Theorem 37prm 17180

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12521	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12332	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12734	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12526	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12522	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12725	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12525	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12519	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12849	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12335	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12853	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12753	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12744	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12319	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12855	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12753	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12405	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12307	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17122	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12520	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12725	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12243	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12524	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12387	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12518	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12321	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11212	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11396	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12737	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12781	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12746	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12415	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16469	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12313	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12421	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12395	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17124	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12523	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12827	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12775	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12432	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16469	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12734	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12323	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11213	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12242	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12393	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11401	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12772	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12852	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12753	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16469	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12734	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12315	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11213	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12779	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12381	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12769	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12743	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16469	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12734	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12737	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12360	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7423	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12824	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12775	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12767	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12753	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16469	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12338	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12734	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12734	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12527	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12242	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11212	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12363	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12808	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12770	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12441	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12743	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16469	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12734	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12734	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12242	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11212	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12769	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12412	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12744	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16469	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17179	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  5c5 12297  6c6 12298  7c7 12299  8c8 12300  9c9 12301  ;cdc 12710  ℙcprime 16728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-prm 16729

This theorem is referenced by:  1259prm  17195