Theorem ex-decpmul 41769

Description: Example usage of decpmul 41763. This proof is significantly longer than 235t711 41768. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 41768. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 11227 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12493	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12494	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12696	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12496	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12498	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12492	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12696	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2726	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12497	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12696	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12495	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 12310	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 12291	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12790	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 11227	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 12369	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12741	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 12297	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12791	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 11227	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12746	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 12359	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12741	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12488	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11222	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12747	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12696	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12488	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 12304	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12793	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mullidi 11223	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12745	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 11227	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12488	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 12372	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12741	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11410	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 12373	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11410	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12735	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulridi 11222	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12703	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2754	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12696	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12696	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12491	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12696	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12499	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2726	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2726	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 12368	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12741	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 12364	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12741	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12756	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11410	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12737	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 12313	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addlidi 11406	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12735	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 41763	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  ;cdc 12681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-dec 12682

This theorem is referenced by: (None)