Theorem elfzonn0 13882

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13838	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 13046	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  ℕ₀cn0 12646  ℤ_≥cuz 13005  ..^cfzo 13828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829

This theorem is used by:  fzo0ssnn0  13921  modsumfzodifsn  14127  resunimafz0  14631  ccatrn  14776  pfxmpt  14870  pfxsuffeqwrdeq  14889  swrdccatin1  14916  swrdccatin2  14920  splfv2a  14947  repswswrd  14977  pwdif  16081  pwm1geoser  16082  fzo0dvdseq  16537  smueqlem  16704  hashgcdlem  17009  cshwsidrepsw  17315  chnrev  18851  chnpof1  18854  smndex1gbas  19148  smndex1gbasOLD  19149  smndex1igid  19152  smndex1igidOLD  19153  advlogexp  27040  upgrwlkdvdelem  30379  crctcshwlkn0lem2  30457  crctcshwlkn0lem4  30459  crctcshwlkn0  30467  crctcsh  30470  clwwlkel  30694  clwwlknonex2lem2  30756  eucrctshift  30901  gsummptp1  33717  cycpmco2lem4  33789  cycpmco2lem5  33790  cycpmco2lem6  33791  cycpmco2lem7  33792  cycpmco2  33793  ply1gsumz  34234  ply1degltdimlem  34365  ply1degltdim  34366  signsplypnf  35290  poimirlem5  38811  poimirlem6  38812  poimirlem7  38813  poimirlem10  38816  poimirlem11  38817  poimirlem12  38818  poimirlem16  38822  poimirlem17  38823  poimirlem19  38825  poimirlem20  38826  poimirlem22  38828  poimirlem23  38829  poimirlem25  38831  poimirlem29  38835  poimirlem30  38836  poimirlem31  38837  frlmvscadiccat  43839  fltnltalem  43939  dvnmul  47226  fourierdlem48  47437  chnsubseq  48163  chnerlem2  48166  chnerlem3  48167  2pwp1prm  48947  gpgedgvtx1  49433  nnpw2pb  50030  nn0sumshdiglemA  50062  nn0sumshdiglemB  50063  nn0mullong  50068