Theorem 37prm 17091

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12460	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12278	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12669	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12465	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12461	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12464	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12458	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12782	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12281	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12786	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12687	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12678	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12265	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12788	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12687	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12347	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12254	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17034	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12459	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12197	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12463	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12329	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12457	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12267	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11178	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7397	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11361	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12671	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12715	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12680	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12354	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12259	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12360	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12337	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17036	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12462	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12761	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12709	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12371	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12269	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11179	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7397	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12196	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12335	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11366	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12706	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12785	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12687	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12261	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11179	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12713	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12323	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12703	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12677	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12671	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12303	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7399	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12758	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12709	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12701	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12687	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12284	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12466	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12196	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11178	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12306	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7397	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12742	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12704	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12380	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12677	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12196	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11178	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12703	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12352	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12678	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17090	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  7c7 12246  8c8 12247  9c9 12248  ;cdc 12649  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  1259prm  17106