MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem2 17176
Description: Lemma for 4001prm 17179. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑400 = (2↑200)↑2≡902↑2 = 203𝑁 + 1401 and 2↑800 = (2↑400)↑2≡1401↑2 = 490𝑁 + 2311 ≡2311. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem2 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem2
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 12543 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 12539 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12746 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 12746 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 12275 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 12751 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2835 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 12337 . 2 2 ∈ ℕ
10 9nn0 12548 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
112, 10deccl 12746 . . . 4 49 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 12746 . . 3 490 ∈ ℕ0
1312nn0zi 12640 . 2 490 ∈ ℤ
14 1nn0 12540 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1514, 2deccl 12746 . . . 4 14 ∈ ℕ0
1615, 3deccl 12746 . . 3 140 ∈ ℕ0
1716, 14deccl 12746 . 2 1401 ∈ ℕ0
18 2nn0 12541 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
19 3nn0 12542 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2018, 19deccl 12746 . . . 4 23 ∈ ℕ0
2120, 14deccl 12746 . . 3 231 ∈ ℕ0
2221, 14deccl 12746 . 2 2311 ∈ ℕ0
2318, 3deccl 12746 . . . 4 20 ∈ ℕ0
2423, 3deccl 12746 . . 3 200 ∈ ℕ0
2523, 19deccl 12746 . . . 4 203 ∈ ℕ0
2625nn0zi 12640 . . 3 203 ∈ ℤ
2710, 3deccl 12746 . . . 4 90 ∈ ℕ0
2827, 18deccl 12746 . . 3 902 ∈ ℕ0
2914001lem1 17175 . . 3 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
3024nn0cni 12536 . . . 4 200 ∈ ℂ
31 2cn 12339 . . . 4 2 ∈ ℂ
32 eqid 2735 . . . . 5 200 = 200
33 eqid 2735 . . . . . 6 20 = 20
34 2t2e4 12428 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
3531mul02i 11448 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
3618, 18, 3, 33, 34, 35decmul1 12795 . . . . 5 (20 · 2) = 40
3718, 23, 3, 32, 36, 35decmul1 12795 . . . 4 (200 · 2) = 400
3830, 31, 37mulcomli 11268 . . 3 (2 · 200) = 400
39 eqid 2735 . . . . 5 1401 = 1401
40 6nn0 12545 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
4114, 40deccl 12746 . . . . . 6 16 ∈ ℕ0
42 eqid 2735 . . . . . 6 400 = 400
43 eqid 2735 . . . . . . 7 140 = 140
44 eqid 2735 . . . . . . . 8 14 = 14
45 4p2e6 12417 . . . . . . . 8 (4 + 2) = 6
4614, 2, 18, 44, 45decaddi 12791 . . . . . . 7 (14 + 2) = 16
47 00id 11434 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
4815, 3, 18, 3, 43, 33, 46, 47decadd 12785 . . . . . 6 (140 + 20) = 160
49 eqid 2735 . . . . . . 7 40 = 40
5041nn0cni 12536 . . . . . . . 8 16 ∈ ℂ
5150addridi 11446 . . . . . . 7 (16 + 0) = 16
52 eqid 2735 . . . . . . . 8 203 = 203
53 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
5453addridi 11446 . . . . . . . . 9 (1 + 0) = 1
5514dec0h 12753 . . . . . . . . 9 1 = 01
5654, 55eqtri 2763 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 01
5753addlidi 11447 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
5857, 14eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 (0 + 1) ∈ ℕ0
59 4cn 12349 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
60 4t2e8 12432 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
6159, 31, 60mulcomli 11268 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
6259mul02i 11448 . . . . . . . . . . 11 (0 · 4) = 0
