Theorem chnerlem2 47459

Description: Lemma for chner 47461 where the I-th element comes before the J-th. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chnerlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chnerlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ∼ Er 𝐴)
3		chner.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
4	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
5		chner.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
6	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
7		fzofzp1 13770	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
9	4, 8	pfxchn 18642	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶 prefix (𝐽 + 1)) ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
10		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝜑)
11		animorrl 994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽))
12		elfzonn0 13713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
13		nn0uz 12877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
14	13	eleq2i 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 ↔ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
15	14	biimpi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
16	5, 12, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
17	16	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
18		fzosplitsni 13785	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
20	11, 19	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
21	10, 20	jca 519	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))))
22		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
23	3	chnwrd 18640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
24	23	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
25	5, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
26	25	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
27		pfxlen 14697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
28	24, 26, 27	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
29	28	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))) = (0..^(𝐽 + 1)))
30	22, 29	eleqtrrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))))
31	21, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))))
32	2, 9, 31	chnerlem1 47458	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) ∼ (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))))
33	23	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
34		pfxfv 14696	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
35	33, 8, 20, 34	syl3anc 1390	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
36		lencl 14546	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
37	23, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
38		fz0add1fz1 13741	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐶) ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
39	37, 5, 38	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
40	39	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
41		pfxfvlsw 14708	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
42	33, 40, 41	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
43		elfzoel2 13663	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
44	43	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ ℤ)
45	44	zcnd 12678	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ ℂ)
46		1cnd 11175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 1 ∈ ℂ)
47	45, 46	pncand 11543	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
48	47	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)) = (𝐶‘𝐽))
49	42, 48	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘𝐽))
50	32, 35, 49	3brtr3d 5131	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   Er wer 8675  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   − cmin 11414  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659  ♯chash 14343  Word cword 14526  lastSclsw 14575   prefix cpfx 14684   Chain cchn 18637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-lsw 14576  df-concat 14584  df-s1 14610  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-chn 18638

This theorem is referenced by:  chner  47461