Theorem elfzonn0 13717

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13676	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12905	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 233	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  ℕ₀cn0 12510  ℤ_≥cuz 12860  ..^cfzo 13667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13753  modsumfzodifsn  13949  resunimafz0  14444  ccatrn  14579  pfxmpt  14668  pfxsuffeqwrdeq  14688  swrdccatin1  14715  swrdccatin2  14719  splfv2a  14746  repswswrd  14774  pwdif  15854  pwm1geoser  15855  fzo0dvdseq  16307  smueqlem  16472  hashgcdlem  16764  cshwsidrepsw  17070  smndex1gbas  18861  smndex1igid  18863  advlogexp  26609  upgrwlkdvdelem  29570  crctcshwlkn0lem2  29642  crctcshwlkn0lem4  29644  crctcshwlkn0  29652  crctcsh  29655  clwwlkel  29876  clwwlknonex2lem2  29938  eucrctshift  30073  cycpmco2lem4  32871  cycpmco2lem5  32872  cycpmco2lem6  32873  cycpmco2lem7  32874  cycpmco2  32875  ply1gsumz  33302  ply1degltdimlem  33353  ply1degltdim  33354  signsplypnf  34215  poimirlem5  37131  poimirlem6  37132  poimirlem7  37133  poimirlem10  37136  poimirlem11  37137  poimirlem12  37138  poimirlem16  37142  poimirlem17  37143  poimirlem19  37145  poimirlem20  37146  poimirlem22  37148  poimirlem23  37149  poimirlem25  37151  poimirlem29  37155  poimirlem30  37156  poimirlem31  37157  frlmvscadiccat  41777  fltnltalem  42117  dvnmul  45360  fourierdlem48  45571  2pwp1prm  46958  nnpw2pb  47738  nn0sumshdiglemA  47770  nn0sumshdiglemB  47771  nn0mullong  47776