Theorem chner 47461

Description: Any two elements are equivalent in a chain constructed on an equivalence relation. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chner.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chner	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chner

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2		chner.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
3		chner.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
4	1, 2, 3	chnerlem2 47459	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
5	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → ∼ Er 𝐴)
6		chner.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
7	1, 2, 6	chnerlem2 47459	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → (𝐶‘𝐽) ∼ (𝐶‘𝐼))
8	5, 7	ersym 8691	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
9		fveq2 6867	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → (𝐶‘𝐼) = (𝐶‘𝐽))
10	9	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐼) = (𝐶‘𝐽))
11	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → ∼ Er 𝐴)
12	2	chnwrd 18640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
13		wrdsymbcl 14540	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
14	12, 3, 13	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
15	14	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
16	11, 15	erref 8699	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐽) ∼ (𝐶‘𝐽))
17	10, 16	eqbrtrd 5122	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
18	1, 2, 3, 6	chnerlem3 47460	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))
19	4, 8, 17, 18	mpjao3dan 1452	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   Er wer 8675  0cc0 11073  ..^cfzo 13659  ♯chash 14343  Word cword 14526   Chain cchn 18637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-lsw 14576  df-concat 14584  df-s1 14610  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-chn 18638

This theorem is referenced by: (None)