Theorem chnerlem3 48167

Description: Lemma for chner 48168- trichotomy of integers within the word's domain. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chner.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chnerlem3	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem chnerlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
2		elfzoelz 13833	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	zred 12843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
5		chner.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
6		elfzoelz 13833	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8	7	zred 12843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
9		lttri4 11433	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼))
10	4, 8, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼))
11		3orcomb 1110	. . 3 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼) ↔ (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽))
12	10, 11	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽))
13		elfzonn0 13882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℕ0)
16	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
17		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽)
18	15, 16, 17	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐽))
19		elfzo0z 13876	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐽))
20	18, 19	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))
21	20	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽)))
22		elfzonn0 13882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
23	5, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℕ0)
25	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
26		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼)
27	24, 25, 26	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐼))
28		elfzo0z 13876	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝐼) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐼))
29	27, 28	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ (0..^𝐼))
30	29	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 → 𝐽 ∈ (0..^𝐼)))
31		idd 25	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐽 → 𝐼 = 𝐽))
32	21, 30, 31	3orim123d 1473	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
33	12, 32	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   Er wer 8752  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515   Chain cchn 18829

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829

This theorem is used by:  chner  48168