Theorem elfzonn0 13732

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13688	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12899	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  0cc0 11096  ℕ₀cn0 12500  ℤ_≥cuz 12858  ..^cfzo 13678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13771  modsumfzodifsn  13976  resunimafz0  14478  ccatrn  14623  pfxmpt  14712  pfxsuffeqwrdeq  14731  swrdccatin1  14758  swrdccatin2  14762  splfv2a  14789  repswswrd  14817  pwdif  15918  pwm1geoser  15919  fzo0dvdseq  16377  smueqlem  16544  hashgcdlem  16843  cshwsidrepsw  17149  chnrev  18679  chnpof1  18682  smndex1gbas  18957  smndex1gbasOLD  18958  smndex1igid  18961  smndex1igidOLD  18962  advlogexp  26782  upgrwlkdvdelem  30022  crctcshwlkn0lem2  30097  crctcshwlkn0lem4  30099  crctcshwlkn0  30107  crctcsh  30110  clwwlkel  30334  clwwlknonex2lem2  30396  eucrctshift  30531  gsummptp1  33314  cycpmco2lem4  33386  cycpmco2lem5  33387  cycpmco2lem6  33388  cycpmco2lem7  33389  cycpmco2  33390  ply1gsumz  33830  ply1degltdimlem  33953  ply1degltdim  33954  signsplypnf  34878  poimirlem5  38159  poimirlem6  38160  poimirlem7  38161  poimirlem10  38164  poimirlem11  38165  poimirlem12  38166  poimirlem16  38170  poimirlem17  38171  poimirlem19  38173  poimirlem20  38174  poimirlem22  38176  poimirlem23  38177  poimirlem25  38179  poimirlem29  38183  poimirlem30  38184  poimirlem31  38185  frlmvscadiccat  43163  fltnltalem  43279  dvnmul  46542  fourierdlem48  46753  chnsubseq  47481  chnerlem2  47484  chnerlem3  47485  2pwp1prm  48223  gpgedgvtx1  48709  nnpw2pb  49245  nn0sumshdiglemA  49277  nn0sumshdiglemB  49278  nn0mullong  49283