Theorem ex-decpmul 38160

Description: Example usage of decpmul 38156. This proof is significantly longer than 235t711 38159. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 38159. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 10386 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11661	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 11662	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11860	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 11664	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 11666	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 11660	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 11860	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2778	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 11665	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 11860	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 11663	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 11473	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 11450	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 11956	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 10386	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 11535	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 11906	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 11456	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 11957	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 10386	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 11912	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 11525	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 11906	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 11655	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulid1i 10381	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 11913	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 11860	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 11655	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 11465	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 11959	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mulid2i 10382	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 11910	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 10386	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 11655	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 11538	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 11906	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 10568	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 11539	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 10568	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 11900	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulid1i 10381	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 11868	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2802	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 11860	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 11860	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 11659	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 11860	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 11667	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2778	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2778	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2778	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2778	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 11534	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 11906	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 11530	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 11906	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 11922	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 10568	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 11902	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 11477	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addid2i 10564	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 11900	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 38156	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Syntax hints:   = wceq 1601  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  2c2 11430  3c3 11431  4c4 11432  5c5 11433  6c6 11434  7c7 11435  8c8 11436  ;cdc 11845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-dec 11846

This theorem is referenced by: (None)