Theorem 37prm 17085

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12449	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12267	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12658	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12454	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12450	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12653	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12453	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12447	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12771	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12270	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12775	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12676	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12667	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12254	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12777	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12676	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12336	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12243	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17028	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12448	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12653	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12179	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12452	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12318	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12446	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12256	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11143	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7371	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11327	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12660	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12704	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12669	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12343	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16375	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12248	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12349	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12326	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17030	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12451	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12750	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12698	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12360	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16375	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12658	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12258	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11144	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7371	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12178	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12324	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11332	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12695	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12774	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12676	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16375	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12658	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12250	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11144	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12702	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12312	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12692	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12666	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16375	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12658	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12660	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12292	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7373	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12747	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12698	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12690	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12676	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16375	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12273	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12658	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12658	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12455	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12178	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11143	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12295	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7371	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12731	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12693	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12369	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12666	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16375	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12658	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12658	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12178	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11143	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12692	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12341	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12667	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16375	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17084	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037  2c2 12230  3c3 12231  4c4 12232  5c5 12233  6c6 12234  7c7 12235  8c8 12236  9c9 12237  ;cdc 12638  ℙcprime 16634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-prm 16635

This theorem is referenced by:  1259prm  17100