Theorem elfzonn0 13072

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13032	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12270	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 236	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  0cc0 10523  ℕ₀cn0 11884  ℤ_≥cuz 12230  ..^cfzo 13023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-fz 12883  df-fzo 13024

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13108  modsumfzodifsn  13302  resunimafz0  13793  ccatrn  13928  pfxmpt  14025  pfxsuffeqwrdeq  14045  swrdccatin1  14072  swrdccatin2  14076  splfv2a  14103  repswswrd  14131  pwdif  15208  pwm1geoser  15209  fzo0dvdseq  15658  smueqlem  15822  hashgcdlem  16108  cshwsidrepsw  16410  smndex1gbas  18050  smndex1igid  18052  advlogexp  25224  upgrwlkdvdelem  27503  crctcshwlkn0lem2  27575  crctcshwlkn0lem4  27577  crctcshwlkn0  27585  crctcsh  27588  clwwlkel  27809  clwwlknonex2lem2  27871  eucrctshift  28006  cycpmco2lem4  30778  cycpmco2lem5  30779  cycpmco2lem6  30780  cycpmco2lem7  30781  cycpmco2  30782  signsplypnf  31827  poimirlem5  34931  poimirlem6  34932  poimirlem7  34933  poimirlem10  34936  poimirlem11  34937  poimirlem12  34938  poimirlem16  34942  poimirlem17  34943  poimirlem19  34945  poimirlem20  34946  poimirlem22  34948  poimirlem23  34949  poimirlem25  34951  poimirlem29  34955  poimirlem30  34956  poimirlem31  34957  frlmvscadiccat  39220  fltnltalem  39366  dvnmul  42318  fourierdlem48  42529  2pwp1prm  43836  nnpw2pb  44732  nn0sumshdiglemA  44764  nn0sumshdiglemB  44765  nn0mullong  44770