Theorem elfzonn0 13763

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13719	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12928	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  ℕ₀cn0 12528  ℤ_≥cuz 12887  ..^cfzo 13709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710

This theorem is used by:  fzo0ssnn0  13802  modsumfzodifsn  14008  resunimafz0  14510  ccatrn  14655  pfxmpt  14748  pfxsuffeqwrdeq  14767  swrdccatin1  14794  swrdccatin2  14798  splfv2a  14825  repswswrd  14855  pwdif  15957  pwm1geoser  15958  fzo0dvdseq  16413  smueqlem  16580  hashgcdlem  16879  cshwsidrepsw  17185  chnrev  18715  chnpof1  18718  smndex1gbas  19011  smndex1gbasOLD  19012  smndex1igid  19015  smndex1igidOLD  19016  advlogexp  26892  upgrwlkdvdelem  30201  crctcshwlkn0lem2  30279  crctcshwlkn0lem4  30281  crctcshwlkn0  30289  crctcsh  30292  clwwlkel  30516  clwwlknonex2lem2  30578  eucrctshift  30723  gsummptp1  33497  cycpmco2lem4  33569  cycpmco2lem5  33570  cycpmco2lem6  33571  cycpmco2lem7  33572  cycpmco2  33573  ply1gsumz  34009  ply1degltdimlem  34132  ply1degltdim  34133  signsplypnf  35058  poimirlem5  38374  poimirlem6  38375  poimirlem7  38376  poimirlem10  38379  poimirlem11  38380  poimirlem12  38381  poimirlem16  38385  poimirlem17  38386  poimirlem19  38388  poimirlem20  38389  poimirlem22  38391  poimirlem23  38392  poimirlem25  38394  poimirlem29  38398  poimirlem30  38399  poimirlem31  38400  frlmvscadiccat  43394  fltnltalem  43508  dvnmul  46771  fourierdlem48  46982  chnsubseq  47708  chnerlem2  47711  chnerlem3  47712  2pwp1prm  48492  gpgedgvtx1  48978  nnpw2pb  49517  nn0sumshdiglemA  49549  nn0sumshdiglemB  49550  nn0mullong  49555