MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem2 17021
Description: Lemma for 4001prm 17024. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑400 = (2↑200)↑2≡902↑2 = 203𝑁 + 1401 and 2↑800 = (2↑400)↑2≡1401↑2 = 490𝑁 + 2311 ≡2311. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem2 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem2
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 12439 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 12435 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12640 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 12640 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 12171 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 12645 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2834 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 12233 . 2 2 ∈ ℕ
10 9nn0 12444 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
112, 10deccl 12640 . . . 4 49 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 12640 . . 3 490 ∈ ℕ0
1312nn0zi 12535 . 2 490 ∈ ℤ
14 1nn0 12436 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1514, 2deccl 12640 . . . 4 14 ∈ ℕ0
1615, 3deccl 12640 . . 3 140 ∈ ℕ0
1716, 14deccl 12640 . 2 1401 ∈ ℕ0
18 2nn0 12437 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
19 3nn0 12438 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2018, 19deccl 12640 . . . 4 23 ∈ ℕ0
2120, 14deccl 12640 . . 3 231 ∈ ℕ0
2221, 14deccl 12640 . 2 2311 ∈ ℕ0
2318, 3deccl 12640 . . . 4 20 ∈ ℕ0
2423, 3deccl 12640 . . 3 200 ∈ ℕ0
2523, 19deccl 12640 . . . 4 203 ∈ ℕ0
2625nn0zi 12535 . . 3 203 ∈ ℤ
2710, 3deccl 12640 . . . 4 90 ∈ ℕ0
2827, 18deccl 12640 . . 3 902 ∈ ℕ0
2914001lem1 17020 . . 3 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
3024nn0cni 12432 . . . 4 200 ∈ ℂ
31 2cn 12235 . . . 4 2 ∈ ℂ
32 eqid 2737 . . . . 5 200 = 200
33 eqid 2737 . . . . . 6 20 = 20
34 2t2e4 12324 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
3531mul02i 11351 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
3618, 18, 3, 33, 34, 35decmul1 12689 . . . . 5 (20 · 2) = 40
3718, 23, 3, 32, 36, 35decmul1 12689 . . . 4 (200 · 2) = 400
3830, 31, 37mulcomli 11171 . . 3 (2 · 200) = 400
39 eqid 2737 . . . . 5 1401 = 1401
40 6nn0 12441 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
4114, 40deccl 12640 . . . . . 6 16 ∈ ℕ0
42 eqid 2737 . . . . . 6 400 = 400
43 eqid 2737 . . . . . . 7 140 = 140
44 eqid 2737 . . . . . . . 8 14 = 14
45 4p2e6 12313 . . . . . . . 8 (4 + 2) = 6
4614, 2, 18, 44, 45decaddi 12685 . . . . . . 7 (14 + 2) = 16
47 00id 11337 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
4815, 3, 18, 3, 43, 33, 46, 47decadd 12679 . . . . . 6 (140 + 20) = 160
49 eqid 2737 . . . . . . 7 40 = 40
5041nn0cni 12432 . . . . . . . 8 16 ∈ ℂ
5150addid1i 11349 . . . . . . 7 (16 + 0) = 16
52 eqid 2737 . . . . . . . 8 203 = 203
53 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
5453addid1i 11349 . . . . . . . . 9 (1 + 0) = 1
5514dec0h 12647 . . . . . . . . 9 1 = 01
5654, 55eqtri 2765 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 01
5753addid2i 11350 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
5857, 14eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 (0 + 1) ∈ ℕ0
59 4cn 12245 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
60 4t2e8 12328 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
6159, 31, 60mulcomli 11171 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
6259mul02i 11351 . . . . . . . . . . 11 (0 · 4) = 0
6362, 57oveq12i 7374 . . . . . . . . . 10 ((0 · 4) + (0 + 1)) = (0 + 1)
