Theorem clwwlknfi 27354

Description: If there is only a finite number of vertices, the number of closed walks of fixed length (as words) is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknfi	⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Proof of Theorem clwwlknfi

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11588	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		clwwlkn 27330	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}
3		wrdnfi 13568	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
4		clwwlksswrd 27280	. . . . . . 7 ⊢ (ClWWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
5		rabss2 3881	. . . . . . 7 ⊢ ((ClWWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
6	4, 5	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
7	3, 6	ssfid 8425	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
8	2, 7	syl5eqel 2882	. . . 4 ⊢ (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
9	8	expcom 403	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin))
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin))
11		df-nel 3075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	biimpri 220	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∉ ℕ)
13	12	olcd 901	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ → (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ))
14		clwwlkneq0 27335	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
16		0fin 8430	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
17	15, 16	syl6eqel 2886	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
18	17	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin))
19	10, 18	pm2.61i 177	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 385   ∨ wo 874   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ∉ wnel 3074  {crab 3093  Vcvv 3385   ⊆ wss 3769  ∅c0 4115  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  ℕcn 11312  ℕ₀cn0 11580  ♯chash 13370  Word cword 13534  Vtxcvtx 26231  ClWWalkscclwwlk 27274   ClWWalksN cclwwlkn 27326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-word 13535  df-clwwlk 27275  df-clwwlkn 27328

This theorem is referenced by:  qerclwwlknfi  27391  hashclwwlkn0  27392  clwwlknonfin  27432  numclwwlk3lemOLD  27766