Theorem elfzonn0 13683

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13642	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12871	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 233	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  ℕ₀cn0 12476  ℤ_≥cuz 12826  ..^cfzo 13633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13719  modsumfzodifsn  13915  resunimafz0  14410  ccatrn  14545  pfxmpt  14634  pfxsuffeqwrdeq  14654  swrdccatin1  14681  swrdccatin2  14685  splfv2a  14712  repswswrd  14740  pwdif  15820  pwm1geoser  15821  fzo0dvdseq  16273  smueqlem  16438  hashgcdlem  16730  cshwsidrepsw  17036  smndex1gbas  18827  smndex1igid  18829  advlogexp  26544  upgrwlkdvdelem  29502  crctcshwlkn0lem2  29574  crctcshwlkn0lem4  29576  crctcshwlkn0  29584  crctcsh  29587  clwwlkel  29808  clwwlknonex2lem2  29870  eucrctshift  30005  cycpmco2lem4  32794  cycpmco2lem5  32795  cycpmco2lem6  32796  cycpmco2lem7  32797  cycpmco2  32798  ply1gsumz  33174  ply1degltdimlem  33225  ply1degltdim  33226  signsplypnf  34091  poimirlem5  37006  poimirlem6  37007  poimirlem7  37008  poimirlem10  37011  poimirlem11  37012  poimirlem12  37013  poimirlem16  37017  poimirlem17  37018  poimirlem19  37020  poimirlem20  37021  poimirlem22  37023  poimirlem23  37024  poimirlem25  37026  poimirlem29  37030  poimirlem30  37031  poimirlem31  37032  frlmvscadiccat  41638  fltnltalem  41979  dvnmul  45228  fourierdlem48  45439  2pwp1prm  46826  nnpw2pb  47545  nn0sumshdiglemA  47577  nn0sumshdiglemB  47578  nn0mullong  47583