Theorem 37prm 17157

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12499	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12310	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12712	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12504	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12500	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12703	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12503	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12497	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12827	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12313	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12831	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12731	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12722	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12297	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12833	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12731	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12383	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12285	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17099	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12498	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12703	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12221	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12502	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12365	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12496	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12299	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11186	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7406	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11370	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12715	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12759	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12724	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12393	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12291	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12399	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12373	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17101	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12501	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12805	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12753	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12410	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12712	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12301	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11187	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7406	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12220	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12371	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11375	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12750	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12830	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12731	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12712	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12293	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11187	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12757	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12359	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12747	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12721	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12712	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12715	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12338	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7408	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12802	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12753	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12745	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12731	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12316	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12712	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12712	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12505	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12220	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11186	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12341	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7406	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12786	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12748	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12419	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12721	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12712	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12712	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12220	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11186	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12747	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12390	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12722	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17156	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  5c5 12275  6c6 12276  7c7 12277  8c8 12278  9c9 12279  ;cdc 12688  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-prm 16706

This theorem is referenced by:  1259prm  17172