Theorem 37prm 17155

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12542	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12356	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12751	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12547	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12543	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12546	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12540	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12864	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12359	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12868	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12769	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12760	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12343	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12870	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12769	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12430	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12332	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17097	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12541	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12275	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12545	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12412	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12539	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12345	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11263	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11446	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12753	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12797	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12762	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12437	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12337	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12443	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12420	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17099	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12544	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12843	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12791	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12454	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12347	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11264	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12274	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12418	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11451	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12788	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12867	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12769	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12339	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11264	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12795	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12406	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12785	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12759	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12753	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12386	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12840	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12791	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12783	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12769	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12362	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12548	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12274	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11263	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12389	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12824	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12786	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12463	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12759	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12274	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11263	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12785	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12435	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12760	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17154	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12731  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706

This theorem is referenced by:  1259prm  17170