Theorem 37prm 17082

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12446	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12264	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12655	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12451	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12447	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12650	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12450	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12444	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12768	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12267	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12772	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12673	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12664	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12251	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12774	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12673	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12333	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12240	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17025	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12445	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12650	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12176	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12449	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12315	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12443	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12253	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11140	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7366	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11324	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12657	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12701	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12666	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12340	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12245	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12346	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12323	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17027	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12448	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12747	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12695	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12357	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12655	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12255	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11141	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7366	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12175	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12321	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11329	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12692	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12771	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12673	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12655	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12247	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11141	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12699	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12309	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12689	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12663	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12655	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12657	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12289	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7368	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12744	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12695	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12687	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12673	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12270	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12655	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12655	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12452	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12175	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11140	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12292	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7366	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12728	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12690	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12366	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12663	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12655	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12655	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12175	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11140	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12689	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12338	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12664	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17081	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  7c7 12232  8c8 12233  9c9 12234  ;cdc 12635  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632

This theorem is referenced by:  1259prm  17097