Theorem 37prm 17343

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12664	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12475	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12878	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12669	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12665	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12668	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12662	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12993	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12478	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12997	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12897	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12888	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12462	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12999	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12897	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12548	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12450	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17285	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12663	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12386	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12667	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12530	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12661	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12464	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11352	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11536	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12881	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12925	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12890	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12558	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12456	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12564	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12538	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17287	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12666	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12971	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12919	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12575	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12466	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11353	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12385	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12536	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11541	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12916	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12996	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12897	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12458	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11353	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12923	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12524	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12913	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12887	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12503	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12968	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12919	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12897	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12481	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12670	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12385	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11352	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12506	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12952	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12914	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12584	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12887	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12385	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11352	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12913	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12555	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12888	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17342	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  8c8 12443  9c9 12444  ;cdc 12854  ℙcprime 16890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-prm 16891

This theorem is used by:  1259prm  17358