Theorem ex-decpmul 42319

Description: Example usage of decpmul 42302. This proof is significantly longer than 235t711 42318. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 42318. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 11268 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12541	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12542	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12746	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12544	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12546	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12540	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12746	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12545	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 12358	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 12339	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12840	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 11268	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 12417	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12791	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 12345	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12841	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 11268	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12796	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 12407	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12791	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12536	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11263	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12797	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12536	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 12352	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12843	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mullidi 11264	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12795	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 11268	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12536	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 12420	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12791	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11451	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 12421	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11451	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12785	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulridi 11263	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12753	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2763	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12539	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12547	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2735	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2735	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 12416	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12791	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 12412	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12791	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12806	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11451	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12787	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 12361	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addlidi 11447	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12785	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 42302	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  ;cdc 12731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-dec 12732

This theorem is referenced by: (None)