Theorem elfzonn0 13533

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13492	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12724	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 233	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  0cc0 10972  ℕ₀cn0 12334  ℤ_≥cuz 12683  ..^cfzo 13483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13569  modsumfzodifsn  13765  resunimafz0  14257  ccatrn  14393  pfxmpt  14489  pfxsuffeqwrdeq  14509  swrdccatin1  14536  swrdccatin2  14540  splfv2a  14567  repswswrd  14595  pwdif  15679  pwm1geoser  15680  fzo0dvdseq  16131  smueqlem  16296  hashgcdlem  16586  cshwsidrepsw  16892  smndex1gbas  18637  smndex1igid  18639  advlogexp  25916  upgrwlkdvdelem  28392  crctcshwlkn0lem2  28464  crctcshwlkn0lem4  28466  crctcshwlkn0  28474  crctcsh  28477  clwwlkel  28698  clwwlknonex2lem2  28760  eucrctshift  28895  cycpmco2lem4  31683  cycpmco2lem5  31684  cycpmco2lem6  31685  cycpmco2lem7  31686  cycpmco2  31687  signsplypnf  32829  poimirlem5  35895  poimirlem6  35896  poimirlem7  35897  poimirlem10  35900  poimirlem11  35901  poimirlem12  35902  poimirlem16  35906  poimirlem17  35907  poimirlem19  35909  poimirlem20  35910  poimirlem22  35912  poimirlem23  35913  poimirlem25  35915  poimirlem29  35919  poimirlem30  35920  poimirlem31  35921  frlmvscadiccat  40499  fltnltalem  40769  dvnmul  43828  fourierdlem48  44039  2pwp1prm  45400  nnpw2pb  46292  nn0sumshdiglemA  46324  nn0sumshdiglemB  46325  nn0mullong  46330