Theorem ex-decpmul 43456

Description: Example usage of decpmul 43438. This proof is significantly longer than 235t711 43455. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 43455. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 11321 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12626	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12627	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12832	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12629	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12631	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12625	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12832	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12630	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12832	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12628	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 12440	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 12421	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12931	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 11321	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 12498	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12882	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 12427	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12932	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 11321	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12887	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 12488	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12882	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12621	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11316	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12888	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12832	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12621	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 12434	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12934	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mullidi 11317	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12886	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 11321	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12621	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 12501	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12882	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11505	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 12502	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11505	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12876	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulridi 11316	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12844	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2783	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12832	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12832	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12624	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12832	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12632	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2760	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2760	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 12497	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12882	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 12493	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12882	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12897	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11505	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12878	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 12443	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addlidi 11501	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12876	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 43438	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  5c5 12403  6c6 12404  7c7 12405  8c8 12406  ;cdc 12817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-sub 11546  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-dec 12818

This theorem is used by: (None)