MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem3 16215
Description: Lemma for 4001prm 16217. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑1000 = 2↑800 · 2↑200≡2311 · 902 = 521𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1000)↑4≡1↑4 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem3 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem3
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 11639 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 11635 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11836 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 11836 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 11363 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 11842 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2902 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 11424 . 2 2 ∈ ℕ
10 2nn0 11637 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 11836 . . . 4 20 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 11836 . . 3 200 ∈ ℕ0
1312, 3deccl 11836 . 2 2000 ∈ ℕ0
14 0z 11715 . 2 0 ∈ ℤ
15 1nn0 11636 . 2 1 ∈ ℕ0
16 10nn0 11839 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
1716, 3deccl 11836 . . . 4 100 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 11836 . . 3 1000 ∈ ℕ0
19 8nn0 11643 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
2019, 3deccl 11836 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
2120, 3deccl 11836 . . . 4 800 ∈ ℕ0
22 5nn0 11640 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
2322, 10deccl 11836 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
2423, 15deccl 11836 . . . . 5 521 ∈ ℕ0
2524nn0zi 11730 . . . 4 521 ∈ ℤ
26 3nn0 11638 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2710, 26deccl 11836 . . . . . 6 23 ∈ ℕ0
2827, 15deccl 11836 . . . . 5 231 ∈ ℕ0
2928, 15deccl 11836 . . . 4 2311 ∈ ℕ0
30 9nn0 11644 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 11836 . . . . 5 90 ∈ ℕ0
3231, 10deccl 11836 . . . 4 902 ∈ ℕ0
3314001lem2 16214 . . . 4 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
3414001lem1 16213 . . . 4 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
35 eqid 2825 . . . . 5 800 = 800
36 eqid 2825 . . . . 5 200 = 200
37 eqid 2825 . . . . . 6 80 = 80
38 eqid 2825 . . . . . 6 20 = 20
39 8p2e10 11903 . . . . . 6 (8 + 2) = 10
40 00id 10530 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4119, 3, 10, 3, 37, 38, 39, 40decadd 11876 . . . . 5 (80 + 20) = 100
4220, 3, 11, 3, 35, 36, 41, 40decadd 11876 . . . 4 (800 + 200) = 1000
4315dec0h 11844 . . . . . 6 1 = 01
44 eqid 2825 . . . . . . 7 400 = 400
4523nn0cni 11631 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
4645addid2i 10543 . . . . . . 7 (0 + 52) = 52
47 eqid 2825 . . . . . . . 8 40 = 40
48 5cn 11441 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
4948addid1i 10542 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
5022dec0h 11844 . . . . . . . . 9 5 = 05
5149, 50eqtri 2849 . . . . . . . 8 (5 + 0) = 05
5240, 3eqeltri 2902 . . . . . . . . 9 (0 + 0) ∈ ℕ0
53 eqid 2825 . . . . . . . . 9 521 = 521
54 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 52 = 52
55 5t4e20 11925 . . . . . . . . . 10 (5 · 4) = 20
56 4cn 11437 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
57 2cn 11426 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
58 4t2e8 11526 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
5956, 57, 58mulcomli 10366 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
602, 22, 10, 54, 55, 59decmul1 11886 . . . . . . . . 9 (52 · 4) = 208
6156mulid2i 10362 . . . . . . . . . . 11 (1 · 4) = 4
6261, 40oveq12i 6917 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (0 + 0)) = (4 + 0)
6356addid1i 10542 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 4
6462, 63eqtri 2849 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (0 + 0)) = 4
6523, 15, 52, 53, 2, 60, 64decrmanc 11879 . . . . . . . 8 ((521 · 4) + (0 + 0)) = 2084
6624nn0cni 11631 . . . . . . . . . . 11 521 ∈ ℂ
6766mul01i 10545 . . . . . . . . . 10 (521 · 0) = 0
6867oveq1i 6915 . . . . . . . . 9 ((521 · 0) + 5) = (0 + 5)
