Theorem elfzonn0 13628

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13584	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12798	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 234	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  ℕ₀cn0 12402  ℤ_≥cuz 12753  ..^cfzo 13575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13667  modsumfzodifsn  13869  resunimafz0  14370  ccatrn  14514  pfxmpt  14603  pfxsuffeqwrdeq  14622  swrdccatin1  14649  swrdccatin2  14653  splfv2a  14680  repswswrd  14708  pwdif  15793  pwm1geoser  15794  fzo0dvdseq  16252  smueqlem  16419  hashgcdlem  16717  cshwsidrepsw  17023  smndex1gbas  18794  smndex1igid  18796  advlogexp  26580  upgrwlkdvdelem  29699  crctcshwlkn0lem2  29774  crctcshwlkn0lem4  29776  crctcshwlkn0  29784  crctcsh  29787  clwwlkel  30008  clwwlknonex2lem2  30070  eucrctshift  30205  cycpmco2lem4  33084  cycpmco2lem5  33085  cycpmco2lem6  33086  cycpmco2lem7  33087  cycpmco2  33088  ply1gsumz  33543  ply1degltdimlem  33597  ply1degltdim  33598  signsplypnf  34520  poimirlem5  37607  poimirlem6  37608  poimirlem7  37609  poimirlem10  37612  poimirlem11  37613  poimirlem12  37614  poimirlem16  37618  poimirlem17  37619  poimirlem19  37621  poimirlem20  37622  poimirlem22  37624  poimirlem23  37625  poimirlem25  37627  poimirlem29  37631  poimirlem30  37632  poimirlem31  37633  frlmvscadiccat  42482  fltnltalem  42638  dvnmul  45928  fourierdlem48  46139  2pwp1prm  47577  gpgedgvtx1  48050  nnpw2pb  48576  nn0sumshdiglemA  48608  nn0sumshdiglemB  48609  nn0mullong  48614