Theorem chner 47661

Description: Any two elements are equivalent in a chain constructed on an equivalence relation. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chner.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chner	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chner

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2		chner.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
3		chner.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
4	1, 2, 3	chnerlem2 47659	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
5	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → ∼ Er 𝐴)
6		chner.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
7	1, 2, 6	chnerlem2 47659	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → (𝐶‘𝐽) ∼ (𝐶‘𝐼))
8	5, 7	ersym 8713	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
9		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → (𝐶‘𝐼) = (𝐶‘𝐽))
10	9	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐼) = (𝐶‘𝐽))
11	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → ∼ Er 𝐴)
12	2	chnwrd 18688	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
13		wrdsymbcl 14584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
14	12, 3, 13	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
16	11, 15	erref 8721	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐽) ∼ (𝐶‘𝐽))
17	10, 16	eqbrtrd 5135	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
18	1, 2, 3, 6	chnerlem3 47660	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))
19	4, 8, 17, 18	mpjao3dan 1459	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   Er wer 8697  0cc0 11117  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570   Chain cchn 18685

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-lsw 14620  df-concat 14628  df-s1 14655  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-chn 18686

This theorem is used by: (None)