Theorem 37prm 16822

Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
37prm	⊢ ;37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12251	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		7nn 12065	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12457	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℕ
4		8nn0 12256	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5		4nn0 12252	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
7		7nn0 12255	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
8		1nn0 12249	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		7lt10 12570	. . 3 ⊢ 7 < ;10
10		8nn 12068	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		3lt10 12574	. . . 4 ⊢ 3 < ;10
12	10, 5, 1, 11	declti 12475	. . 3 ⊢ 3 < ;84
13	1, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12466	. 2 ⊢ ;37 < ;;841
14		3nn 12052	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
15		1lt10 12576	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 7, 8, 15	declti 12475	. 2 ⊢ 1 < ;37
17		3t2e6 12139	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
18		df-7 12041	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
19	1, 1, 17, 18	dec2dvds 16764	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;37
20		2nn0 12250	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21	8, 20	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
22		1nn 11984	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		6nn0 12254	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24		6p1e7 12121	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
26		0nn0 12248	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27		3cn 12054	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	mulid1i 10979	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
29	28	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
30	27	addid1i 11162	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
31	29, 30	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = 3
32	23	dec0h 12459	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
33	17, 32	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = ;06
34	1, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33	decmul2c 12503	. . . 4 ⊢ (3 · ;12) = ;36
35	1, 23, 24, 34	decsuc 12468	. . 3 ⊢ ((3 · ;12) + 1) = ;37
36		1lt3 12146	. . 3 ⊢ 1 < 3
37	14, 21, 22, 35, 36	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;37
38		2nn 12046	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
39		2lt5 12152	. . 3 ⊢ 2 < 5
40		5p2e7 12129	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
41	1, 38, 39, 40	dec5dvds2 16766	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;37
42		5nn0 12253	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43		7t5e35 12549	. . . 4 ⊢ (7 · 5) = ;35
44	1, 42, 20, 43, 40	decaddi 12497	. . 3 ⊢ ((7 · 5) + 2) = ;37
45		2lt7 12163	. . 3 ⊢ 2 < 7
46	2, 42, 38, 44, 45	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;37
47	8, 22	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
48		4nn 12056	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
49		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
50	27	mulid2i 10980	. . . 4 ⊢ (1 · 3) = 3
51	50	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
52	48	nncni 11983	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
53		4p3e7 12127	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
54	52, 27, 53	addcomli 11167	. . . . 5 ⊢ (3 + 4) = 7
55	51, 54	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 4) = 7
56	8, 8, 5, 49, 1, 50, 55	decrmanc 12494	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + 4) = ;37
57		4lt10 12573	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
58	22, 8, 5, 57	declti 12475	. . 3 ⊢ 4 < ;11
59	47, 1, 48, 56, 58	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;37
60	8, 14	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
61		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
62		2cn 12048	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
63	62	mulid2i 10980	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
64	20, 8, 1, 61, 63, 17	decmul1 12501	. . . 4 ⊢ (;13 · 2) = ;26
65		2p1e3 12115	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
66	20, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24	decadd 12491	. . 3 ⊢ ((;13 · 2) + ;11) = ;37
67	8, 8, 14, 36	declt 12465	. . 3 ⊢ ;11 < ;13
68	60, 20, 47, 66, 67	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;37
69	8, 2	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
70		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
71	1	dec0h 12459	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
72		0p1e1 12095	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
73	63, 72	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
74	73, 65	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75		7t2e14 12546	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
76	8, 5, 1, 75, 53	decaddi 12497	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 3) = ;17
77	8, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76	decmac 12489	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 3) = ;37
78	22, 7, 1, 11	declti 12475	. . 3 ⊢ 3 < ;17
79	69, 20, 14, 77, 78	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;37
80		9nn 12071	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
81	8, 80	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
82	8, 10	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ
83		9nn0 12257	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
84	81	nncni 11983	. . . . 5 ⊢ ;19 ∈ ℂ
85	84	mulid1i 10979	. . . 4 ⊢ (;19 · 1) = ;19
86		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
87		1p1e2 12098	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
88	87	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
89	88, 65	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
90		9p8e17 12530	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
91	8, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90	decaddc 12492	. . 3 ⊢ ((;19 · 1) + ;18) = ;37
92		8lt9 12172	. . . 4 ⊢ 8 < 9
93	8, 4, 80, 92	declt 12465	. . 3 ⊢ ;18 < ;19
94	81, 8, 82, 91, 93	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;37
95	20, 14	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
96	8, 48	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
97	95	nncni 11983	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
98	97	mulid1i 10979	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
99		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
100	20, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54	decadd 12491	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;14) = ;37
101		1lt2 12144	. . . 4 ⊢ 1 < 2
102	8, 20, 5, 1, 57, 101	decltc 12466	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
103	95, 8, 96, 100, 102	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;37
104	3, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103	prmlem2 16821	1 ⊢ ;37 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ;cdc 12437  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377

This theorem is referenced by:  1259prm  16837