Theorem 37prm 17203

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12537	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12348	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12751	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12542	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12538	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12742	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12541	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12535	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12866	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12351	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12870	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12770	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12761	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12335	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12872	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12770	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12421	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12323	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17145	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12536	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12742	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12259	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12540	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12403	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12534	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12337	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11228	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11412	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12754	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12798	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12763	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12431	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12329	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12437	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12411	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17147	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12539	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12844	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12792	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12448	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12339	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11229	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12258	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12409	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11417	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12789	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12869	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12770	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12331	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11229	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12796	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12397	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12786	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12760	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12754	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12376	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12841	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12792	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12784	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12770	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12354	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12543	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12258	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11228	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12379	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12825	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12787	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12457	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12760	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12258	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11228	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12786	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12428	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12761	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17202	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120  2c2 12310  3c3 12311  4c4 12312  5c5 12313  6c6 12314  7c7 12315  8c8 12316  9c9 12317  ;cdc 12727  ℙcprime 16751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-prm 16752

This theorem is used by:  1259prm  17218