Theorem 37prm 17168

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12571	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12385	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12778	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12576	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12572	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12575	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12569	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12891	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12388	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12895	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12796	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12787	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12372	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12897	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12796	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12459	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12361	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17110	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12570	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12304	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12574	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12441	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12568	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12374	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11294	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7458	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11477	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12780	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12824	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12789	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12466	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12366	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12472	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12449	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17112	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12573	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12870	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12818	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12483	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12376	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11295	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12303	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12447	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11482	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12815	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12894	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12796	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12368	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11295	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12822	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12435	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12812	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12786	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12780	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12415	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12867	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12818	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12810	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12796	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12391	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12577	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12303	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11294	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12418	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12851	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12813	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12492	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12786	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12303	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11294	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12812	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12464	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12787	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17167	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  7c7 12353  8c8 12354  9c9 12355  ;cdc 12758  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  1259prm  17183