Theorem 37prm 16437

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11902	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 11716	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12105	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 11907	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 11903	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12100	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 11906	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 11900	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12218	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 11719	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12222	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12123	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12114	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 11703	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12224	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12123	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 11790	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 11692	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 16382	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 11901	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12100	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 11635	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 11905	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 11772	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 11899	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 11705	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulid1i 10631	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7152	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addid1i 10813	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12107	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12151	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12116	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 11797	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 15746	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 11697	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 11803	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 11780	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 16384	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 11904	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12197	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12145	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 11814	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 15746	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12105	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 11707	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mulid2i 10632	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7152	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 11634	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 11778	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 10818	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12142	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12221	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12123	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 15746	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12105	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 11699	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mulid2i 10632	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12149	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 11766	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12139	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12113	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 15746	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12105	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12107	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 11746	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7154	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12194	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12145	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12137	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12123	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 15746	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 11722	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12105	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12105	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 11908	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 11634	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulid1i 10631	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 11749	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7152	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12178	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12140	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 11823	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12113	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 15746	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12105	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12105	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 11634	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulid1i 10631	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12139	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 11795	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12114	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 15746	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 16436	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7142  0cc0 10523  1c1 10524   + caddc 10526   · cmul 10528  2c2 11679  3c3 11680  4c4 11681  5c5 11682  6c6 11683  7c7 11684  8c8 11685  9c9 11686  ;cdc 12085  ℙcprime 15998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-rp 12377  df-fz 12883  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-dvds 15593  df-prm 15999

This theorem is referenced by:  1259prm  16452