Theorem ex-decpmul 42279

Description: Example usage of decpmul 42261. This proof is significantly longer than 235t711 42278. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 42278. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 11143 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12419	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12420	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12624	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12422	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12424	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12418	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12624	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12423	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12624	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12421	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 12240	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 12221	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12718	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 11143	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 12294	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12669	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 12227	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12719	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 11143	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12674	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 12284	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12669	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12414	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11138	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12675	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12624	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12414	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 12234	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12721	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mullidi 11139	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12673	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 11143	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12414	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 12297	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12669	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11326	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 12298	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11326	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12663	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulridi 11138	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12631	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2752	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12624	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12624	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12417	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12624	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12425	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 12293	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12669	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 12289	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12669	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12684	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11326	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12665	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 12243	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addlidi 11322	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12663	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 42261	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  2c2 12201  3c3 12202  4c4 12203  5c5 12204  6c6 12205  7c7 12206  8c8 12207  ;cdc 12609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-dec 12610

This theorem is referenced by: (None)