6362, 57oveq12i 7443 . . . . . . . . . 10 ((0 · 4) + (0 + 1)) = (0 + 1)
6463, 57eqtri 2763 . . . . . . . . 9 ((0 · 4) + (0 + 1)) = 1
6518, 3, 58, 33, 2, 61, 64decrmanc 12788 . . . . . . . 8 ((20 · 4) + (0 + 1)) = 81
66 2p1e3 12406 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
67 3cn 12345 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
68 4t3e12 12829 . . . . . . . . . 10 (4 · 3) = 12
6959, 67, 68mulcomli 11268 . . . . . . . . 9 (3 · 4) = 12
7014, 18, 66, 69decsuc 12762 . . . . . . . 8 ((3 · 4) + 1) = 13
7123, 19, 3, 14, 52, 56, 2, 19, 14, 65, 70decmac 12783 . . . . . . 7 ((203 · 4) + (1 + 0)) = 813
7225nn0cni 12536 . . . . . . . . . 10 203 ∈ ℂ
7372mul01i 11449 . . . . . . . . 9 (203 · 0) = 0
7473oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((203 · 0) + 6) = (0 + 6)
75 6cn 12355 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
7675addlidi 11447 . . . . . . . 8 (0 + 6) = 6
7740dec0h 12753 . . . . . . . 8 6 = 06
7874, 76, 773eqtri 2767 . . . . . . 7 ((203 · 0) + 6) = 06
792, 3, 14, 40, 49, 51, 25, 40, 3, 71, 78decma2c 12784 . . . . . 6 ((203 · 40) + (16 + 0)) = 8136
8073oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((203 · 0) + 0) = (0 + 0)
813dec0h 12753 . . . . . . 7 0 = 00
8280, 47, 813eqtri 2767 . . . . . 6 ((203 · 0) + 0) = 00
834, 3, 41, 3, 42, 48, 25, 3, 3, 79, 82decma2c 12784 . . . . 5 ((203 · 400) + (140 + 20)) = 81360
8431mulridi 11263 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
8553mul02i 11448 . . . . . . 7 (0 · 1) = 0
8614, 18, 3, 33, 84, 85decmul1 12795 . . . . . 6 (20 · 1) = 20
8767mulridi 11263 . . . . . . . 8 (3 · 1) = 3
8887oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
89 3p1e4 12409 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
9088, 89eqtri 2763 . . . . . 6 ((3 · 1) + 1) = 4
9123, 19, 14, 52, 14, 86, 90decrmanc 12788 . . . . 5 ((203 · 1) + 1) = 204
925, 14, 16, 14, 1, 39, 25, 2, 23, 83, 91decma2c 12784 . . . 4 ((203 · 𝑁) + 1401) = 813604
93 eqid 2735 . . . . 5 902 = 902
94 8nn0 12547 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
9514, 94deccl 12746 . . . . . 6 18 ∈ ℕ0
9695, 3deccl 12746 . . . . 5 180 ∈ ℕ0
97 eqid 2735 . . . . . 6 90 = 90
98 eqid 2735 . . . . . 6 180 = 180
9995nn0cni 12536 . . . . . . . 8 18 ∈ ℂ
10099addridi 11446 . . . . . . 7 (18 + 0) = 18
101 1p2e3 12407 . . . . . . . . 9 (1 + 2) = 3
102101, 19eqeltri 2835 . . . . . . . 8 (1 + 2) ∈ ℕ0
103 9t9e81 12860 . . . . . . . 8 (9 · 9) = 81
104 9cn 12364 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
105104mul02i 11448 . . . . . . . . . 10 (0 · 9) = 0
106105, 101oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 ((0 · 9) + (1 + 2)) = (0 + 3)
10767addlidi 11447 . . . . . . . . 9 (0 + 3) = 3
108106, 107eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((0 · 9) + (1 + 2)) = 3
10910, 3, 102, 97, 10, 103, 108decrmanc 12788 . . . . . . 7 ((90 · 9) + (1 + 2)) = 813
110 9t2e18 12853 . . . . . . . . 9 (9 · 2) = 18
111104, 31, 110mulcomli 11268 . . . . . . . 8 (2 · 9) = 18
112 1p1e2 12389 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
113 8p8e16 12817 . . . . . . . 8 (8 + 8) = 16
11414, 94, 94, 111, 112, 40, 113decaddci 12792 . . . . . . 7 ((2 · 9) + 8) = 26
11527, 18, 14, 94, 93, 100, 10, 40, 18, 109, 114decmac 12783 . . . . . 6 ((902 · 9) + (18 + 0)) = 8136
11628nn0cni 12536 . . . . . . . . 9 902 ∈ ℂ
117116mul01i 11449 . . . . . . . 8 (902 · 0) = 0
118117oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((902 · 0) + 0) = (0 + 0)
119118, 47, 813eqtri 2767 . . . . . 6 ((902 · 0) + 0) = 00
