Theorem clwwlknfi 29871

Description: If there is only a finite number of vertices, the number of closed walks of fixed length (as words) is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknfi	⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Proof of Theorem clwwlknfi

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkn 29852	. 2 ⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}
2		wrdnfi 14528	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
3		clwwlksswrd 29813	. . . 4 ⊢ (ClWWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
4		rabss2 4065	. . . 4 ⊢ ((ClWWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁})
6	2, 5	ssfid 9288	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrid 2829	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  Fincfn 8960  ♯chash 14319  Word cword 14494  Vtxcvtx 28825  ClWWalkscclwwlk 29807   ClWWalksN cclwwlkn 29850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-word 14495  df-clwwlk 29808  df-clwwlkn 29851

This theorem is referenced by:  qerclwwlknfi  29899  hashclwwlkn0  29900  clwwlknonfin  29920