Theorem chner 47894

Description: Any two elements are equivalent in a chain constructed on an equivalence relation. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chner.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
chner.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
chner.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chner.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
chner	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chner

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chner.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2		chner.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∼ Chain 𝐴))
3		chner.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
4	1, 2, 3	chnerlem2 47892	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐽)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
5	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → ∼ Er 𝐴)
6		chner.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
7	1, 2, 6	chnerlem2 47892	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → (𝐶‘𝐽) ∼ (𝐶‘𝐼))
8	5, 7	ersym 8730	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝐼)) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
9		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → (𝐶‘𝐼) = (𝐶‘𝐽))
10	9	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐼) = (𝐶‘𝐽))
11	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → ∼ Er 𝐴)
12	2	chnwrd 18782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
13		wrdsymbcl 14672	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
14	12, 3, 13	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐽) ∈ 𝐴)
16	11, 15	erref 8738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐽) ∼ (𝐶‘𝐽))
17	10, 16	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))
18	1, 2, 3, 6	chnerlem3 47893	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝐽) ∨ 𝐽 ∈ (0..^𝐼) ∨ 𝐼 = 𝐽))
19	4, 8, 17, 18	mpjao3dan 1459	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ∼ (𝐶‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   Er wer 8714  0cc0 11200  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658   Chain cchn 18779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-chn 18780

This theorem is used by: (None)