MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 37prm 16059
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm 37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 11597 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 7nn 11409 . . 3 7 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11799 . 2 37 ∈ ℕ
4 8nn0 11602 . . . 4 8 ∈ ℕ0
5 4nn0 11598 . . . 4 4 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11794 . . 3 84 ∈ ℕ0
7 7nn0 11601 . . 3 7 ∈ ℕ0
8 1nn0 11595 . . 3 1 ∈ ℕ0
9 7lt10 11912 . . 3 7 < 10
10 8nn 11413 . . . 4 8 ∈ ℕ
11 3lt10 11916 . . . 4 3 < 10
1210, 5, 1, 11declti 11817 . . 3 3 < 84
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 11808 . 2 37 < 841
14 3nn 11392 . . 3 3 ∈ ℕ
15 1lt10 11918 . . 3 1 < 10
1614, 7, 8, 15declti 11817 . 2 1 < 37
17 3t2e6 11485 . . 3 (3 · 2) = 6
18 df-7 11381 . . 3 7 = (6 + 1)
191, 1, 17, 18dec2dvds 16004 . 2 ¬ 2 ∥ 37
20 2nn0 11596 . . . 4 2 ∈ ℕ0
218, 20deccl 11794 . . 3 12 ∈ ℕ0
22 1nn 11328 . . 3 1 ∈ ℕ
23 6nn0 11600 . . . 4 6 ∈ ℕ0
24 6p1e7 11467 . . . 4 (6 + 1) = 7
25 eqid 2817 . . . . 5 12 = 12
26 0nn0 11594 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
27 3cn 11394 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
2827mulid1i 10339 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
2928oveq1i 6894 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
3027addid1i 10518 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3129, 30eqtri 2839 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 3
3223dec0h 11801 . . . . . 6 6 = 06
3317, 32eqtri 2839 . . . . 5 (3 · 2) = 06
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 11845 . . . 4 (3 · 12) = 36
351, 23, 24, 34decsuc 11810 . . 3 ((3 · 12) + 1) = 37
36 1lt3 11492 . . 3 1 < 3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 15375 . 2 ¬ 3 ∥ 37
38 2nn 11386 . . 3 2 ∈ ℕ
39 2lt5 11498 . . 3 2 < 5
40 5p2e7 11475 . . 3 (5 + 2) = 7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 16006 . 2 ¬ 5 ∥ 37
42 5nn0 11599 . . 3 5 ∈ ℕ0
43 7t5e35 11891 . . . 4 (7 · 5) = 35
441, 42, 20, 43, 40decaddi 11839 . . 3 ((7 · 5) + 2) = 37
45 2lt7 11509 . . 3 2 < 7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 15375 . 2 ¬ 7 ∥ 37
478, 22decnncl 11799 . . 3 11 ∈ ℕ
48 4nn 11397 . . 3 4 ∈ ℕ
49 eqid 2817 . . . 4 11 = 11
5027mulid2i 10340 . . . 4 (1 · 3) = 3
5150oveq1i 6894 . . . . 5 ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
5248nncni 11326 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
53 4p3e7 11473 . . . . . 6 (4 + 3) = 7
5452, 27, 53addcomli 10523 . . . . 5 (3 + 4) = 7
5551, 54eqtri 2839 . . . 4 ((1 · 3) + 4) = 7
568, 8, 5, 49, 1, 50, 55decrmanc 11836 . . 3 ((11 · 3) + 4) = 37
57 4lt10 11915 . . . 4 4 < 10
5822, 8, 5, 57declti 11817 . . 3 4 < 11
5947, 1, 48, 56, 58ndvdsi 15375 . 2 ¬ 11 ∥ 37
608, 14decnncl 11799 . . 3 13 ∈ ℕ
61 eqid 2817 . . . . 5 13 = 13
62 2cn 11388 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
6362mulid2i 10340 . . . . 5 (1 · 2) = 2
6420, 8, 1, 61, 23, 63, 17decmul1 11843 . . . 4 (13 · 2) = 26
65 2p1e3 11462 . . . 4 (2 + 1) = 3
6620, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24decadd 11833 . . 3 ((13 · 2) + 11) = 37
678, 8, 14, 36declt 11807 . . 3 11 < 13
6860, 20, 47, 66, 67ndvdsi 15375 . 2 ¬ 13 ∥ 37
698, 2decnncl 11799 . . 3 17 ∈ ℕ
70 eqid 2817 . . . 4 17 = 17
711dec0h 11801 . . . 4 3 = 03
72 0p1e1 11442 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7363, 72oveq12i 6896 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
7473, 65eqtri 2839 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75 7t2e14 11888 . . . . 5 (7 · 2) = 14
768, 5, 1, 75, 53decaddi 11839 . . . 4 ((7 · 2) + 3) = 17
778, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76decmac 11831 . . 3 ((17 · 2) + 3) = 37
7822, 7, 1, 11declti 11817 . . 3 3 < 17
7969, 20, 14, 77, 78ndvdsi 15375 . 2 ¬ 17 ∥ 37
80 9nn 11417 . . . 4 9 ∈ ℕ
818, 80decnncl 11799 . . 3 19 ∈ ℕ
828, 10decnncl 11799 . . 3 18 ∈ ℕ
83 9nn0 11603 . . . 4 9 ∈ ℕ0
8481nncni 11326 . . . . 5 19 ∈ ℂ
8584mulid1i 10339 . . . 4 (19 · 1) = 19
86 eqid 2817 . . . 4 18 = 18
87 1p1e2 11445 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
8887oveq1i 6894 . . . . 5 ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
8988, 65eqtri 2839 . . . 4 ((1 + 1) + 1) = 3
90 9p8e17 11872 . . . 4 (9 + 8) = 17
918, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90decaddc 11834 . . 3 ((19 · 1) + 18) = 37
92 8lt9 11518 . . . 4 8 < 9
938, 4, 80, 92declt 11807 . . 3 18 < 19
9481, 8, 82, 91, 93ndvdsi 15375 . 2 ¬ 19 ∥ 37
9520, 14decnncl 11799 . . 3 23 ∈ ℕ
968, 48decnncl 11799 . . 3 14 ∈ ℕ
9795nncni 11326 . . . . 5 23 ∈ ℂ
9897mulid1i 10339 . . . 4 (23 · 1) = 23
99 eqid 2817 . . . 4 14 = 14
10020, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54decadd 11833 . . 3 ((23 · 1) + 14) = 37
101 1lt2 11490 . . . 4 1 < 2
1028, 20, 5, 1, 57, 101decltc 11808 . . 3 14 < 23
10395, 8, 96, 100, 102ndvdsi 15375 . 2 ¬ 23 ∥ 37
1043, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103prmlem2 16058 1 37 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2157  (class class class)co 6884  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  5c5 11371  6c6 11372  7c7 11373  8c8 11374  9c9 11375  cdc 11779  cprime 15623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-inf 8598  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-rp 12067  df-fz 12570  df-seq 13045  df-exp 13104  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-dvds 15224  df-prm 15624
This theorem is referenced by:  1259prm  16074
  Copyright terms: Public domain W3C validator