Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ex-decpmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-decpmul 39483
 Description: Example usage of decpmul 39479. This proof is significantly longer than 235t711 39482. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 39482. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 10643 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ex-decpmul (235 · 711) = 167085

Proof of Theorem ex-decpmul
StepHypRef Expression
1 2nn0 11906 . . 3 2 ∈ ℕ0
2 3nn0 11907 . . 3 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12105 . 2 23 ∈ ℕ0
4 5nn0 11909 . 2 5 ∈ ℕ0
5 7nn0 11911 . . 3 7 ∈ ℕ0
6 1nn0 11905 . . 3 1 ∈ ℕ0
75, 6deccl 12105 . 2 71 ∈ ℕ0
8 eqid 2801 . . 3 71 = 71
9 6nn0 11910 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
106, 9deccl 12105 . . . 4 16 ∈ ℕ0
11 eqid 2801 . . . . 5 23 = 23
12 4nn0 11908 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
13 7cn 11723 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
14 2cn 11704 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
15 7t2e14 12199 . . . . . . 7 (7 · 2) = 14
1613, 14, 15mulcomli 10643 . . . . . 6 (2 · 7) = 14
17 4p2e6 11782 . . . . . 6 (4 + 2) = 6
186, 12, 1, 16, 17decaddi 12150 . . . . 5 ((2 · 7) + 2) = 16
19 3cn 11710 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
20 7t3e21 12200 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
2113, 19, 20mulcomli 10643 . . . . 5 (3 · 7) = 21
225, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21decmul1c 12155 . . . 4 (23 · 7) = 161
23 1p2e3 11772 . . . 4 (1 + 2) = 3
2410, 6, 1, 22, 23decaddi 12150 . . 3 ((23 · 7) + 2) = 163
253nn0cni 11901 . . . 4 23 ∈ ℂ
2625mulid1i 10638 . . 3 (23 · 1) = 23
273, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26decmul2c 12156 . 2 (23 · 71) = 1633
282, 4deccl 12105 . . 3 35 ∈ ℕ0
297nn0cni 11901 . . . 4 71 ∈ ℂ
30 5cn 11717 . . . 4 5 ∈ ℂ
31 7t5e35 12202 . . . . 5 (7 · 5) = 35
3230mulid2i 10639 . . . . 5 (1 · 5) = 5
334, 5, 6, 8, 31, 32decmul1 12154 . . . 4 (71 · 5) = 355
3429, 30, 33mulcomli 10643 . . 3 (5 · 71) = 355
3528nn0cni 11901 . . . 4 35 ∈ ℂ
36 eqid 2801 . . . . 5 35 = 35
37 5p2e7 11785 . . . . 5 (5 + 2) = 7
382, 4, 1, 36, 37decaddi 12150 . . . 4 (35 + 2) = 37
3935, 14, 38addcomli 10825 . . 3 (2 + 35) = 37
40 5p3e8 11786 . . . 4 (5 + 3) = 8
4130, 19, 40addcomli 10825 . . 3 (3 + 5) = 8
421, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41decadd 12144 . 2 ((23 · 1) + (5 · 71)) = 378
4330mulid1i 10638 . . 3 (5 · 1) = 5
444dec0h 12112 . . 3 5 = 05
4543, 44eqtri 2824 . 2 (5 · 1) = 05
4610, 2deccl 12105 . . . 4 163 ∈ ℕ0
4746, 2deccl 12105 . . 3 1633 ∈ ℕ0
48 0nn0 11904 . . 3 0 ∈ ℕ0
492, 5deccl 12105 . . 3 37 ∈ ℕ0
50 8nn0 11912 . . 3 8 ∈ ℕ0
51 eqid 2801 . . 3 16330 = 16330
52 eqid 2801 . . 3 378 = 378
53 eqid 2801 . . . 4 1633 = 1633
54 eqid 2801 . . . 4 37 = 37
55 eqid 2801 . . . . . 6 163 = 163
56 3p3e6 11781 . . . . . 6 (3 + 3) = 6
5710, 2, 2, 55, 56decaddi 12150 . . . . 5 (163 + 3) = 166
58 6p1e7 11777 . . . . 5 (6 + 1) = 7
5910, 9, 6, 57, 58decaddi 12150 . . . 4 ((163 + 3) + 1) = 167
60 7p3e10 12165 . . . . 5 (7 + 3) = 10
6113, 19, 60addcomli 10825 . . . 4 (3 + 7) = 10
6246, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61decaddc2 12146 . . 3 (1633 + 37) = 1670
63 8cn 11726 . . . 4 8 ∈ ℂ
6463addid2i 10821 . . 3 (0 + 8) = 8
6547, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64decadd 12144 . 2 (16330 + 378) = 16708
663, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4decpmul 39479 1 (235 · 711) = 167085
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  6c6 11688  7c7 11689  8c8 11690  ;cdc 12090 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-sub 10865  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-dec 12091 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator