Theorem elfzo0z 13629

Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 13628 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0z	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13628	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
2		nnz 12521	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	3anim2i 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
4		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5		elnn0z 12513	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6		0red 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
7		zre 12504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		zre 12504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		lelttr 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
13		elnnz 12510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
14	13	simplbi2 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 < 𝐵 → 𝐵 ∈ ℕ))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 < 𝐵 → 𝐵 ∈ ℕ))
16	12, 15	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))
17	16	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ∈ ℕ)))
18	17	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ∈ ℕ)))
19	5, 18	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ∈ ℕ)))
20	19	3imp 1111	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
21		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
22	4, 20, 21	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
23	3, 22	impbii 209	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
24	1, 23	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ..^cfzo 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583

This theorem is referenced by:  ccat2s1fvwALT  14890  chnpof1  18565  clwwlkel  30133  nn0difffzod  32894  ormkglobd  47227  chnsubseq  47232  chnerlem3  47236  gpgprismgr4cycllem9  48457  grlimedgnedg  48485