0z 13617	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝐼) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐼))
29	27, 28	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ (0..^𝐼))
30	29	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 → 𝐽 ∈ (0..^𝐼)))
31		idd 24	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐽 → 𝐼 = 𝐽))
32	21, 30, 31	3orim123d 1446	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
33	12, 32	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   Er wer 8632  ℝcr 11025  0cc0 11026   < clt 11166  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253   Chain cchn 18528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571

This theorem is referenced by:  chner  47129