Theorem 37prm 17046

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12417	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12235	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12625	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12422	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12418	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12620	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12421	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12415	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12738	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12238	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12742	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12643	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12634	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12222	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12744	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12643	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12304	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12211	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 16989	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12416	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12620	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12154	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12420	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12286	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12414	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12224	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11134	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7366	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11318	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12627	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12671	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12636	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12311	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16337	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12216	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12317	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12294	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 16991	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12419	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12717	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12665	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12328	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16337	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12625	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12226	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11135	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7366	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12153	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12292	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11323	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12662	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12741	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12643	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16337	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12625	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12218	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11135	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12669	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12280	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12659	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12633	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16337	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12625	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12627	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12260	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7368	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12714	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12665	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12657	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12643	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16337	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12241	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12625	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12625	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12423	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12153	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11134	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12263	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7366	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12698	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12660	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12337	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12633	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16337	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12625	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12625	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12153	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11134	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12659	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12309	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12634	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16337	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17045	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029  2c2 12198  3c3 12199  4c4 12200  5c5 12201  6c6 12202  7c7 12203  8c8 12204  9c9 12205  ;cdc 12605  ℙcprime 16596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-prm 16597

This theorem is referenced by:  1259prm  17061