6463, 57eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((0 · 4) + (0 + 1)) = 1
6518, 3, 58, 33, 2, 61, 64decrmanc 12682 . . . . . . . 8 ((20 · 4) + (0 + 1)) = 81
66 2p1e3 12302 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
67 3cn 12241 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
68 4t3e12 12723 . . . . . . . . . 10 (4 · 3) = 12
6959, 67, 68mulcomli 11171 . . . . . . . . 9 (3 · 4) = 12
7014, 18, 66, 69decsuc 12656 . . . . . . . 8 ((3 · 4) + 1) = 13
7123, 19, 3, 14, 52, 56, 2, 19, 14, 65, 70decmac 12677 . . . . . . 7 ((203 · 4) + (1 + 0)) = 813
7225nn0cni 12432 . . . . . . . . . 10 203 ∈ ℂ
7372mul01i 11352 . . . . . . . . 9 (203 · 0) = 0
7473oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((203 · 0) + 6) = (0 + 6)
75 6cn 12251 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
7675addid2i 11350 . . . . . . . 8 (0 + 6) = 6
7740dec0h 12647 . . . . . . . 8 6 = 06
7874, 76, 773eqtri 2769 . . . . . . 7 ((203 · 0) + 6) = 06
792, 3, 14, 40, 49, 51, 25, 40, 3, 71, 78decma2c 12678 . . . . . 6 ((203 · 40) + (16 + 0)) = 8136
8073oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((203 · 0) + 0) = (0 + 0)
813dec0h 12647 . . . . . . 7 0 = 00
8280, 47, 813eqtri 2769 . . . . . 6 ((203 · 0) + 0) = 00
834, 3, 41, 3, 42, 48, 25, 3, 3, 79, 82decma2c 12678 . . . . 5 ((203 · 400) + (140 + 20)) = 81360
8431mulid1i 11166 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
8553mul02i 11351 . . . . . . 7 (0 · 1) = 0
8614, 18, 3, 33, 84, 85decmul1 12689 . . . . . 6 (20 · 1) = 20
8767mulid1i 11166 . . . . . . . 8 (3 · 1) = 3
8887oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
89 3p1e4 12305 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
9088, 89eqtri 2765 . . . . . 6 ((3 · 1) + 1) = 4
9123, 19, 14, 52, 14, 86, 90decrmanc 12682 . . . . 5 ((203 · 1) + 1) = 204
925, 14, 16, 14, 1, 39, 25, 2, 23, 83, 91decma2c 12678 . . . 4 ((203 · 𝑁) + 1401) = 813604
93 eqid 2737 . . . . 5 902 = 902
94 8nn0 12443 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
9514, 94deccl 12640 . . . . . 6 18 ∈ ℕ0
9695, 3deccl 12640 . . . . 5 180 ∈ ℕ0
97 eqid 2737 . . . . . 6 90 = 90
98 eqid 2737 . . . . . 6 180 = 180
9995nn0cni 12432 . . . . . . . 8 18 ∈ ℂ
10099addid1i 11349 . . . . . . 7 (18 + 0) = 18
101 1p2e3 12303 . . . . . . . . 9 (1 + 2) = 3
102101, 19eqeltri 2834 . . . . . . . 8 (1 + 2) ∈ ℕ0
103 9t9e81 12754 . . . . . . . 8 (9 · 9) = 81
104 9cn 12260 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
105104mul02i 11351 . . . . . . . . . 10 (0 · 9) = 0
106105, 101oveq12i 7374 . . . . . . . . 9 ((0 · 9) + (1 + 2)) = (0 + 3)
10767addid2i 11350 . . . . . . . . 9 (0 + 3) = 3
108106, 107eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((0 · 9) + (1 + 2)) = 3
10910, 3, 102, 97, 10, 103, 108decrmanc 12682 . . . . . . 7 ((90 · 9) + (1 + 2)) = 813
110 9t2e18 12747 . . . . . . . . 9 (9 · 2) = 18
111104, 31, 110mulcomli 11171 . . . . . . . 8 (2 · 9) = 18
112 1p1e2 12285 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
113 8p8e16 12711 . . . . . . . 8 (8 + 8) = 16
11414, 94, 94, 111, 112, 40, 113decaddci 12686 . . . . . . 7 ((2 · 9) + 8) = 26
11527, 18, 14, 94, 93, 100, 10, 40, 18, 109, 114decmac 12677 . . . . . 6 ((902 · 9) + (18 + 0)) = 8136
11628nn0cni 12432 . . . . . . . . 9 902 ∈ ℂ
117116mul01i 11352 . . . . . . . 8 (902 · 0) = 0
118117oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((902 · 0) + 0) = (0 + 0)
119118, 47, 813eqtri 2769 . . . . . 6 ((902 · 0) + 0) = 00
