Theorem ex-decpmul 43045

Description: Example usage of decpmul 43027. This proof is significantly longer than 235t711 43044. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 43044. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 11219 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12522	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12523	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12727	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12525	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12527	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12521	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12727	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12526	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12727	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12524	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 12336	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 12317	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12826	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 11219	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 12394	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12777	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 12323	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12827	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 11219	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12782	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 12384	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12777	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12517	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11214	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12783	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12727	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12517	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 12330	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12829	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mullidi 11215	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12781	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 11219	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12517	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 12397	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12777	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11403	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 12398	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11403	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12771	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulridi 11214	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12739	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2786	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12727	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12727	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12520	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12727	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12528	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2763	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2763	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 12393	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12777	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 12389	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12777	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12792	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11403	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12773	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 12339	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addlidi 11399	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12771	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 43027	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Syntax hints:   = wceq 1570  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  7c7 12301  8c8 12302  ;cdc 12712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-dec 12713

This theorem is referenced by: (None)