Theorem chnerlem2 46991

Description: Lemma for chner 46993 where the I-th element comes before the J-th. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chnerlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chnerlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ∼ Er 𝐴)
3		chner.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
5		chner.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
7		fzofzp1 13664	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
9	4, 8	pfxchn 18516	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶 prefix (𝐽 + 1)) ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝜑)
11		animorrl 982	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽))
12		elfzonn0 13607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
13		nn0uz 12774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
14	13	eleq2i 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 ↔ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
15	14	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
16	5, 12, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
18		fzosplitsni 13679	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
20	11, 19	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
21	10, 20	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))))
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
23	3	chnwrd 18514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
25	5, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
27		pfxlen 14591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
28	24, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
29	28	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))) = (0..^(𝐽 + 1)))
30	22, 29	eleqtrrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))))
31	21, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))))
32	2, 9, 31	chnerlem1 46990	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) ∼ (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))))
33	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
34		pfxfv 14590	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
35	33, 8, 20, 34	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
36		lencl 14440	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
37	23, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
38		fz0add1fz1 13635	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐶) ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
39	37, 5, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
41		pfxfvlsw 14602	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
42	33, 40, 41	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
43		elfzoel2 13558	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
44	43	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ ℤ)
45	44	zcnd 12578	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ ℂ)
46		1cnd 11107	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 1 ∈ ℂ)
47	45, 46	pncand 11473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
48	47	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)) = (𝐶‘𝐽))
49	42, 48	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘𝐽))
50	32, 35, 49	3brtr3d 5120	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   Er wer 8619  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   − cmin 11344  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420  lastSclsw 14469   prefix cpfx 14578   Chain cchn 18511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14504  df-substr 14549  df-pfx 14579  df-chn 18512

This theorem is referenced by:  chner  46993