Theorem elfzonn0 13725

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13684	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12913	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 233	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  0cc0 11149  ℕ₀cn0 12518  ℤ_≥cuz 12868  ..^cfzo 13675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13761  modsumfzodifsn  13958  resunimafz0  14457  ccatrn  14592  pfxmpt  14681  pfxsuffeqwrdeq  14701  swrdccatin1  14728  swrdccatin2  14732  splfv2a  14759  repswswrd  14787  pwdif  15867  pwm1geoser  15868  fzo0dvdseq  16320  smueqlem  16485  hashgcdlem  16785  cshwsidrepsw  17091  smndex1gbas  18887  smndex1igid  18889  advlogexp  26679  upgrwlkdvdelem  29670  crctcshwlkn0lem2  29742  crctcshwlkn0lem4  29744  crctcshwlkn0  29752  crctcsh  29755  clwwlkel  29976  clwwlknonex2lem2  30038  eucrctshift  30173  cycpmco2lem4  33011  cycpmco2lem5  33012  cycpmco2lem6  33013  cycpmco2lem7  33014  cycpmco2  33015  ply1gsumz  33472  ply1degltdimlem  33523  ply1degltdim  33524  signsplypnf  34409  poimirlem5  37339  poimirlem6  37340  poimirlem7  37341  poimirlem10  37344  poimirlem11  37345  poimirlem12  37346  poimirlem16  37350  poimirlem17  37351  poimirlem19  37353  poimirlem20  37354  poimirlem22  37356  poimirlem23  37357  poimirlem25  37359  poimirlem29  37363  poimirlem30  37364  poimirlem31  37365  frlmvscadiccat  42196  fltnltalem  42352  dvnmul  45600  fourierdlem48  45811  2pwp1prm  47197  nnpw2pb  48011  nn0sumshdiglemA  48043  nn0sumshdiglemB  48044  nn0mullong  48049