Theorem elfzonn0 13611

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13567	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12781	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 234	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  0cc0 11015  ℕ₀cn0 12390  ℤ_≥cuz 12740  ..^cfzo 13558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13650  modsumfzodifsn  13855  resunimafz0  14356  ccatrn  14501  pfxmpt  14590  pfxsuffeqwrdeq  14609  swrdccatin1  14636  swrdccatin2  14640  splfv2a  14667  repswswrd  14695  pwdif  15779  pwm1geoser  15780  fzo0dvdseq  16238  smueqlem  16405  hashgcdlem  16703  cshwsidrepsw  17009  chnrev  18537  chnpof1  18540  smndex1gbas  18814  smndex1igid  18816  advlogexp  26594  upgrwlkdvdelem  29718  crctcshwlkn0lem2  29793  crctcshwlkn0lem4  29795  crctcshwlkn0  29803  crctcsh  29806  clwwlkel  30030  clwwlknonex2lem2  30092  eucrctshift  30227  cycpmco2lem4  33107  cycpmco2lem5  33108  cycpmco2lem6  33109  cycpmco2lem7  33110  cycpmco2  33111  ply1gsumz  33568  ply1degltdimlem  33658  ply1degltdim  33659  signsplypnf  34586  poimirlem5  37688  poimirlem6  37689  poimirlem7  37690  poimirlem10  37693  poimirlem11  37694  poimirlem12  37695  poimirlem16  37699  poimirlem17  37700  poimirlem19  37702  poimirlem20  37703  poimirlem22  37705  poimirlem23  37706  poimirlem25  37708  poimirlem29  37712  poimirlem30  37713  poimirlem31  37714  frlmvscadiccat  42627  fltnltalem  42783  dvnmul  46068  fourierdlem48  46279  chnsubseq  47005  chnerlem2  47008  chnerlem3  47009  2pwp1prm  47716  gpgedgvtx1  48189  nnpw2pb  48715  nn0sumshdiglemA  48747  nn0sumshdiglemB  48748  nn0mullong  48753