Theorem 37prm 17060

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12431	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12249	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12639	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12436	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12432	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12435	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12429	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12752	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12252	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12756	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12657	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12648	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12236	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12758	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12657	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12318	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12225	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17003	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12430	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12168	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12434	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12300	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12428	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12238	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11148	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11332	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12641	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12685	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12650	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12325	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12230	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12331	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12308	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17005	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12433	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12731	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12679	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12342	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12240	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11149	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7378	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12167	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12306	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11337	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12676	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12755	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12657	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12232	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11149	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12683	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12294	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12673	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12647	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12641	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12274	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7380	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12728	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12679	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12671	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12657	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12255	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12437	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12167	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11148	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12277	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7378	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12712	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12674	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12351	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12647	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12167	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11148	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12673	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12323	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12648	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17059	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  5c5 12215  6c6 12216  7c7 12217  8c8 12218  9c9 12219  ;cdc 12619  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  1259prm  17075