Theorem chnerlem3 47620

Description: Lemma for chner 47621- trichotomy of integers within the word's domain. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chner.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chnerlem3	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem chnerlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
2		elfzoelz 13683	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	zred 12695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
5		chner.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
6		elfzoelz 13683	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8	7	zred 12695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
9		lttri4 11289	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼))
10	4, 8, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼))
11		3orcomb 1110	. . 3 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼) ↔ (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽))
12	10, 11	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽))
13		elfzonn0 13732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℕ0)
16	7	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
17		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽)
18	15, 16, 17	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐽))
19		elfzo0z 13726	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐽))
20	18, 19	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))
21	20	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽)))
22		elfzonn0 13732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
23	5, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
24	23	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℕ0)
25	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
26		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼)
27	24, 25, 26	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐼))
28		elfzo0z 13726	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝐼) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐼))
29	27, 28	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ (0..^𝐼))
30	29	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 → 𝐽 ∈ (0..^𝐼)))
31		idd 25	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐽 → 𝐼 = 𝐽))
32	21, 30, 31	3orim123d 1472	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
33	12, 32	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   Er wer 8687  ℝcr 11094  0cc0 11095   < clt 11238  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362   Chain cchn 18656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679

This theorem is referenced by:  chner  47621