Theorem ex-decpmul 43108

Description: Example usage of decpmul 43090. This proof is significantly longer than 235t711 43107. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 43107. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 11236 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12539	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12540	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12744	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12542	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12544	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12538	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12744	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2766	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12543	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12744	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 12353	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 12334	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12843	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 11236	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 12411	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12794	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 12340	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12844	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 11236	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12799	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 12401	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12794	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12534	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11231	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12800	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12744	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12534	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 12347	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12846	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mullidi 11232	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12798	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 11236	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12534	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 12414	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12794	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11420	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 12415	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11420	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12788	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulridi 11231	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12756	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2789	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12744	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12744	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12537	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12744	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12545	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2766	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2766	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 12410	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12794	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 12406	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12794	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12809	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11420	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12790	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 12356	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addlidi 11416	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12788	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 43090	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  5c5 12316  6c6 12317  7c7 12318  8c8 12319  ;cdc 12729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-dec 12730

This theorem is used by: (None)