Theorem ex-decpmul 39979

Description: Example usage of decpmul 39975. This proof is significantly longer than 235t711 39978. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 39978. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 10825 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12090	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12091	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12291	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12093	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12095	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12089	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12291	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2734	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12094	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12291	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12092	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 11907	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 11888	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12385	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 10825	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 11966	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12336	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 11894	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12386	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 10825	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12341	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 11956	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12336	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12085	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulid1i 10820	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12342	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12291	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12085	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 11901	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12388	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mulid2i 10821	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12340	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 10825	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12085	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 11969	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12336	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11007	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 11970	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11007	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12330	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulid1i 10820	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12298	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2762	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12291	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12291	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12088	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12291	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12096	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2734	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2734	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 11965	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12336	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 11961	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12336	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12351	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11007	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12332	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 11910	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addid2i 11003	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12330	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 39975	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Syntax hints:   = wceq 1543  (class class class)co 7202  0cc0 10712  1c1 10713   + caddc 10715   · cmul 10717  2c2 11868  3c3 11869  4c4 11870  5c5 11871  6c6 11872  7c7 11873  8c8 11874  ;cdc 12276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-ltxr 10855  df-sub 11047  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-dec 12277

This theorem is referenced by: (None)