MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 37prm 16928
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm 37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 12365 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 7nn 12179 . . 3 7 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12571 . 2 37 ∈ ℕ
4 8nn0 12370 . . . 4 8 ∈ ℕ0
5 4nn0 12366 . . . 4 4 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12566 . . 3 84 ∈ ℕ0
7 7nn0 12369 . . 3 7 ∈ ℕ0
8 1nn0 12363 . . 3 1 ∈ ℕ0
9 7lt10 12684 . . 3 7 < 10
10 8nn 12182 . . . 4 8 ∈ ℕ
11 3lt10 12688 . . . 4 3 < 10
1210, 5, 1, 11declti 12589 . . 3 3 < 84
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 12580 . 2 37 < 841
14 3nn 12166 . . 3 3 ∈ ℕ
15 1lt10 12690 . . 3 1 < 10
1614, 7, 8, 15declti 12589 . 2 1 < 37
17 3t2e6 12253 . . 3 (3 · 2) = 6
18 df-7 12155 . . 3 7 = (6 + 1)
191, 1, 17, 18dec2dvds 16870 . 2 ¬ 2 ∥ 37
20 2nn0 12364 . . . 4 2 ∈ ℕ0
218, 20deccl 12566 . . 3 12 ∈ ℕ0
22 1nn 12098 . . 3 1 ∈ ℕ
23 6nn0 12368 . . . 4 6 ∈ ℕ0
24 6p1e7 12235 . . . 4 (6 + 1) = 7
25 eqid 2738 . . . . 5 12 = 12
26 0nn0 12362 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
27 3cn 12168 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
2827mulid1i 11093 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
2928oveq1i 7360 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
3027addid1i 11276 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3129, 30eqtri 2766 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 3
3223dec0h 12573 . . . . . 6 6 = 06
3317, 32eqtri 2766 . . . . 5 (3 · 2) = 06
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 12617 . . . 4 (3 · 12) = 36
351, 23, 24, 34decsuc 12582 . . 3 ((3 · 12) + 1) = 37
36 1lt3 12260 . . 3 1 < 3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 16229 . 2 ¬ 3 ∥ 37
38 2nn 12160 . . 3 2 ∈ ℕ
39 2lt5 12266 . . 3 2 < 5
40 5p2e7 12243 . . 3 (5 + 2) = 7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 16872 . 2 ¬ 5 ∥ 37
42 5nn0 12367 . . 3 5 ∈ ℕ0
43 7t5e35 12663 . . . 4 (7 · 5) = 35
441, 42, 20, 43, 40decaddi 12611 . . 3 ((7 · 5) + 2) = 37
45 2lt7 12277 . . 3 2 < 7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 16229 . 2 ¬ 7 ∥ 37
478, 22decnncl 12571 . . 3 11 ∈ ℕ
48 4nn 12170 . . 3 4 ∈ ℕ
49 eqid 2738 . . . 4 11 = 11
5027mulid2i 11094 . . . 4 (1 · 3) = 3
5150oveq1i 7360 . . . . 5 ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
5248nncni 12097 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
53 4p3e7 12241 . . . . . 6 (4 + 3) = 7
5452, 27, 53addcomli 11281 . . . . 5 (3 + 4) = 7
5551, 54eqtri 2766 . . . 4 ((1 · 3) + 4) = 7
568, 8, 5, 49, 1, 50, 55decrmanc 12608 . . 3 ((11 · 3) + 4) = 37
57 4lt10 12687 . . . 4 4 < 10
5822, 8, 5, 57declti 12589 . . 3 4 < 11
5947, 1, 48, 56, 58ndvdsi 16229 . 2 ¬ 11 ∥ 37
608, 14decnncl 12571 . . 3 13 ∈ ℕ
61 eqid 2738 . . . . 5 13 = 13
62 2cn 12162 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
6362mulid2i 11094 . . . . 5 (1 · 2) = 2
6420, 8, 1, 61, 63, 17decmul1 12615 . . . 4 (13 · 2) = 26
65 2p1e3 12229 . . . 4 (2 + 1) = 3
6620, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24decadd 12605 . . 3 ((13 · 2) + 11) = 37
678, 8, 14, 36declt 12579 . . 3 11 < 13
6860, 20, 47, 66, 67ndvdsi 16229 . 2 ¬ 13 ∥ 37
698, 2decnncl 12571 . . 3 17 ∈ ℕ
70 eqid 2738 . . . 4 17 = 17
711dec0h 12573 . . . 4 3 = 03
72 0p1e1 12209 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7363, 72oveq12i 7362 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
7473, 65eqtri 2766 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75 7t2e14 12660 . . . . 5 (7 · 2) = 14
768, 5, 1, 75, 53decaddi 12611 . . . 4 ((7 · 2) + 3) = 17
778, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76decmac 12603 . . 3 ((17 · 2) + 3) = 37
7822, 7, 1, 11declti 12589 . . 3 3 < 17
7969, 20, 14, 77, 78ndvdsi 16229 . 2 ¬ 17 ∥ 37
80 9nn 12185 . . . 4 9 ∈ ℕ
818, 80decnncl 12571 . . 3 19 ∈ ℕ
828, 10decnncl 12571 . . 3 18 ∈ ℕ
83 9nn0 12371 . . . 4 9 ∈ ℕ0
8481nncni 12097 . . . . 5 19 ∈ ℂ
8584mulid1i 11093 . . . 4 (19 · 1) = 19
86 eqid 2738 . . . 4 18 = 18
87 1p1e2 12212 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
8887oveq1i 7360 . . . . 5 ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
8988, 65eqtri 2766 . . . 4 ((1 + 1) + 1) = 3
90 9p8e17 12644 . . . 4 (9 + 8) = 17
918, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90decaddc 12606 . . 3 ((19 · 1) + 18) = 37
92 8lt9 12286 . . . 4 8 < 9
938, 4, 80, 92declt 12579 . . 3 18 < 19
9481, 8, 82, 91, 93ndvdsi 16229 . 2 ¬ 19 ∥ 37
9520, 14decnncl 12571 . . 3 23 ∈ ℕ
968, 48decnncl 12571 . . 3 14 ∈ ℕ
9795nncni 12097 . . . . 5 23 ∈ ℂ
9897mulid1i 11093 . . . 4 (23 · 1) = 23
99 eqid 2738 . . . 4 14 = 14
10020, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54decadd 12605 . . 3 ((23 · 1) + 14) = 37
101 1lt2 12258 . . . 4 1 < 2
1028, 20, 5, 1, 57, 101decltc 12580 . . 3 14 < 23
10395, 8, 96, 100, 102ndvdsi 16229 . 2 ¬ 23 ∥ 37
1043, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103prmlem2 16927 1 37 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  (class class class)co 7350  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   · cmul 10990  2c2 12142  3c3 12143  4c4 12144  5c5 12145  6c6 12146  7c7 12147  8c8 12148  9c9 12149  cdc 12551  cprime 16482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fz 13354  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-dvds 16072  df-prm 16483
This theorem is referenced by:  1259prm  16943
  Copyright terms: Public domain W3C validator