Theorem chner 47330

Description: Any two elements are equivalent in a chain constructed on an equivalence relation. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chner.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chner	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chner

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2		chner.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
3		chner.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
4	1, 2, 3	chnerlem2 47328	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
5	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → ∼ Er 𝐴)
6		chner.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
7	1, 2, 6	chnerlem2 47328	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → (𝐶‘𝐽) ∼ (𝐶‘𝐼))
8	5, 7	ersym 8646	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
9		fveq2 6827	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → (𝐶‘𝐼) = (𝐶‘𝐽))
10	9	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐼) = (𝐶‘𝐽))
11	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → ∼ Er 𝐴)
12	2	chnwrd 18565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
13		wrdsymbcl 14480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
14	12, 3, 13	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
16	11, 15	erref 8654	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐽) ∼ (𝐶‘𝐽))
17	10, 16	eqbrtrd 5094	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
18	1, 2, 3, 6	chnerlem3 47329	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))
19	4, 8, 17, 18	mpjao3dan 1440	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   Er wer 8630  0cc0 11029  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466   Chain cchn 18562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-chn 18563

This theorem is referenced by: (None)