MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknfi 27354
Description: If there is only a finite number of vertices, the number of closed walks of fixed length (as words) is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknfi ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Proof of Theorem clwwlknfi
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11588 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 clwwlkn 27330 . . . . 5 (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}
3 wrdnfi 13568 . . . . . 6 (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
4 clwwlksswrd 27280 . . . . . . 7 (ClWWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
5 rabss2 3881 . . . . . . 7 ((ClWWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
64, 5mp1i 13 . . . . . 6 (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
73, 6ssfid 8425 . . . . 5 (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
82, 7syl5eqel 2882 . . . 4 (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
98expcom 403 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin))
101, 9syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin))
11 df-nel 3075 . . . . . . 7 (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
1211biimpri 220 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∉ ℕ)
1312olcd 901 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ → (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ))
14 clwwlkneq0 27335 . . . . 5 ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
1513, 14syl 17 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
16 0fin 8430 . . . 4 ∅ ∈ Fin
1715, 16syl6eqel 2886 . . 3 𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
1817a1d 25 . 2 𝑁 ∈ ℕ → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin))
1910, 18pm2.61i 177 1 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  wnel 3074  {crab 3093  Vcvv 3385  wss 3769  c0 4115  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  cn 11312  0cn0 11580  chash 13370  Word cword 13534  Vtxcvtx 26231  ClWWalkscclwwlk 27274   ClWWalksN cclwwlkn 27326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-word 13535  df-clwwlk 27275  df-clwwlkn 27328
This theorem is referenced by:  qerclwwlknfi  27391  hashclwwlkn0  27392  clwwlknonfin  27432  numclwwlk3lemOLD  27766
  Copyright terms: Public domain W3C validator