Theorem ex-decpmul 42355

Description: Example usage of decpmul 42338. This proof is significantly longer than 235t711 42354. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 42354. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 11244 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12518	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12519	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12723	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12521	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12523	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12517	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12723	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12723	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 12334	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 12315	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12817	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 11244	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 12393	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12768	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 12321	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12818	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 11244	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12773	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 12383	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12768	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12513	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11239	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12774	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12723	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12513	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 12328	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12820	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mullidi 11240	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12772	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 11244	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12513	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 12396	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12768	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11427	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 12397	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11427	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12762	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulridi 11239	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12730	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2758	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12723	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12723	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12516	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12723	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12524	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2735	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2735	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 12392	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12768	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 12388	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12768	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12783	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11427	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12764	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 12337	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addlidi 11423	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12762	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 42338	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  7c7 12300  8c8 12301  ;cdc 12708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-dec 12709

This theorem is referenced by: (None)