Theorem 37prm 17081

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12512	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12326	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12719	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12517	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12513	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12714	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12516	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12510	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12832	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12329	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12836	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12737	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12728	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12313	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12838	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12737	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12400	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12302	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 17023	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12511	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12714	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 12245	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12515	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12382	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12509	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12315	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulridi 11240	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7424	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addridi 11423	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2755	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12721	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2755	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12765	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12730	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12407	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16380	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12307	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12413	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12390	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 17025	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12514	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12811	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12759	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12424	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16380	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12719	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12317	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2727	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mullidi 11241	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7424	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 12244	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12388	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11428	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2755	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12756	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12835	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12737	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16380	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12719	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12309	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mullidi 11241	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12763	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12376	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12753	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12727	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16380	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12719	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2727	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12721	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12356	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7426	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2755	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12808	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12759	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12751	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12737	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16380	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12332	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12719	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12719	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12518	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 12244	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulridi 11240	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2727	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12359	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7424	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2755	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12792	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12754	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12433	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12727	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16380	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12719	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12719	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 12244	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulridi 11240	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2727	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12753	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12405	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12728	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16380	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 17080	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135  2c2 12289  3c3 12290  4c4 12291  5c5 12292  6c6 12293  7c7 12294  8c8 12295  9c9 12296  ;cdc 12699  ℙcprime 16633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-prm 16634

This theorem is referenced by:  1259prm  17096