MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknfi 27202
Description: If there is only a finite number of vertices, the number of closed walks of fixed length (as words) is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknfi ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Proof of Theorem clwwlknfi
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11502 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 clwwlkn 27179 . . . . 5 (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}
3 wrdnfi 13535 . . . . . 6 (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
4 clwwlksswrd 27138 . . . . . . 7 (ClWWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
5 rabss2 3835 . . . . . . 7 ((ClWWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
64, 5mp1i 13 . . . . . 6 (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
73, 6ssfid 8340 . . . . 5 (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
82, 7syl5eqel 2854 . . . 4 (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
98expcom 398 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin))
101, 9syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin))
11 df-nel 3047 . . . . . . 7 (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
1211biimpri 218 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∉ ℕ)
1312olcd 855 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ → (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ))
14 clwwlkneq0 27184 . . . . 5 ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
1513, 14syl 17 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
16 0fin 8345 . . . 4 ∅ ∈ Fin
1715, 16syl6eqel 2858 . . 3 𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
1817a1d 25 . 2 𝑁 ∈ ℕ → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin))
1910, 18pm2.61i 176 1 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  wo 828   = wceq 1631  wcel 2145  wnel 3046  {crab 3065  Vcvv 3351  wss 3724  c0 4064  cfv 6032  (class class class)co 6794  Fincfn 8110  cn 11223  0cn0 11495  chash 13322  Word cword 13488  Vtxcvtx 26096  ClWWalkscclwwlk 27132   ClWWalksN cclwwlkn 27175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-n0 11496  df-xnn0 11567  df-z 11581  df-uz 11890  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-seq 13010  df-exp 13069  df-hash 13323  df-word 13496  df-clwwlk 27133  df-clwwlkn 27177
This theorem is referenced by:  qerclwwlknfi  27232  hashclwwlkn0  27233  clwwlknonfin  27269  numclwwlk3lemOLD  27581
  Copyright terms: Public domain W3C validator