Theorem chnerlem3 47341

Description: Lemma for chner 47342- trichotomy of integers within the word's domain. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chner.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chnerlem3	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem chnerlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
2		elfzoelz 13608	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	zred 12628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
5		chner.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
6		elfzoelz 13608	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8	7	zred 12628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
9		lttri4 11226	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼))
10	4, 8, 9	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼))
11		3orcomb 1100	. . 3 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼) ↔ (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽))
12	10, 11	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽))
13		elfzonn0 13657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℕ0)
16	7	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
17		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽)
18	15, 16, 17	3jca 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐽))
19		elfzo0z 13651	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐽))
20	18, 19	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))
21	20	ex 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽)))
22		elfzonn0 13657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
23	5, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
24	23	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℕ0)
25	3	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
26		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼)
27	24, 25, 26	3jca 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐼))
28		elfzo0z 13651	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝐼) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐼))
29	27, 28	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ (0..^𝐼))
30	29	ex 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 → 𝐽 ∈ (0..^𝐼)))
31		idd 24	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐽 → 𝐼 = 𝐽))
32	21, 30, 31	3orim123d 1453	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
33	12, 32	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ w3o 1092   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   Er wer 8634  ℝcr 11033  0cc0 11034   < clt 11175  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ..^cfzo 13603  ♯chash 14287   Chain cchn 18566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604

This theorem is referenced by:  chner  47342