Theorem elfzonn0 13743

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13699	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12909	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  ℕ₀cn0 12510  ℤ_≥cuz 12868  ..^cfzo 13689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690

This theorem is used by:  fzo0ssnn0  13782  modsumfzodifsn  13987  resunimafz0  14489  ccatrn  14634  pfxmpt  14723  pfxsuffeqwrdeq  14742  swrdccatin1  14769  swrdccatin2  14773  splfv2a  14800  repswswrd  14828  pwdif  15929  pwm1geoser  15930  fzo0dvdseq  16387  smueqlem  16554  hashgcdlem  16853  cshwsidrepsw  17159  chnrev  18689  chnpof1  18692  smndex1gbas  18967  smndex1gbasOLD  18968  smndex1igid  18971  smndex1igidOLD  18972  advlogexp  26831  upgrwlkdvdelem  30096  crctcshwlkn0lem2  30171  crctcshwlkn0lem4  30173  crctcshwlkn0  30181  crctcsh  30184  clwwlkel  30408  clwwlknonex2lem2  30470  eucrctshift  30605  gsummptp1  33386  cycpmco2lem4  33458  cycpmco2lem5  33459  cycpmco2lem6  33460  cycpmco2lem7  33461  cycpmco2  33462  ply1gsumz  33898  ply1degltdimlem  34021  ply1degltdim  34022  signsplypnf  34946  poimirlem5  38304  poimirlem6  38305  poimirlem7  38306  poimirlem10  38309  poimirlem11  38310  poimirlem12  38311  poimirlem16  38315  poimirlem17  38316  poimirlem19  38318  poimirlem20  38319  poimirlem22  38321  poimirlem23  38322  poimirlem25  38324  poimirlem29  38328  poimirlem30  38329  poimirlem31  38330  frlmvscadiccat  43308  fltnltalem  43422  dvnmul  46685  fourierdlem48  46896  chnsubseq  47624  chnerlem2  47627  chnerlem3  47628  2pwp1prm  48369  gpgedgvtx1  48855  nnpw2pb  49395  nn0sumshdiglemA  49427  nn0sumshdiglemB  49428  nn0mullong  49433