Theorem elfzonn0 13744

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13700	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12921	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 234	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ℕ₀cn0 12524  ℤ_≥cuz 12876  ..^cfzo 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13782  modsumfzodifsn  13982  resunimafz0  14481  ccatrn  14624  pfxmpt  14713  pfxsuffeqwrdeq  14733  swrdccatin1  14760  swrdccatin2  14764  splfv2a  14791  repswswrd  14819  pwdif  15901  pwm1geoser  15902  fzo0dvdseq  16357  smueqlem  16524  hashgcdlem  16822  cshwsidrepsw  17128  smndex1gbas  18928  smndex1igid  18930  advlogexp  26712  upgrwlkdvdelem  29769  crctcshwlkn0lem2  29841  crctcshwlkn0lem4  29843  crctcshwlkn0  29851  crctcsh  29854  clwwlkel  30075  clwwlknonex2lem2  30137  eucrctshift  30272  cycpmco2lem4  33132  cycpmco2lem5  33133  cycpmco2lem6  33134  cycpmco2lem7  33135  cycpmco2  33136  ply1gsumz  33599  ply1degltdimlem  33650  ply1degltdim  33651  signsplypnf  34544  poimirlem5  37612  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem10  37617  poimirlem11  37618  poimirlem12  37619  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem22  37629  poimirlem23  37630  poimirlem25  37632  poimirlem29  37636  poimirlem30  37637  poimirlem31  37638  frlmvscadiccat  42493  fltnltalem  42649  dvnmul  45899  fourierdlem48  46110  2pwp1prm  47514  gpgedgvtx1  47955  nnpw2pb  48437  nn0sumshdiglemA  48469  nn0sumshdiglemB  48470  nn0mullong  48475