Theorem 37prm 17158

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12544	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12358	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12753	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12549	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12545	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12548	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12542	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12866	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12361	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12870	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12771	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12762	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12345	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12872	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12771	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12432	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12334	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17101	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12543	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12277	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12547	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12414	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12347	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11265	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11448	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12755	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12799	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12764	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12439	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12339	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12445	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12422	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17103	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12546	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12845	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12793	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12456	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12349	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11266	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12276	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12420	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11453	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12790	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12869	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12771	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12341	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11266	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12797	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12408	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12787	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12761	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12755	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12388	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12842	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12793	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12785	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12771	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12364	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12550	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12276	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11265	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12391	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12826	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12788	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12465	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12761	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12276	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11265	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12787	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12437	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12762	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17157	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  ;cdc 12733  ℙcprime 16708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709

This theorem is referenced by:  1259prm  17173