Theorem clwwlksswrd 28483

Description: Closed walks (represented by words) are words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlksswrd	⊢ (ClWWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)

Proof of Theorem clwwlksswrd

Dummy variables 𝑖 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clwwlk 28479	. 2 ⊢ (ClWWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))}
4	3	ssrab3 4025	1 ⊢ (ClWWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3896  ∅c0 4266  {cpr 4572  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  0cc0 10950  1c1 10951   + caddc 10953   − cmin 11284  ..^cfzo 13461  ♯chash 14123  Word cword 14295  lastSclsw 14343  Vtxcvtx 27499  Edgcedg 27550  ClWWalkscclwwlk 28477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-map 8666  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-hash 14124  df-word 14296  df-clwwlk 28478

This theorem is referenced by:  clwwlknfi  28541