MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 37prm 17158
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm 37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 12544 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 7nn 12358 . . 3 7 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12753 . 2 37 ∈ ℕ
4 8nn0 12549 . . . 4 8 ∈ ℕ0
5 4nn0 12545 . . . 4 4 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12748 . . 3 84 ∈ ℕ0
7 7nn0 12548 . . 3 7 ∈ ℕ0
8 1nn0 12542 . . 3 1 ∈ ℕ0
9 7lt10 12866 . . 3 7 < 10
10 8nn 12361 . . . 4 8 ∈ ℕ
11 3lt10 12870 . . . 4 3 < 10
1210, 5, 1, 11declti 12771 . . 3 3 < 84
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 12762 . 2 37 < 841
14 3nn 12345 . . 3 3 ∈ ℕ
15 1lt10 12872 . . 3 1 < 10
1614, 7, 8, 15declti 12771 . 2 1 < 37
17 3t2e6 12432 . . 3 (3 · 2) = 6
18 df-7 12334 . . 3 7 = (6 + 1)
191, 1, 17, 18dec2dvds 17101 . 2 ¬ 2 ∥ 37
20 2nn0 12543 . . . 4 2 ∈ ℕ0
218, 20deccl 12748 . . 3 12 ∈ ℕ0
22 1nn 12277 . . 3 1 ∈ ℕ
23 6nn0 12547 . . . 4 6 ∈ ℕ0
24 6p1e7 12414 . . . 4 (6 + 1) = 7
25 eqid 2737 . . . . 5 12 = 12
26 0nn0 12541 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
27 3cn 12347 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
2827mulridi 11265 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
2928oveq1i 7441 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
3027addridi 11448 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3129, 30eqtri 2765 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 3
3223dec0h 12755 . . . . . 6 6 = 06
3317, 32eqtri 2765 . . . . 5 (3 · 2) = 06
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 12799 . . . 4 (3 · 12) = 36
351, 23, 24, 34decsuc 12764 . . 3 ((3 · 12) + 1) = 37
36 1lt3 12439 . . 3 1 < 3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 16449 . 2 ¬ 3 ∥ 37
38 2nn 12339 . . 3 2 ∈ ℕ
39 2lt5 12445 . . 3 2 < 5
40 5p2e7 12422 . . 3 (5 + 2) = 7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 17103 . 2 ¬ 5 ∥ 37
42 5nn0 12546 . . 3 5 ∈ ℕ0
43 7t5e35 12845 . . . 4 (7 · 5) = 35
441, 42, 20, 43, 40decaddi 12793 . . 3 ((7 · 5) + 2) = 37
45 2lt7 12456 . . 3 2 < 7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 16449 . 2 ¬ 7 ∥ 37
478, 22decnncl 12753 . . 3 11 ∈ ℕ
48 4nn 12349 . . 3 4 ∈ ℕ
49 eqid 2737 . . . 4 11 = 11
5027mullidi 11266 . . . 4 (1 · 3) = 3
5150oveq1i 7441 . . . . 5 ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
5248nncni 12276 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
53 4p3e7 12420 . . . . . 6 (4 + 3) = 7
5452, 27, 53addcomli 11453 . . . . 5 (3 + 4) = 7
5551, 54eqtri 2765 . . . 4 ((1 · 3) + 4) = 7
568, 8, 5, 49, 1, 50, 55decrmanc 12790 . . 3 ((11 · 3) + 4) = 37
57 4lt10 12869 . . . 4 4 < 10
5822, 8, 5, 57declti 12771 . . 3 4 < 11
5947, 1, 48, 56, 58ndvdsi 16449 . 2 ¬ 11 ∥ 37
608, 14decnncl 12753 . . 3 13 ∈ ℕ
61 eqid 2737 . . . . 5 13 = 13
62 2cn 12341 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
6362mullidi 11266 . . . . 5 (1 · 2) = 2
6420, 8, 1, 61, 63, 17decmul1 12797 . . . 4 (13 · 2) = 26
65 2p1e3 12408 . . . 4 (2 + 1) = 3
6620, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24decadd 12787 . . 3 ((13 · 2) + 11) = 37
678, 8, 14, 36declt 12761 . . 3 11 < 13
6860, 20, 47, 66, 67ndvdsi 16449 . 2 ¬ 13 ∥ 37
698, 2decnncl 12753 . . 3 17 ∈ ℕ
70 eqid 2737 . . . 4 17 = 17
711dec0h 12755 . . . 4 3 = 03
72 0p1e1 12388 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7363, 72oveq12i 7443 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
7473, 65eqtri 2765 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75 7t2e14 12842 . . . . 5 (7 · 2) = 14
768, 5, 1, 75, 53decaddi 12793 . . . 4 ((7 · 2) + 3) = 17
778, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76decmac 12785 . . 3 ((17 · 2) + 3) = 37
7822, 7, 1, 11declti 12771 . . 3 3 < 17
7969, 20, 14, 77, 78ndvdsi 16449 . 2 ¬ 17 ∥ 37
80 9nn 12364 . . . 4 9 ∈ ℕ
818, 80decnncl 12753 . . 3 19 ∈ ℕ
828, 10decnncl 12753 . . 3 18 ∈ ℕ
83 9nn0 12550 . . . 4 9 ∈ ℕ0
8481nncni 12276 . . . . 5 19 ∈ ℂ
8584mulridi 11265 . . . 4 (19 · 1) = 19
86 eqid 2737 . . . 4 18 = 18
87 1p1e2 12391 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
8887oveq1i 7441 . . . . 5 ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
8988, 65eqtri 2765 . . . 4 ((1 + 1) + 1) = 3
90 9p8e17 12826 . . . 4 (9 + 8) = 17
918, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90decaddc 12788 . . 3 ((19 · 1) + 18) = 37
92 8lt9 12465 . . . 4 8 < 9
938, 4, 80, 92declt 12761 . . 3 18 < 19
9481, 8, 82, 91, 93ndvdsi 16449 . 2 ¬ 19 ∥ 37
9520, 14decnncl 12753 . . 3 23 ∈ ℕ
968, 48decnncl 12753 . . 3 14 ∈ ℕ
9795nncni 12276 . . . . 5 23 ∈ ℂ
9897mulridi 11265 . . . 4 (23 · 1) = 23
99 eqid 2737 . . . 4 14 = 14
10020, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54decadd 12787 . . 3 ((23 · 1) + 14) = 37
101 1lt2 12437 . . . 4 1 < 2
1028, 20, 5, 1, 57, 101decltc 12762 . . 3 14 < 23
10395, 8, 96, 100, 102ndvdsi 16449 . 2 ¬ 23 ∥ 37
1043, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103prmlem2 17157 1 37 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2108  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  cdc 12733  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709
This theorem is referenced by:  1259prm  17173
  Copyright terms: Public domain W3C validator