12010, 3, 95, 3, 97, 98, 28, 3, 3, 115, 119decma2c 12784 . . . . 5 ((902 · 90) + 180) = 81360
12118, 10, 3, 97, 110, 35decmul1 12795 . . . . . 6 (90 · 2) = 180
12218, 27, 18, 93, 121, 34decmul1 12795 . . . . 5 (902 · 2) = 1804
12328, 27, 18, 93, 2, 96, 120, 122decmul2c 12797 . . . 4 (902 · 902) = 813604
12492, 123eqtr4i 2766 . . 3 ((203 · 𝑁) + 1401) = (902 · 902)
1258, 9, 24, 26, 28, 17, 29, 38, 124mod2xi 17103 . 2 ((2↑400) mod 𝑁) = (1401 mod 𝑁)
1265nn0cni 12536 . . 3 400 ∈ ℂ
12718, 2, 3, 49, 60, 35decmul1 12795 . . . 4 (40 · 2) = 80
12818, 4, 3, 42, 127, 35decmul1 12795 . . 3 (400 · 2) = 800
129126, 31, 128mulcomli 11268 . 2 (2 · 400) = 800
130 eqid 2735 . . . 4 2311 = 2311
13118, 94deccl 12746 . . . . 5 28 ∈ ℕ0
132 eqid 2735 . . . . . 6 231 = 231
133 eqid 2735 . . . . . 6 49 = 49
134 7nn0 12546 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
135 7p1e8 12413 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
136 eqid 2735 . . . . . . . 8 23 = 23
137 4p3e7 12418 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
13859, 67, 137addcomli 11451 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
13918, 19, 2, 136, 138decaddi 12791 . . . . . . 7 (23 + 4) = 27
14018, 134, 135, 139decsuc 12762 . . . . . 6 ((23 + 4) + 1) = 28
141 9p1e10 12733 . . . . . . 7 (9 + 1) = 10
142104, 53, 141addcomli 11451 . . . . . 6 (1 + 9) = 10
14320, 14, 2, 10, 132, 133, 140, 142decaddc2 12787 . . . . 5 (231 + 49) = 280
144131nn0cni 12536 . . . . . . 7 28 ∈ ℂ
145144addridi 11446 . . . . . 6 (28 + 0) = 28
14631addridi 11446 . . . . . . . 8 (2 + 0) = 2
147146, 18eqeltri 2835 . . . . . . 7 (2 + 0) ∈ ℕ0
148 eqid 2735 . . . . . . 7 490 = 490
149 4t4e16 12830 . . . . . . . . 9 (4 · 4) = 16
150 6p3e9 12424 . . . . . . . . 9 (6 + 3) = 9
15114, 40, 19, 149, 150decaddi 12791 . . . . . . . 8 ((4 · 4) + 3) = 19
152 9t4e36 12855 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
1532, 2, 10, 133, 40, 19, 151, 152decmul1c 12796 . . . . . . 7 (49 · 4) = 196
15462, 146oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((0 · 4) + (2 + 0)) = (0 + 2)
15531addlidi 11447 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
156154, 155eqtri 2763 . . . . . . 7 ((0 · 4) + (2 + 0)) = 2
15711, 3, 147, 148, 2, 153, 156decrmanc 12788 . . . . . 6 ((490 · 4) + (2 + 0)) = 1962
15812nn0cni 12536 . . . . . . . . 9 490 ∈ ℂ
159158mul01i 11449 . . . . . . . 8 (490 · 0) = 0
160159oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((490 · 0) + 8) = (0 + 8)
161 8cn 12361 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
162161addlidi 11447 . . . . . . 7 (0 + 8) = 8
16394dec0h 12753 . . . . . . 7 8 = 08
164160, 162, 1633eqtri 2767 . . . . . 6 ((490 · 0) + 8) = 08
1652, 3, 18, 94, 49, 145, 12, 94, 3, 157, 164decma2c 12784 . . . . 5 ((490 · 40) + (28 + 0)) = 19628
166159oveq1i 7441 . . . . . 6 ((490 · 0) + 0) = (0 + 0)
167166, 47, 813eqtri 2767 . . . . 5 ((490 · 0) + 0) = 00
1684, 3, 131, 3, 42, 143, 12, 3, 3, 165, 167decma2c 12784 . . . 4 ((490 · 400) + (231 + 49)) = 196280
16959mulridi 11263 . . . . . 6 (4 · 1) = 4
170104mulridi 11263 . . . . . 6 (9 · 1) = 9
17114, 2, 10, 133, 169, 170decmul1 12795 . . . . 5 (49 · 1) = 49
17285oveq1i 7441 . . . . . 6 ((0 · 1) + 1) = (0 + 1)
173172, 57eqtri 2763 . . . . 5 ((0 · 1) + 1) = 1
17411, 3, 14, 148, 14, 171, 173decrmanc 12788 . . . 4 ((490 · 1) + 1) = 491
1755, 14, 21, 14, 1, 130, 12, 14, 11, 168, 174decma2c 12784 . . 3 ((490 · 𝑁) + 2311) = 1962801
17615nn0cni 12536 . . . . . . 7 14 ∈ ℂ
177176addridi 11446 . . . . . 6 (14 + 0) = 14
