Theorem chnerlem2 47714

Description: Lemma for chner 47716 where the I-th element comes before the J-th. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chnerlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chnerlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ∼ Er 𝐴)
3		chner.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
5		chner.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
7		fzofzp1 13823	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
9	4, 8	pfxchn 18701	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶 prefix (𝐽 + 1)) ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
10		animorrl 996	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽))
11		elfzonn0 13766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
12		elnn0uz 12931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 ↔ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
13	12	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
14	5, 11, 13	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
16		fzosplitsni 13838	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
17	15, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
18	10, 17	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
19		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
20	3	chnwrd 18699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
22	5, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
24		pfxlen 14756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
25	21, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
26	25	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))) = (0..^(𝐽 + 1)))
27	19, 26	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))))
28	18, 27	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))))
29	2, 9, 28	chnerlem1 47713	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) ∼ (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))))
30	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
31		pfxfv 14755	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
32	30, 8, 18, 31	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
33		lencl 14601	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
34	20, 33	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
35		fz0add1fz1 13794	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐶) ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
36	34, 5, 35	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
37	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
38		pfxfvlsw 14767	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
39	30, 37, 38	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
40		elfzoel2 13716	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
41	40	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ ℤ)
42	41	zcnd 12729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ ℂ)
43		1cnd 11229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 1 ∈ ℂ)
44	42, 43	pncand 11597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
45	44	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)) = (𝐶‘𝐽))
46	39, 45	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘𝐽))
47	29, 32, 46	3brtr3d 5136	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   Er wer 8696  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   − cmin 11468  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13564  ..^cfzo 13712  ♯chash 14397  Word cword 14581  lastSclsw 14630   prefix cpfx 14743   Chain cchn 18696

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-lsw 14631  df-concat 14639  df-s1 14666  df-substr 14712  df-pfx 14744  df-chn 18697

This theorem is used by:  chner  47716