Theorem 37prm 17048

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12419	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12237	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12627	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12424	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12420	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12423	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12417	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12740	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12240	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12744	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12645	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12636	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12224	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12746	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12645	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12306	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12213	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 16991	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12418	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12156	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12422	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12288	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12416	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12226	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11136	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7368	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11320	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12629	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12673	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12638	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12313	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12218	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12319	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12296	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 16993	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12421	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12719	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12667	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12330	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12228	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11137	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12155	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12294	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11325	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12664	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12743	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12645	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12220	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11137	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12671	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12282	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12661	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12635	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12629	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12262	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7370	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12716	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12667	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12659	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12645	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12243	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12425	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12155	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11136	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12265	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12700	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12662	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12339	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12635	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12155	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11136	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12661	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12311	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12636	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17047	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  7c7 12205  8c8 12206  9c9 12207  ;cdc 12607  ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-prm 16599

This theorem is referenced by:  1259prm  17063