Theorem chnerlem3 47333

Description: Lemma for chner 47334- trichotomy of integers within the word's domain. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chner.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chnerlem3	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem chnerlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
2		elfzoelz 13607	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	zred 12627	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
5		chner.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
6		elfzoelz 13607	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8	7	zred 12627	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
9		lttri4 11224	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼))
10	4, 8, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼))
11		3orcomb 1094	. . 3 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐼 = 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼) ↔ (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽))
12	10, 11	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽))
13		elfzonn0 13656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℕ0)
16	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽)
18	15, 16, 17	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐽))
19		elfzo0z 13650	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐽))
20	18, 19	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽)))
22		elfzonn0 13656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
23	5, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℕ0)
25	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼)
27	24, 25, 26	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐼))
28		elfzo0z 13650	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝐼) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐼))
29	27, 28	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ (0..^𝐼))
30	29	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 → 𝐽 ∈ (0..^𝐼)))
31		idd 24	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐽 → 𝐼 = 𝐽))
32	21, 30, 31	3orim123d 1447	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 < 𝐽 ∨ 𝐽 < 𝐼 ∨ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
33	12, 32	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   Er wer 8634  ℝcr 11031  0cc0 11032   < clt 11173  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ..^cfzo 13602  ♯chash 14286   Chain cchn 18565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603

This theorem is referenced by:  chner  47334