Theorem elfzonn0 13635

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13591	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12804	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 234	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  ..^cfzo 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13674  modsumfzodifsn  13879  resunimafz0  14380  ccatrn  14525  pfxmpt  14614  pfxsuffeqwrdeq  14633  swrdccatin1  14660  swrdccatin2  14664  splfv2a  14691  repswswrd  14719  pwdif  15803  pwm1geoser  15804  fzo0dvdseq  16262  smueqlem  16429  hashgcdlem  16727  cshwsidrepsw  17033  chnrev  18562  chnpof1  18565  smndex1gbas  18839  smndex1igid  18841  advlogexp  26632  upgrwlkdvdelem  29821  crctcshwlkn0lem2  29896  crctcshwlkn0lem4  29898  crctcshwlkn0  29906  crctcsh  29909  clwwlkel  30133  clwwlknonex2lem2  30195  eucrctshift  30330  gsummptp1  33150  cycpmco2lem4  33222  cycpmco2lem5  33223  cycpmco2lem6  33224  cycpmco2lem7  33225  cycpmco2  33226  ply1gsumz  33691  ply1degltdimlem  33799  ply1degltdim  33800  signsplypnf  34727  poimirlem5  37873  poimirlem6  37874  poimirlem7  37875  poimirlem10  37878  poimirlem11  37879  poimirlem12  37880  poimirlem16  37884  poimirlem17  37885  poimirlem19  37887  poimirlem20  37888  poimirlem22  37890  poimirlem23  37891  poimirlem25  37893  poimirlem29  37897  poimirlem30  37898  poimirlem31  37899  frlmvscadiccat  42873  fltnltalem  43017  dvnmul  46298  fourierdlem48  46509  chnsubseq  47235  chnerlem2  47238  chnerlem3  47239  2pwp1prm  47946  gpgedgvtx1  48419  nnpw2pb  48944  nn0sumshdiglemA  48976  nn0sumshdiglemB  48977  nn0mullong  48982