Theorem 37prm 17308

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12631	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12442	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12845	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12636	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12632	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12836	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12635	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12629	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12960	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12445	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12964	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12864	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12855	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12429	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12966	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12864	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12515	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12417	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17250	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12630	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12836	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12353	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12634	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12497	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12628	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12431	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11320	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7434	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11504	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12848	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12892	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12857	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12525	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12423	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12531	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12505	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17252	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12633	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12938	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12886	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12542	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12433	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11321	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7434	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12352	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12503	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11509	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12883	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12963	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12864	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12425	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11321	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12890	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12491	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12880	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12854	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12848	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12470	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7436	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12935	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12886	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12878	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12864	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12448	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12637	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12352	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11320	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12473	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7434	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12919	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12881	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12551	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12854	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12352	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11320	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12880	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12522	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12855	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17307	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212  2c2 12404  3c3 12405  4c4 12406  5c5 12407  6c6 12408  7c7 12409  8c8 12410  9c9 12411  ;cdc 12821  ℙcprime 16855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-dvds 16432  df-prm 16856

This theorem is used by:  1259prm  17323