12010, 3, 95, 3, 97, 98, 28, 3, 3, 115, 119decma2c 12678 . . . . 5 ((902 · 90) + 180) = 81360
12118, 10, 3, 97, 110, 35decmul1 12689 . . . . . 6 (90 · 2) = 180
12218, 27, 18, 93, 121, 34decmul1 12689 . . . . 5 (902 · 2) = 1804
12328, 27, 18, 93, 2, 96, 120, 122decmul2c 12691 . . . 4 (902 · 902) = 813604
12492, 123eqtr4i 2768 . . 3 ((203 · 𝑁) + 1401) = (902 · 902)
1258, 9, 24, 26, 28, 17, 29, 38, 124mod2xi 16948 . 2 ((2↑400) mod 𝑁) = (1401 mod 𝑁)
1265nn0cni 12432 . . 3 400 ∈ ℂ
12718, 2, 3, 49, 60, 35decmul1 12689 . . . 4 (40 · 2) = 80
12818, 4, 3, 42, 127, 35decmul1 12689 . . 3 (400 · 2) = 800
129126, 31, 128mulcomli 11171 . 2 (2 · 400) = 800
130 eqid 2737 . . . 4 2311 = 2311
13118, 94deccl 12640 . . . . 5 28 ∈ ℕ0
132 eqid 2737 . . . . . 6 231 = 231
133 eqid 2737 . . . . . 6 49 = 49
134 7nn0 12442 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
135 7p1e8 12309 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
136 eqid 2737 . . . . . . . 8 23 = 23
137 4p3e7 12314 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
13859, 67, 137addcomli 11354 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
13918, 19, 2, 136, 138decaddi 12685 . . . . . . 7 (23 + 4) = 27
14018, 134, 135, 139decsuc 12656 . . . . . 6 ((23 + 4) + 1) = 28
141 9p1e10 12627 . . . . . . 7 (9 + 1) = 10
142104, 53, 141addcomli 11354 . . . . . 6 (1 + 9) = 10
14320, 14, 2, 10, 132, 133, 140, 142decaddc2 12681 . . . . 5 (231 + 49) = 280
144131nn0cni 12432 . . . . . . 7 28 ∈ ℂ
145144addid1i 11349 . . . . . 6 (28 + 0) = 28
14631addid1i 11349 . . . . . . . 8 (2 + 0) = 2
147146, 18eqeltri 2834 . . . . . . 7 (2 + 0) ∈ ℕ0
148 eqid 2737 . . . . . . 7 490 = 490
149 4t4e16 12724 . . . . . . . . 9 (4 · 4) = 16
150 6p3e9 12320 . . . . . . . . 9 (6 + 3) = 9
15114, 40, 19, 149, 150decaddi 12685 . . . . . . . 8 ((4 · 4) + 3) = 19
152 9t4e36 12749 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
1532, 2, 10, 133, 40, 19, 151, 152decmul1c 12690 . . . . . . 7 (49 · 4) = 196
15462, 146oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((0 · 4) + (2 + 0)) = (0 + 2)
15531addid2i 11350 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
156154, 155eqtri 2765 . . . . . . 7 ((0 · 4) + (2 + 0)) = 2
15711, 3, 147, 148, 2, 153, 156decrmanc 12682 . . . . . 6 ((490 · 4) + (2 + 0)) = 1962
15812nn0cni 12432 . . . . . . . . 9 490 ∈ ℂ
159158mul01i 11352 . . . . . . . 8 (490 · 0) = 0
160159oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((490 · 0) + 8) = (0 + 8)
161 8cn 12257 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
162161addid2i 11350 . . . . . . 7 (0 + 8) = 8
16394dec0h 12647 . . . . . . 7 8 = 08
164160, 162, 1633eqtri 2769 . . . . . 6 ((490 · 0) + 8) = 08
1652, 3, 18, 94, 49, 145, 12, 94, 3, 157, 164decma2c 12678 . . . . 5 ((490 · 40) + (28 + 0)) = 19628
166159oveq1i 7372 . . . . . 6 ((490 · 0) + 0) = (0 + 0)
167166, 47, 813eqtri 2769 . . . . 5 ((490 · 0) + 0) = 00
1684, 3, 131, 3, 42, 143, 12, 3, 3, 165, 167decma2c 12678 . . . 4 ((490 · 400) + (231 + 49)) = 196280
16959mulid1i 11166 . . . . . 6 (4 · 1) = 4
170104mulid1i 11166 . . . . . 6 (9 · 1) = 9
17114, 2, 10, 133, 169, 170decmul1 12689 . . . . 5 (49 · 1) = 49
17285oveq1i 7372 . . . . . 6 ((0 · 1) + 1) = (0 + 1)
173172, 57eqtri 2765 . . . . 5 ((0 · 1) + 1) = 1
17411, 3, 14, 148, 14, 171, 173decrmanc 12682 . . . 4 ((490 · 1) + 1) = 491
1755, 14, 21, 14, 1, 130, 12, 14, 11, 168, 174decma2c 12678 . . 3 ((490 · 𝑁) + 2311) = 1962801
17615nn0cni 12432 . . . . . . 7 14 ∈ ℂ
177176addid1i 11349 . . . . . 6 (14 + 0) = 14
178 5nn0 12440 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
