Theorem elfzonn0 13729

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13685	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12902	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 234	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  ℕ₀cn0 12506  ℤ_≥cuz 12857  ..^cfzo 13676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13767  modsumfzodifsn  13967  resunimafz0  14468  ccatrn  14612  pfxmpt  14701  pfxsuffeqwrdeq  14721  swrdccatin1  14748  swrdccatin2  14752  splfv2a  14779  repswswrd  14807  pwdif  15889  pwm1geoser  15890  fzo0dvdseq  16347  smueqlem  16514  hashgcdlem  16812  cshwsidrepsw  17118  smndex1gbas  18885  smndex1igid  18887  advlogexp  26621  upgrwlkdvdelem  29723  crctcshwlkn0lem2  29798  crctcshwlkn0lem4  29800  crctcshwlkn0  29808  crctcsh  29811  clwwlkel  30032  clwwlknonex2lem2  30094  eucrctshift  30229  cycpmco2lem4  33145  cycpmco2lem5  33146  cycpmco2lem6  33147  cycpmco2lem7  33148  cycpmco2  33149  ply1gsumz  33613  ply1degltdimlem  33667  ply1degltdim  33668  signsplypnf  34587  poimirlem5  37654  poimirlem6  37655  poimirlem7  37656  poimirlem10  37659  poimirlem11  37660  poimirlem12  37661  poimirlem16  37665  poimirlem17  37666  poimirlem19  37668  poimirlem20  37669  poimirlem22  37671  poimirlem23  37672  poimirlem25  37674  poimirlem29  37678  poimirlem30  37679  poimirlem31  37680  frlmvscadiccat  42496  fltnltalem  42652  dvnmul  45939  fourierdlem48  46150  2pwp1prm  47570  gpgedgvtx1  48033  nnpw2pb  48534  nn0sumshdiglemA  48566  nn0sumshdiglemB  48567  nn0mullong  48572