Theorem ex-decpmul 42294

Description: Example usage of decpmul 42276. This proof is significantly longer than 235t711 42293. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 42293. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 11183 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12459	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12460	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12664	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12462	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12464	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12458	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12664	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12463	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12461	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 12280	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 12261	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12758	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 11183	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 12334	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12709	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 12267	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12759	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 11183	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12714	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 12324	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12709	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12454	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11178	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12715	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12454	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 12274	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12761	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mullidi 11179	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12713	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 11183	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12454	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 12337	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12709	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11366	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 12338	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11366	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12703	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulridi 11178	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12671	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2752	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12457	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12465	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 12333	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12709	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 12329	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12709	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12724	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11366	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12705	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 12283	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addlidi 11362	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12703	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 42276	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  7c7 12246  8c8 12247  ;cdc 12649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-dec 12650

This theorem is referenced by: (None)