178 5nn0 12544 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
179178, 40deccl 12746 . . . . . . 7 56 ∈ ℕ0
180179, 3deccl 12746 . . . . . 6 560 ∈ ℕ0
181 eqid 2735 . . . . . . . 8 560 = 560
182179nn0cni 12536 . . . . . . . . 9 56 ∈ ℂ
183182addlidi 11447 . . . . . . . 8 (0 + 56) = 56
1843, 14, 179, 3, 55, 181, 183, 54decadd 12785 . . . . . . 7 (1 + 560) = 561
185182addridi 11446 . . . . . . . 8 (56 + 0) = 56
186 5cn 12352 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
187186addridi 11446 . . . . . . . . . 10 (5 + 0) = 5
188187, 178eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 (5 + 0) ∈ ℕ0
18953mulridi 11263 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
190169, 187oveq12i 7443 . . . . . . . . . 10 ((4 · 1) + (5 + 0)) = (4 + 5)
191 5p4e9 12422 . . . . . . . . . . 11 (5 + 4) = 9
192186, 59, 191addcomli 11451 . . . . . . . . . 10 (4 + 5) = 9
193190, 192eqtri 2763 . . . . . . . . 9 ((4 · 1) + (5 + 0)) = 9
19414, 2, 188, 44, 14, 189, 193decrmanc 12788 . . . . . . . 8 ((14 · 1) + (5 + 0)) = 19
19585oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((0 · 1) + 6) = (0 + 6)
196195, 76, 773eqtri 2767 . . . . . . . 8 ((0 · 1) + 6) = 06
19715, 3, 178, 40, 43, 185, 14, 40, 3, 194, 196decmac 12783 . . . . . . 7 ((140 · 1) + (56 + 0)) = 196
198189oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
19918dec0h 12753 . . . . . . . 8 2 = 02
200198, 112, 1993eqtri 2767 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 02
20116, 14, 179, 14, 39, 184, 14, 18, 3, 197, 200decmac 12783 . . . . . 6 ((1401 · 1) + (1 + 560)) = 1962
20259mullidi 11264 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
203202oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + 1) = (4 + 1)
204 4p1e5 12410 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
205203, 204eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + 1) = 5
2062, 14, 2, 44, 40, 14, 205, 149decmul1c 12796 . . . . . . . . 9 (14 · 4) = 56
20775addridi 11446 . . . . . . . . 9 (6 + 0) = 6
208178, 40, 3, 206, 207decaddi 12791 . . . . . . . 8 ((14 · 4) + 0) = 56
209 0cn 11251 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
21059mul01i 11449 . . . . . . . . . 10 (4 · 0) = 0
211210, 81eqtri 2763 . . . . . . . . 9 (4 · 0) = 00
21259, 209, 211mulcomli 11268 . . . . . . . 8 (0 · 4) = 00
2132, 15, 3, 43, 3, 3, 208, 212decmul1c 12796 . . . . . . 7 (140 · 4) = 560
214202oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((1 · 4) + 4) = (4 + 4)
215 4p4e8 12419 . . . . . . . 8 (4 + 4) = 8
216214, 215eqtri 2763 . . . . . . 7 ((1 · 4) + 4) = 8
21716, 14, 2, 39, 2, 213, 216decrmanc 12788 . . . . . 6 ((1401 · 4) + 4) = 5608
21814, 2, 14, 2, 44, 177, 17, 94, 180, 201, 217decma2c 12784 . . . . 5 ((1401 · 14) + (14 + 0)) = 19628
21917nn0cni 12536 . . . . . . . 8 1401 ∈ ℂ
220219mul01i 11449 . . . . . . 7 (1401 · 0) = 0
221220oveq1i 7441 . . . . . 6 ((1401 · 0) + 0) = (0 + 0)
222221, 47, 813eqtri 2767 . . . . 5 ((1401 · 0) + 0) = 00
22315, 3, 15, 3, 43, 43, 17, 3, 3, 218, 222decma2c 12784 . . . 4 ((1401 · 140) + 140) = 196280
224219mulridi 11263 . . . 4 (1401 · 1) = 1401
22517, 16, 14, 39, 14, 16, 223, 224decmul2c 12797 . . 3 (1401 · 1401) = 1962801
226175, 225eqtr4i 2766 . 2 ((490 · 𝑁) + 2311) = (1401 · 1401)
2278, 9, 5, 13, 17, 22, 125, 129, 226mod2xi 17103 1 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  0cn0 12524  cdc 12731   mod cmo 13906  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  4001lem3  17177  4001lem4  17178
  Copyright terms: Public domain W3C validator