Theorem ex-decpmul 40241

Description: Example usage of decpmul 40237. This proof is significantly longer than 235t711 40240. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 40240. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 10915 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12180	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12181	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12381	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12183	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12185	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12179	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12381	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12184	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12182	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 11997	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 11978	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12475	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 10915	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 12056	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12426	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 11984	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12476	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 10915	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12431	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 12046	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12426	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12175	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulid1i 10910	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12432	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12175	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 11991	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12478	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mulid2i 10911	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12430	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 10915	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12175	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 12059	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12426	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11097	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 12060	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11097	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12420	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulid1i 10910	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12388	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2766	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12178	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12186	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2738	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2738	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 12055	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12426	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 12051	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12426	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12441	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11097	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12422	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 12000	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addid2i 11093	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12420	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 40237	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  7c7 11963  8c8 11964  ;cdc 12366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-dec 12367

This theorem is referenced by: (None)