Theorem elfzo0z 13647

Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 13646 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0z	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13646	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
2		nnz 12536	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	3anim2i 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
4		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5		elnn0z 12528	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6		0red 11138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
7		zre 12519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		zre 12519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		lelttr 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
13		elnnz 12525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
14	13	simplbi2 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 < 𝐵 → 𝐵 ∈ ℕ))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 < 𝐵 → 𝐵 ∈ ℕ))
16	12, 15	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))
17	16	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ∈ ℕ)))
18	17	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ∈ ℕ)))
19	5, 18	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ∈ ℕ)))
20	19	3imp 1111	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
21		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
22	4, 20, 21	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
23	3, 22	impbii 209	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
24	1, 23	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ..^cfzo 13599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600

This theorem is referenced by:  ccat2s1fvwALT  14908  chnpof1  18587  clwwlkel  30131  nn0difffzod  32892  ormkglobd  47321  chnsubseq  47326  chnerlem3  47330  gpgprismgr4cycllem9  48591  grlimedgnedg  48619