Theorem chnerlem2 47619

Description: Lemma for chner 47621 where the I-th element comes before the J-th. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chnerlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chnerlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ∼ Er 𝐴)
3		chner.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
5		chner.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
6	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
7		fzofzp1 13789	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
9	4, 8	pfxchn 18661	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶 prefix (𝐽 + 1)) ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
10		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝜑)
11		animorrl 996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽))
12		elfzonn0 13732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
13		nn0uz 12895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
14	13	eleq2i 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 ↔ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
15	14	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
16	5, 12, 15	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘0))
18		fzosplitsni 13804	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
19	17, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐼 = 𝐽)))
20	11, 19	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
21	10, 20	jca 520	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))))
22		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
23	3	chnwrd 18659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
24	23	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
25	5, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
26	25	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
27		pfxlen 14717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
28	24, 26, 27	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
29	28	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))) = (0..^(𝐽 + 1)))
30	22, 29	eleqtrrd 2866	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))))
31	21, 30	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1)))))
32	2, 9, 31	chnerlem1 47618	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) ∼ (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))))
33	23	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
34		pfxfv 14716	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
35	33, 8, 20, 34	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
36		lencl 14566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
37	23, 36	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
38		fz0add1fz1 13760	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐶) ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
39	37, 5, 38	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
40	39	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
41		pfxfvlsw 14728	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
42	33, 40, 41	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
43		elfzoel2 13682	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
44	43	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ ℤ)
45	44	zcnd 12696	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 𝐽 ∈ ℂ)
46		1cnd 11197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → 1 ∈ ℂ)
47	45, 46	pncand 11565	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
48	47	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)) = (𝐶‘𝐽))
49	42, 48	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘𝐽))
50	32, 35, 49	3brtr3d 5142	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   Er wer 8687  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   − cmin 11436  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546  lastSclsw 14595   prefix cpfx 14704   Chain cchn 18656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-chn 18657

This theorem is referenced by:  chner  47621