Theorem ex-decpmul 42863

Description: Example usage of decpmul 42845. This proof is significantly longer than 235t711 42862. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 42862. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 11181 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12488	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12489	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12693	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12491	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12493	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12487	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12693	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2756	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12492	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12693	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12490	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 12302	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 12283	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12792	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 11181	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 12360	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12743	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 12289	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12793	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 11181	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12748	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 12350	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12743	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12483	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11176	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12749	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12693	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12483	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 12296	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12795	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mullidi 11177	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12747	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 11181	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12483	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 12363	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12743	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11365	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 12364	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11365	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12737	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulridi 11176	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12705	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2779	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12693	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12693	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12486	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12693	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12494	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2756	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2756	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2756	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2756	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 12359	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12743	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 12355	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12743	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12758	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11365	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12739	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 12305	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addlidi 11361	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12737	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 42845	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Syntax hints:   = wceq 1554  (class class class)co 7385  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066   · cmul 11068  2c2 12262  3c3 12263  4c4 12264  5c5 12265  6c6 12266  7c7 12267  8c8 12268  ;cdc 12678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-ltxr 11211  df-sub 11406  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-dec 12679

This theorem is referenced by: (None)