Theorem ex-decpmul 41840

Description: Example usage of decpmul 41834. This proof is significantly longer than 235t711 41839. There is more unnecessary carrying compared to 235t711 41839. Although saving 5 visual steps, using mulcomli 11247 early on increases the compressed proof length. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ex-decpmul	⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Proof of Theorem ex-decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12513	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn0 12514	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12716	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
4		5nn0 12516	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		7nn0 12518	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1nn0 12512	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12716	. 2 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
8		eqid 2727	. . 3 ⊢ ;71 = ;71
9		6nn0 12517	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	6, 9	deccl 12716	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
12		4nn0 12515	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		7cn 12330	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
14		2cn 12311	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		7t2e14 12810	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
16	13, 14, 15	mulcomli 11247	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
17		4p2e6 12389	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
18	6, 12, 1, 16, 17	decaddi 12761	. . . . 5 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
19		3cn 12317	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
20		7t3e21 12811	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
21	13, 19, 20	mulcomli 11247	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
22	5, 1, 2, 11, 6, 1, 18, 21	decmul1c 12766	. . . 4 ⊢ (;23 · 7) = ;;161
23		1p2e3 12379	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
24	10, 6, 1, 22, 23	decaddi 12761	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
25	3	nn0cni 12508	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11242	. . 3 ⊢ (;23 · 1) = ;23
27	3, 5, 6, 8, 2, 1, 24, 26	decmul2c 12767	. 2 ⊢ (;23 · ;71) = ;;;1633
28	2, 4	deccl 12716	. . 3 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
29	7	nn0cni 12508	. . . 4 ⊢ ;71 ∈ ℂ
30		5cn 12324	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7t5e35 12813	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) = ;35
32	30	mullidi 11243	. . . . 5 ⊢ (1 · 5) = 5
33	4, 5, 6, 8, 31, 32	decmul1 12765	. . . 4 ⊢ (;71 · 5) = ;;355
34	29, 30, 33	mulcomli 11247	. . 3 ⊢ (5 · ;71) = ;;355
35	28	nn0cni 12508	. . . 4 ⊢ ;35 ∈ ℂ
36		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ ;35 = ;35
37		5p2e7 12392	. . . . 5 ⊢ (5 + 2) = 7
38	2, 4, 1, 36, 37	decaddi 12761	. . . 4 ⊢ (;35 + 2) = ;37
39	35, 14, 38	addcomli 11430	. . 3 ⊢ (2 + ;35) = ;37
40		5p3e8 12393	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
41	30, 19, 40	addcomli 11430	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
42	1, 2, 28, 4, 26, 34, 39, 41	decadd 12755	. 2 ⊢ ((;23 · 1) + (5 · ;71)) = ;;378
43	30	mulridi 11242	. . 3 ⊢ (5 · 1) = 5
44	4	dec0h 12723	. . 3 ⊢ 5 = ;05
45	43, 44	eqtri 2755	. 2 ⊢ (5 · 1) = ;05
46	10, 2	deccl 12716	. . . 4 ⊢ ;;163 ∈ ℕ0
47	46, 2	deccl 12716	. . 3 ⊢ ;;;1633 ∈ ℕ0
48		0nn0 12511	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
49	2, 5	deccl 12716	. . 3 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
50		8nn0 12519	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
51		eqid 2727	. . 3 ⊢ ;;;;16330 = ;;;;16330
52		eqid 2727	. . 3 ⊢ ;;378 = ;;378
53		eqid 2727	. . . 4 ⊢ ;;;1633 = ;;;1633
54		eqid 2727	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
55		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ ;;163 = ;;163
56		3p3e6 12388	. . . . . 6 ⊢ (3 + 3) = 6
57	10, 2, 2, 55, 56	decaddi 12761	. . . . 5 ⊢ (;;163 + 3) = ;;166
58		6p1e7 12384	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	10, 9, 6, 57, 58	decaddi 12761	. . . 4 ⊢ ((;;163 + 3) + 1) = ;;167
60		7p3e10 12776	. . . . 5 ⊢ (7 + 3) = ;10
61	13, 19, 60	addcomli 11430	. . . 4 ⊢ (3 + 7) = ;10
62	46, 2, 2, 5, 53, 54, 59, 61	decaddc2 12757	. . 3 ⊢ (;;;1633 + ;37) = ;;;1670
63		8cn 12333	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
64	63	addlidi 11426	. . 3 ⊢ (0 + 8) = 8
65	47, 48, 49, 50, 51, 52, 62, 64	decadd 12755	. 2 ⊢ (;;;;16330 + ;;378) = ;;;;16708
66	3, 4, 7, 6, 27, 42, 45, 65, 48, 4	decpmul 41834	1 ⊢ (;;235 · ;;711) = ;;;;;167085

Syntax hints:   = wceq 1534  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  7c7 12296  8c8 12297  ;cdc 12701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-sub 11470  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-dec 12702

This theorem is referenced by: (None)