Theorem chnerlem2 48166

Description: Lemma for chner 48168 where the I-th element comes before the J-th. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chnerlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chnerlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ∼ Er 𝐴)
3		chner.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
5		chner.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
7		fzofzp1 13939	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
9	4, 8	pfxchn 18834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶 prefix (𝐽 + 1)) ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
10		animorrl 996	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽))
11		elfzonn0 13882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
12		elnn0uz 13046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 ↔ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
13	12	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
14	5, 11, 13	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
16		fzosplitsni 13954	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
17	15, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
18	10, 17	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
19		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
20	3	chnwrd 18832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
22	5, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
24		pfxlen 14875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
25	21, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
26	25	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))) = (0..^(𝐽 + 1)))
27	19, 26	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))))
28	18, 27	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))))
29	2, 9, 28	chnerlem1 48165	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) ∼ (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))))
30	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
31		pfxfv 14874	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
32	30, 8, 18, 31	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
33		lencl 14719	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
34	20, 33	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
35		fz0add1fz1 13910	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐶) ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
36	34, 5, 35	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
37	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
38		pfxfvlsw 14886	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
39	30, 37, 38	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
40		elfzoel2 13832	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
41	40	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ ℤ)
42	41	zcnd 12844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ ℂ)
43		1cnd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 1 ∈ ℂ)
44	42, 43	pncand 11709	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
45	44	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)) = (𝐶‘𝐽))
46	39, 45	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘𝐽))
47	29, 32, 46	3brtr3d 5142	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   Er wer 8752  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   − cmin 11580  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515  Word cword 14699  lastSclsw 14748   prefix cpfx 14862   Chain cchn 18829

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-lsw 14749  df-concat 14757  df-s1 14784  df-substr 14831  df-pfx 14863  df-chn 18830

This theorem is used by:  chner  48168