Theorem 37prm 16927

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12364	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12178	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12570	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12369	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12365	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12565	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12368	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12362	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12683	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12181	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12687	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12588	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12579	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12165	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12689	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12588	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12252	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12154	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 16869	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12363	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12565	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12097	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12367	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12234	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12361	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12167	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulid1i 11092	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7359	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addid1i 11275	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12572	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12616	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12581	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12259	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16228	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12159	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12265	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12242	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 16871	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12366	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12662	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12610	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12276	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16228	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12570	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12169	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mulid2i 11093	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7359	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12096	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12240	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11280	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12607	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12686	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12588	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16228	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12570	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12161	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mulid2i 11093	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12614	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12228	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12604	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12578	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16228	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12570	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12572	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12208	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7361	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12659	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12610	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12602	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12588	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16228	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12184	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12570	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12570	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12370	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12096	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulid1i 11092	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12211	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7359	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12643	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12605	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12285	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12578	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16228	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12570	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12570	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12096	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulid1i 11092	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12604	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12257	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12579	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16228	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 16926	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7349  0cc0 10984  1c1 10985   + caddc 10987   · cmul 10989  2c2 12141  3c3 12142  4c4 12143  5c5 12144  6c6 12145  7c7 12146  8c8 12147  9c9 12148  ;cdc 12550  ℙcprime 16481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-rp 12844  df-fz 13353  df-seq 13835  df-exp 13896  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-dvds 16071  df-prm 16482

This theorem is referenced by:  1259prm  16942