Theorem elfzonn0 13738

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13694	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12904	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  ℕ₀cn0 12505  ℤ_≥cuz 12863  ..^cfzo 13684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13777  modsumfzodifsn  13982  resunimafz0  14484  ccatrn  14629  pfxmpt  14718  pfxsuffeqwrdeq  14737  swrdccatin1  14764  swrdccatin2  14768  splfv2a  14795  repswswrd  14823  pwdif  15924  pwm1geoser  15925  fzo0dvdseq  16382  smueqlem  16549  hashgcdlem  16848  cshwsidrepsw  17154  chnrev  18684  chnpof1  18687  smndex1gbas  18962  smndex1gbasOLD  18963  smndex1igid  18966  smndex1igidOLD  18967  advlogexp  26801  upgrwlkdvdelem  30066  crctcshwlkn0lem2  30141  crctcshwlkn0lem4  30143  crctcshwlkn0  30151  crctcsh  30154  clwwlkel  30378  clwwlknonex2lem2  30440  eucrctshift  30575  gsummptp1  33358  cycpmco2lem4  33430  cycpmco2lem5  33431  cycpmco2lem6  33432  cycpmco2lem7  33433  cycpmco2  33434  ply1gsumz  33870  ply1degltdimlem  33993  ply1degltdim  33994  signsplypnf  34918  poimirlem5  38257  poimirlem6  38258  poimirlem7  38259  poimirlem10  38262  poimirlem11  38263  poimirlem12  38264  poimirlem16  38268  poimirlem17  38269  poimirlem19  38271  poimirlem20  38272  poimirlem22  38274  poimirlem23  38275  poimirlem25  38277  poimirlem29  38281  poimirlem30  38282  poimirlem31  38283  frlmvscadiccat  43261  fltnltalem  43377  dvnmul  46640  fourierdlem48  46851  chnsubseq  47579  chnerlem2  47582  chnerlem3  47583  2pwp1prm  48324  gpgedgvtx1  48810  nnpw2pb  49350  nn0sumshdiglemA  49382  nn0sumshdiglemB  49383  nn0mullong  49388