Theorem 37prm 17054

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12490	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12304	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12697	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12495	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12491	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12692	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12494	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12488	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12810	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12307	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12814	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12715	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12706	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12291	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12816	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12715	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12378	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12280	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 16996	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12489	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12692	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12223	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12493	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12360	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12487	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12293	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11218	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7419	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11401	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12699	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12743	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12708	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12385	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16355	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12285	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12391	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12368	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 16998	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12492	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12789	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12737	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12402	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16355	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12295	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11219	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12222	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12366	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11406	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12734	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12813	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12715	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16355	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12287	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11219	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12741	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12354	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12731	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12705	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16355	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12699	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12334	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7421	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12786	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12737	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12729	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12715	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16355	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12310	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12496	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12222	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11218	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12337	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12770	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12732	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12411	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12705	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16355	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12222	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11218	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12731	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12383	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12706	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16355	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17053	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  ;cdc 12677  ℙcprime 16608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-prm 16609

This theorem is referenced by:  1259prm  17069