Theorem elfzonn0 13846

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13802	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 13010	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  ℕ₀cn0 12610  ℤ_≥cuz 12969  ..^cfzo 13792

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793

This theorem is used by:  fzo0ssnn0  13885  modsumfzodifsn  14091  resunimafz0  14594  ccatrn  14739  pfxmpt  14833  pfxsuffeqwrdeq  14852  swrdccatin1  14879  swrdccatin2  14883  splfv2a  14910  repswswrd  14940  pwdif  16043  pwm1geoser  16044  fzo0dvdseq  16499  smueqlem  16666  hashgcdlem  16971  cshwsidrepsw  17277  chnrev  18807  chnpof1  18810  smndex1gbas  19104  smndex1gbasOLD  19105  smndex1igid  19108  smndex1igidOLD  19109  advlogexp  26989  upgrwlkdvdelem  30328  crctcshwlkn0lem2  30406  crctcshwlkn0lem4  30408  crctcshwlkn0  30416  crctcsh  30419  clwwlkel  30643  clwwlknonex2lem2  30705  eucrctshift  30850  gsummptp1  33665  cycpmco2lem4  33737  cycpmco2lem5  33738  cycpmco2lem6  33739  cycpmco2lem7  33740  cycpmco2  33741  ply1gsumz  34178  ply1degltdimlem  34301  ply1degltdim  34302  signsplypnf  35226  poimirlem5  38637  poimirlem6  38638  poimirlem7  38639  poimirlem10  38642  poimirlem11  38643  poimirlem12  38644  poimirlem16  38648  poimirlem17  38649  poimirlem19  38651  poimirlem20  38652  poimirlem22  38654  poimirlem23  38655  poimirlem25  38657  poimirlem29  38661  poimirlem30  38662  poimirlem31  38663  frlmvscadiccat  43667  fltnltalem  43767  dvnmul  47047  fourierdlem48  47258  chnsubseq  47984  chnerlem2  47987  chnerlem3  47988  2pwp1prm  48768  gpgedgvtx1  49254  nnpw2pb  49793  nn0sumshdiglemA  49825  nn0sumshdiglemB  49826  nn0mullong  49831