Theorem ex-decpmul 43189

Description: Example usage of decpmul 43171. This proof is significantly longer than 235t711 43188. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 43188. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 11246 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12549	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12550	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12755	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12552	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12554	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12548	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12755	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2762	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12553	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12755	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12551	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 12363	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 12344	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12854	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 11246	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 12421	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12805	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 12350	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12855	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 11246	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12810	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 12411	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12805	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12544	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11241	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12811	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12755	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12544	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 12357	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12857	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mullidi 11242	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12809	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 11246	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12544	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 12424	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12805	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11430	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 12425	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11430	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12799	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulridi 11241	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12767	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2785	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12755	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12755	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12547	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12755	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12555	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2762	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2762	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 12420	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12805	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 12416	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12805	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12820	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11430	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12801	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 12366	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addlidi 11426	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12799	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 43171	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  5c5 12326  6c6 12327  7c7 12328  8c8 12329  ;cdc 12740

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-sub 11471  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-dec 12741

This theorem is used by: (None)