Theorem 37prm 17091

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12455	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12273	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12664	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12460	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12456	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12659	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12459	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12453	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12777	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12276	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12781	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12682	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12673	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12260	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12783	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12682	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12342	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12249	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17034	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12454	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12659	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12185	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12458	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12324	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12262	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11149	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7377	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11333	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12666	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12710	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12675	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12349	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12254	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12355	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12332	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17036	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12457	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12756	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12704	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12366	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12264	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11150	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7377	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12184	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12330	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11338	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12701	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12780	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12682	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12256	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11150	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12708	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12318	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12698	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12672	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12666	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12298	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12753	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12704	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12696	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12682	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12279	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12461	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12184	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11149	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12301	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7377	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12737	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12699	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12375	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12672	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12184	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11149	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12698	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12347	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12673	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17090	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  7c7 12241  8c8 12242  9c9 12243  ;cdc 12644  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  1259prm  17106