MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 37prm 16283
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm 37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 11763 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 7nn 11577 . . 3 7 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11967 . 2 37 ∈ ℕ
4 8nn0 11768 . . . 4 8 ∈ ℕ0
5 4nn0 11764 . . . 4 4 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11962 . . 3 84 ∈ ℕ0
7 7nn0 11767 . . 3 7 ∈ ℕ0
8 1nn0 11761 . . 3 1 ∈ ℕ0
9 7lt10 12081 . . 3 7 < 10
10 8nn 11580 . . . 4 8 ∈ ℕ
11 3lt10 12085 . . . 4 3 < 10
1210, 5, 1, 11declti 11985 . . 3 3 < 84
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 11976 . 2 37 < 841
14 3nn 11564 . . 3 3 ∈ ℕ
15 1lt10 12087 . . 3 1 < 10
1614, 7, 8, 15declti 11985 . 2 1 < 37
17 3t2e6 11651 . . 3 (3 · 2) = 6
18 df-7 11553 . . 3 7 = (6 + 1)
191, 1, 17, 18dec2dvds 16228 . 2 ¬ 2 ∥ 37
20 2nn0 11762 . . . 4 2 ∈ ℕ0
218, 20deccl 11962 . . 3 12 ∈ ℕ0
22 1nn 11497 . . 3 1 ∈ ℕ
23 6nn0 11766 . . . 4 6 ∈ ℕ0
24 6p1e7 11633 . . . 4 (6 + 1) = 7
25 eqid 2795 . . . . 5 12 = 12
26 0nn0 11760 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
27 3cn 11566 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
2827mulid1i 10491 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
2928oveq1i 7026 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
3027addid1i 10674 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3129, 30eqtri 2819 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 3
3223dec0h 11969 . . . . . 6 6 = 06
3317, 32eqtri 2819 . . . . 5 (3 · 2) = 06
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 12014 . . . 4 (3 · 12) = 36
351, 23, 24, 34decsuc 11978 . . 3 ((3 · 12) + 1) = 37
36 1lt3 11658 . . 3 1 < 3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 15596 . 2 ¬ 3 ∥ 37
38 2nn 11558 . . 3 2 ∈ ℕ
39 2lt5 11664 . . 3 2 < 5
40 5p2e7 11641 . . 3 (5 + 2) = 7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 16230 . 2 ¬ 5 ∥ 37
42 5nn0 11765 . . 3 5 ∈ ℕ0
43 7t5e35 12060 . . . 4 (7 · 5) = 35
441, 42, 20, 43, 40decaddi 12007 . . 3 ((7 · 5) + 2) = 37
45 2lt7 11675 . . 3 2 < 7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 15596 . 2 ¬ 7 ∥ 37
478, 22decnncl 11967 . . 3 11 ∈ ℕ
48 4nn 11568 . . 3 4 ∈ ℕ
49 eqid 2795 . . . 4 11 = 11
5027mulid2i 10492 . . . 4 (1 · 3) = 3
5150oveq1i 7026 . . . . 5 ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
5248nncni 11496 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
53 4p3e7 11639 . . . . . 6 (4 + 3) = 7
5452, 27, 53addcomli 10679 . . . . 5 (3 + 4) = 7
5551, 54eqtri 2819 . . . 4 ((1 · 3) + 4) = 7
568, 8, 5, 49, 1, 50, 55decrmanc 12004 . . 3 ((11 · 3) + 4) = 37
57 4lt10 12084 . . . 4 4 < 10
5822, 8, 5, 57declti 11985 . . 3 4 < 11
5947, 1, 48, 56, 58ndvdsi 15596 . 2 ¬ 11 ∥ 37
608, 14decnncl 11967 . . 3 13 ∈ ℕ
61 eqid 2795 . . . . 5 13 = 13
62 2cn 11560 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
6362mulid2i 10492 . . . . 5 (1 · 2) = 2
6420, 8, 1, 61, 63, 17decmul1 12011 . . . 4 (13 · 2) = 26
65 2p1e3 11627 . . . 4 (2 + 1) = 3
6620, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24decadd 12001 . . 3 ((13 · 2) + 11) = 37
678, 8, 14, 36declt 11975 . . 3 11 < 13
6860, 20, 47, 66, 67ndvdsi 15596 . 2 ¬ 13 ∥ 37
698, 2decnncl 11967 . . 3 17 ∈ ℕ
70 eqid 2795 . . . 4 17 = 17
711dec0h 11969 . . . 4 3 = 03
72 0p1e1 11607 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7363, 72oveq12i 7028 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
7473, 65eqtri 2819 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75 7t2e14 12057 . . . . 5 (7 · 2) = 14
768, 5, 1, 75, 53decaddi 12007 . . . 4 ((7 · 2) + 3) = 17
778, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76decmac 11999 . . 3 ((17 · 2) + 3) = 37
7822, 7, 1, 11declti 11985 . . 3 3 < 17
7969, 20, 14, 77, 78ndvdsi 15596 . 2 ¬ 17 ∥ 37
80 9nn 11583 . . . 4 9 ∈ ℕ
818, 80decnncl 11967 . . 3 19 ∈ ℕ
828, 10decnncl 11967 . . 3 18 ∈ ℕ
83 9nn0 11769 . . . 4 9 ∈ ℕ0
8481nncni 11496 . . . . 5 19 ∈ ℂ
8584mulid1i 10491 . . . 4 (19 · 1) = 19
86 eqid 2795 . . . 4 18 = 18
87 1p1e2 11610 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
8887oveq1i 7026 . . . . 5 ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
8988, 65eqtri 2819 . . . 4 ((1 + 1) + 1) = 3
90 9p8e17 12041 . . . 4 (9 + 8) = 17
918, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90decaddc 12002 . . 3 ((19 · 1) + 18) = 37
92 8lt9 11684 . . . 4 8 < 9
938, 4, 80, 92declt 11975 . . 3 18 < 19
9481, 8, 82, 91, 93ndvdsi 15596 . 2 ¬ 19 ∥ 37
9520, 14decnncl 11967 . . 3 23 ∈ ℕ
968, 48decnncl 11967 . . 3 14 ∈ ℕ
9795nncni 11496 . . . . 5 23 ∈ ℂ
9897mulid1i 10491 . . . 4 (23 · 1) = 23
99 eqid 2795 . . . 4 14 = 14
10020, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54decadd 12001 . . 3 ((23 · 1) + 14) = 37
101 1lt2 11656 . . . 4 1 < 2
1028, 20, 5, 1, 57, 101decltc 11976 . . 3 14 < 23
10395, 8, 96, 100, 102ndvdsi 15596 . 2 ¬ 23 ∥ 37
1043, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103prmlem2 16282 1 37 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2081  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  5c5 11543  6c6 11544  7c7 11545  8c8 11546  9c9 11547  cdc 11947  cprime 15844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845
This theorem is referenced by:  1259prm  16298
  Copyright terms: Public domain W3C validator