179178, 40deccl 12640 . . . . . . 7 56 ∈ ℕ0
180179, 3deccl 12640 . . . . . 6 560 ∈ ℕ0
181 eqid 2737 . . . . . . . 8 560 = 560
182179nn0cni 12432 . . . . . . . . 9 56 ∈ ℂ
183182addid2i 11350 . . . . . . . 8 (0 + 56) = 56
1843, 14, 179, 3, 55, 181, 183, 54decadd 12679 . . . . . . 7 (1 + 560) = 561
185182addid1i 11349 . . . . . . . 8 (56 + 0) = 56
186 5cn 12248 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
187186addid1i 11349 . . . . . . . . . 10 (5 + 0) = 5
188187, 178eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 (5 + 0) ∈ ℕ0
18953mulid1i 11166 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
190169, 187oveq12i 7374 . . . . . . . . . 10 ((4 · 1) + (5 + 0)) = (4 + 5)
191 5p4e9 12318 . . . . . . . . . . 11 (5 + 4) = 9
192186, 59, 191addcomli 11354 . . . . . . . . . 10 (4 + 5) = 9
193190, 192eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((4 · 1) + (5 + 0)) = 9
19414, 2, 188, 44, 14, 189, 193decrmanc 12682 . . . . . . . 8 ((14 · 1) + (5 + 0)) = 19
19585oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((0 · 1) + 6) = (0 + 6)
196195, 76, 773eqtri 2769 . . . . . . . 8 ((0 · 1) + 6) = 06
19715, 3, 178, 40, 43, 185, 14, 40, 3, 194, 196decmac 12677 . . . . . . 7 ((140 · 1) + (56 + 0)) = 196
198189oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
19918dec0h 12647 . . . . . . . 8 2 = 02
200198, 112, 1993eqtri 2769 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 02
20116, 14, 179, 14, 39, 184, 14, 18, 3, 197, 200decmac 12677 . . . . . 6 ((1401 · 1) + (1 + 560)) = 1962
20259mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
203202oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + 1) = (4 + 1)
204 4p1e5 12306 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
205203, 204eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + 1) = 5
2062, 14, 2, 44, 40, 14, 205, 149decmul1c 12690 . . . . . . . . 9 (14 · 4) = 56
20775addid1i 11349 . . . . . . . . 9 (6 + 0) = 6
208178, 40, 3, 206, 207decaddi 12685 . . . . . . . 8 ((14 · 4) + 0) = 56
209 0cn 11154 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
21059mul01i 11352 . . . . . . . . . 10 (4 · 0) = 0
211210, 81eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (4 · 0) = 00
21259, 209, 211mulcomli 11171 . . . . . . . 8 (0 · 4) = 00
2132, 15, 3, 43, 3, 3, 208, 212decmul1c 12690 . . . . . . 7 (140 · 4) = 560
214202oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((1 · 4) + 4) = (4 + 4)
215 4p4e8 12315 . . . . . . . 8 (4 + 4) = 8
216214, 215eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 · 4) + 4) = 8
21716, 14, 2, 39, 2, 213, 216decrmanc 12682 . . . . . 6 ((1401 · 4) + 4) = 5608
21814, 2, 14, 2, 44, 177, 17, 94, 180, 201, 217decma2c 12678 . . . . 5 ((1401 · 14) + (14 + 0)) = 19628
21917nn0cni 12432 . . . . . . . 8 1401 ∈ ℂ
220219mul01i 11352 . . . . . . 7 (1401 · 0) = 0
221220oveq1i 7372 . . . . . 6 ((1401 · 0) + 0) = (0 + 0)
222221, 47, 813eqtri 2769 . . . . 5 ((1401 · 0) + 0) = 00
22315, 3, 15, 3, 43, 43, 17, 3, 3, 218, 222decma2c 12678 . . . 4 ((1401 · 140) + 140) = 196280
224219mulid1i 11166 . . . 4 (1401 · 1) = 1401
22517, 16, 14, 39, 14, 16, 223, 224decmul2c 12691 . . 3 (1401 · 1401) = 1962801
226175, 225eqtr4i 2768 . 2 ((490 · 𝑁) + 2311) = (1401 · 1401)
2278, 9, 5, 13, 17, 22, 125, 129, 226mod2xi 16948 1 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  0cn0 12420  cdc 12625   mod cmo 13781  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  4001lem3  17022  4001lem4  17023
  Copyright terms: Public domain W3C validator