Theorem elfzonn0 13623

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13579	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12792	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 234	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  ℕ₀cn0 12401  ℤ_≥cuz 12751  ..^cfzo 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13662  modsumfzodifsn  13867  resunimafz0  14368  ccatrn  14513  pfxmpt  14602  pfxsuffeqwrdeq  14621  swrdccatin1  14648  swrdccatin2  14652  splfv2a  14679  repswswrd  14707  pwdif  15791  pwm1geoser  15792  fzo0dvdseq  16250  smueqlem  16417  hashgcdlem  16715  cshwsidrepsw  17021  chnrev  18550  chnpof1  18553  smndex1gbas  18827  smndex1igid  18829  advlogexp  26620  upgrwlkdvdelem  29809  crctcshwlkn0lem2  29884  crctcshwlkn0lem4  29886  crctcshwlkn0  29894  crctcsh  29897  clwwlkel  30121  clwwlknonex2lem2  30183  eucrctshift  30318  gsummptp1  33140  cycpmco2lem4  33211  cycpmco2lem5  33212  cycpmco2lem6  33213  cycpmco2lem7  33214  cycpmco2  33215  ply1gsumz  33680  ply1degltdimlem  33779  ply1degltdim  33780  signsplypnf  34707  poimirlem5  37826  poimirlem6  37827  poimirlem7  37828  poimirlem10  37831  poimirlem11  37832  poimirlem12  37833  poimirlem16  37837  poimirlem17  37838  poimirlem19  37840  poimirlem20  37841  poimirlem22  37843  poimirlem23  37844  poimirlem25  37846  poimirlem29  37850  poimirlem30  37851  poimirlem31  37852  frlmvscadiccat  42761  fltnltalem  42905  dvnmul  46187  fourierdlem48  46398  chnsubseq  47124  chnerlem2  47127  chnerlem3  47128  2pwp1prm  47835  gpgedgvtx1  48308  nnpw2pb  48833  nn0sumshdiglemA  48865  nn0sumshdiglemB  48866  nn0mullong  48871