Theorem ex-decpmul 41206

Description: Example usage of decpmul 41200. This proof is significantly longer than 235t711 41205. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 41205. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 11223 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12489	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12490	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12692	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12492	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12494	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12488	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12692	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2733	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12692	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12491	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 12306	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 12287	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12786	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 11223	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 12365	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12737	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 12293	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12787	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 11223	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12742	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 12355	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12737	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12484	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11218	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12743	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12692	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12484	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 12300	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12789	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mullidi 11219	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12741	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 11223	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12484	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 12368	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12737	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11406	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 12369	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11406	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12731	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulridi 11218	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12699	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2761	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12692	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12692	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12487	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12692	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12495	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2733	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2733	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 12364	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12737	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 12360	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12737	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12752	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11406	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12733	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 12309	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addlidi 11402	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12731	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 41200	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  ;cdc 12677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-dec 12678

This theorem is referenced by: (None)