MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decaddc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decaddc2 12132
Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decma.n 𝑁 = 𝐶𝐷
decaddc.e ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
decaddc2.t (𝐵 + 𝐷) = 10
Assertion
Ref Expression
decaddc2 (𝑀 + 𝑁) = 𝐸0

Proof of Theorem decaddc2
StepHypRef Expression
1 decma.a . 2 𝐴 ∈ ℕ0
2 decma.b . 2 𝐵 ∈ ℕ0
3 decma.c . 2 𝐶 ∈ ℕ0
4 decma.d . 2 𝐷 ∈ ℕ0
5 decma.m . 2 𝑀 = 𝐴𝐵
6 decma.n . 2 𝑁 = 𝐶𝐷
7 decaddc.e . 2 ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
8 0nn0 11890 . 2 0 ∈ ℕ0
9 decaddc2.t . 2 (𝐵 + 𝐷) = 10
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9decaddc 12131 1 (𝑀 + 𝑁) = 𝐸0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7130  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517  0cn0 11875  cdc 12076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-ltxr 10657  df-sub 10849  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-dec 12077
This theorem is referenced by:  1259lem4  16445  2503lem2  16449  4001lem1  16452  4001lem2  16453  log2ublem3  25512  log2ub  25513  60gcd7e1  39161  420gcd8e4  39162  ex-decpmul  39302
  Copyright terms: Public domain W3C validator