Theorem elfzonn0 13748

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13704	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12924	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 234	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  ℕ₀cn0 12528  ℤ_≥cuz 12879  ..^cfzo 13695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13786  modsumfzodifsn  13986  resunimafz0  14485  ccatrn  14628  pfxmpt  14717  pfxsuffeqwrdeq  14737  swrdccatin1  14764  swrdccatin2  14768  splfv2a  14795  repswswrd  14823  pwdif  15905  pwm1geoser  15906  fzo0dvdseq  16361  smueqlem  16528  hashgcdlem  16826  cshwsidrepsw  17132  smndex1gbas  18916  smndex1igid  18918  advlogexp  26698  upgrwlkdvdelem  29757  crctcshwlkn0lem2  29832  crctcshwlkn0lem4  29834  crctcshwlkn0  29842  crctcsh  29845  clwwlkel  30066  clwwlknonex2lem2  30128  eucrctshift  30263  cycpmco2lem4  33150  cycpmco2lem5  33151  cycpmco2lem6  33152  cycpmco2lem7  33153  cycpmco2  33154  ply1gsumz  33620  ply1degltdimlem  33674  ply1degltdim  33675  signsplypnf  34566  poimirlem5  37633  poimirlem6  37634  poimirlem7  37635  poimirlem10  37638  poimirlem11  37639  poimirlem12  37640  poimirlem16  37644  poimirlem17  37645  poimirlem19  37647  poimirlem20  37648  poimirlem22  37650  poimirlem23  37651  poimirlem25  37653  poimirlem29  37657  poimirlem30  37658  poimirlem31  37659  frlmvscadiccat  42521  fltnltalem  42677  dvnmul  45963  fourierdlem48  46174  2pwp1prm  47581  gpgedgvtx1  48025  nnpw2pb  48513  nn0sumshdiglemA  48545  nn0sumshdiglemB  48546  nn0mullong  48551