Theorem elfzonn0 13835

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13791	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12999	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  ℕ₀cn0 12599  ℤ_≥cuz 12958  ..^cfzo 13781

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782

This theorem is used by:  fzo0ssnn0  13874  modsumfzodifsn  14080  resunimafz0  14583  ccatrn  14728  pfxmpt  14821  pfxsuffeqwrdeq  14840  swrdccatin1  14867  swrdccatin2  14871  splfv2a  14898  repswswrd  14928  pwdif  16030  pwm1geoser  16031  fzo0dvdseq  16486  smueqlem  16653  hashgcdlem  16958  cshwsidrepsw  17264  chnrev  18794  chnpof1  18797  smndex1gbas  19091  smndex1gbasOLD  19092  smndex1igid  19095  smndex1igidOLD  19096  advlogexp  26976  upgrwlkdvdelem  30315  crctcshwlkn0lem2  30393  crctcshwlkn0lem4  30395  crctcshwlkn0  30403  crctcsh  30406  clwwlkel  30630  clwwlknonex2lem2  30692  eucrctshift  30837  gsummptp1  33611  cycpmco2lem4  33683  cycpmco2lem5  33684  cycpmco2lem6  33685  cycpmco2lem7  33686  cycpmco2  33687  ply1gsumz  34124  ply1degltdimlem  34247  ply1degltdim  34248  signsplypnf  35172  poimirlem5  38523  poimirlem6  38524  poimirlem7  38525  poimirlem10  38528  poimirlem11  38529  poimirlem12  38530  poimirlem16  38534  poimirlem17  38535  poimirlem19  38537  poimirlem20  38538  poimirlem22  38540  poimirlem23  38541  poimirlem25  38543  poimirlem29  38547  poimirlem30  38548  poimirlem31  38549  frlmvscadiccat  43553  fltnltalem  43653  dvnmul  46922  fourierdlem48  47133  chnsubseq  47859  chnerlem2  47862  chnerlem3  47863  2pwp1prm  48643  gpgedgvtx1  49129  nnpw2pb  49668  nn0sumshdiglemA  49700  nn0sumshdiglemB  49701  nn0mullong  49706