Theorem 37prm 17292

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12617	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12428	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12831	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12622	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12618	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12822	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12621	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12615	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12946	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12431	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12950	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12850	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12841	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12415	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12952	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12850	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12501	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12403	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17234	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12616	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12822	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12339	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12620	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12483	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12614	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12417	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11306	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7428	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11490	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12834	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12878	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12843	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12511	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12409	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12517	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12491	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17236	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12619	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12924	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12872	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12528	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12419	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11307	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7428	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12338	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12489	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11495	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12869	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12949	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12850	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12411	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11307	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12876	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12477	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12866	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12840	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12834	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12456	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7430	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12921	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12872	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12864	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12850	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12434	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12623	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12338	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11306	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12459	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7428	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12905	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12867	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12537	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12840	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12338	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11306	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12866	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12508	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12841	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17291	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  5c5 12393  6c6 12394  7c7 12395  8c8 12396  9c9 12397  ;cdc 12807  ℙcprime 16839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-prm 16840

This theorem is used by:  1259prm  17307