Theorem chner 48034

Description: Any two elements are equivalent in a chain constructed on an equivalence relation. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chner.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chner	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chner

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2		chner.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
3		chner.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
4	1, 2, 3	chnerlem2 48032	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
5	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → ∼ Er 𝐴)
6		chner.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
7	1, 2, 6	chnerlem2 48032	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → (𝐶‘𝐽) ∼ (𝐶‘𝐼))
8	5, 7	ersym 8741	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
9		fveq2 6893	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → (𝐶‘𝐼) = (𝐶‘𝐽))
10	9	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐼) = (𝐶‘𝐽))
11	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → ∼ Er 𝐴)
12	2	chnwrd 18794	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
13		wrdsymbcl 14682	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
14	12, 3, 13	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
16	11, 15	erref 8749	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐽) ∼ (𝐶‘𝐽))
17	10, 16	eqbrtrd 5129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
18	1, 2, 3, 6	chnerlem3 48033	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))
19	4, 8, 17, 18	mpjao3dan 1459	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   Er wer 8725  0cc0 11210  ..^cfzo 13798  ♯chash 14484  Word cword 14668   Chain cchn 18791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-hash 14485  df-word 14669  df-lsw 14718  df-concat 14726  df-s1 14753  df-substr 14800  df-pfx 14832  df-chn 18792

This theorem is used by: (None)