Theorem elfzonn0 13748

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13704	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12914	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  ℕ₀cn0 12515  ℤ_≥cuz 12873  ..^cfzo 13694

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695

This theorem is used by:  fzo0ssnn0  13787  modsumfzodifsn  13993  resunimafz0  14495  ccatrn  14640  pfxmpt  14733  pfxsuffeqwrdeq  14752  swrdccatin1  14779  swrdccatin2  14783  splfv2a  14810  repswswrd  14840  pwdif  15940  pwm1geoser  15941  fzo0dvdseq  16398  smueqlem  16565  hashgcdlem  16864  cshwsidrepsw  17170  chnrev  18700  chnpof1  18703  smndex1gbas  18984  smndex1gbasOLD  18985  smndex1igid  18988  smndex1igidOLD  18989  advlogexp  26849  upgrwlkdvdelem  30114  crctcshwlkn0lem2  30189  crctcshwlkn0lem4  30191  crctcshwlkn0  30199  crctcsh  30202  clwwlkel  30426  clwwlknonex2lem2  30488  eucrctshift  30623  gsummptp1  33400  cycpmco2lem4  33472  cycpmco2lem5  33473  cycpmco2lem6  33474  cycpmco2lem7  33475  cycpmco2  33476  ply1gsumz  33912  ply1degltdimlem  34035  ply1degltdim  34036  signsplypnf  34961  poimirlem5  38309  poimirlem6  38310  poimirlem7  38311  poimirlem10  38314  poimirlem11  38315  poimirlem12  38316  poimirlem16  38320  poimirlem17  38321  poimirlem19  38323  poimirlem20  38324  poimirlem22  38326  poimirlem23  38327  poimirlem25  38329  poimirlem29  38333  poimirlem30  38334  poimirlem31  38335  frlmvscadiccat  43313  fltnltalem  43427  dvnmul  46690  fourierdlem48  46901  chnsubseq  47629  chnerlem2  47632  chnerlem3  47633  2pwp1prm  48374  gpgedgvtx1  48860  nnpw2pb  49400  nn0sumshdiglemA  49432  nn0sumshdiglemB  49433  nn0mullong  49438