6948addid2i 10543 . . . . . . . . 9 (0 + 5) = 5
7068, 69, 503eqtri 2853 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 5) = 05
712, 3, 3, 22, 47, 51, 24, 22, 3, 65, 70decma2c 11875 . . . . . . 7 ((521 · 40) + (5 + 0)) = 20845
7267oveq1i 6915 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 2) = (0 + 2)
7357addid2i 10543 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7410dec0h 11844 . . . . . . . 8 2 = 02
7572, 73, 743eqtri 2853 . . . . . . 7 ((521 · 0) + 2) = 02
764, 3, 22, 10, 44, 46, 24, 10, 3, 71, 75decma2c 11875 . . . . . 6 ((521 · 400) + (0 + 52)) = 208452
7745mulid1i 10361 . . . . . . 7 (52 · 1) = 52
78 ax-1cn 10310 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
7978mulid2i 10362 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
8079oveq1i 6915 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
81 1p1e2 11483 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
8280, 81eqtri 2849 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 2
8323, 15, 15, 53, 15, 77, 82decrmanc 11879 . . . . . 6 ((521 · 1) + 1) = 522
845, 15, 3, 15, 1, 43, 24, 10, 23, 76, 83decma2c 11875 . . . . 5 ((521 · 𝑁) + 1) = 2084522
85 eqid 2825 . . . . . 6 902 = 902
86 6nn0 11641 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
872, 86deccl 11836 . . . . . . 7 46 ∈ ℕ0
8887, 10deccl 11836 . . . . . 6 462 ∈ ℕ0
89 eqid 2825 . . . . . . 7 90 = 90
90 eqid 2825 . . . . . . 7 462 = 462
91 eqid 2825 . . . . . . . 8 2311 = 2311
9287nn0cni 11631 . . . . . . . . 9 46 ∈ ℂ
9392addid1i 10542 . . . . . . . 8 (46 + 0) = 46
94 4p1e5 11504 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
9594, 22eqeltri 2902 . . . . . . . . 9 (4 + 1) ∈ ℕ0
96 eqid 2825 . . . . . . . . 9 231 = 231
97 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 23 = 23
98 9cn 11457 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
99 9t2e18 11945 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 2) = 18
10098, 57, 99mulcomli 10366 . . . . . . . . . . 11 (2 · 9) = 18
10115, 19, 10, 100, 81, 39decaddci2 11884 . . . . . . . . . 10 ((2 · 9) + 2) = 20
102 7nn0 11642 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
103 7p1e8 11507 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
104 3cn 11432 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
105 9t3e27 11946 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 3) = 27
10698, 104, 105mulcomli 10366 . . . . . . . . . . 11 (3 · 9) = 27
10710, 102, 103, 106decsuc 11853 . . . . . . . . . 10 ((3 · 9) + 1) = 28
10810, 26, 15, 97, 30, 19, 10, 101, 107decrmac 11880 . . . . . . . . 9 ((23 · 9) + 1) = 208
10998mulid2i 10362 . . . . . . . . . . 11 (1 · 9) = 9
110109, 94oveq12i 6917 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + (4 + 1)) = (9 + 5)
111 9p5e14 11913 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
112110, 111eqtri 2849 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + (4 + 1)) = 14
11327, 15, 95, 96, 30, 2, 15, 108, 112decrmac 11880 . . . . . . . 8 ((231 · 9) + (4 + 1)) = 2084
114109oveq1i 6915 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 6) = (9 + 6)
115 9p6e15 11914 . . . . . . . . 9 (9 + 6) = 15
116114, 115eqtri 2849 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 6) = 15
11728, 15, 2, 86, 91, 93, 30, 22, 15, 113, 116decmac 11874 . . . . . . 7 ((2311 · 9) + (46 + 0)) = 20845
11829nn0cni 11631 . . . . . . . . . 10 2311 ∈ ℂ
119118mul01i 10545 . . . . . . . . 9 (2311 · 0) = 0
120119oveq1i 6915 . . . . . . . 8 ((2311 · 0) + 2) = (0 + 2)
121120, 73, 743eqtri 2853 . . . . . . 7 ((2311 · 0) + 2) = 02
12230, 3, 87, 10, 89, 90, 29, 10, 3, 117, 121decma2c 11875 . . . . . 6 ((2311 · 90) + 462) = 208452
123 2t2e4 11522 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
124 3t2e6 11524 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = 6
12510, 10, 26, 97, 123, 124decmul1 11886 . . . . . . . 8 (23 · 2) = 46
12657mulid2i 10362 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
12710, 27, 15, 96, 125, 126decmul1 11886 . . . . . . 7 (231 · 2) = 462
12810, 28, 15, 91, 127, 126decmul1 11886 . . . . . 6 (2311 · 2) = 4622
12929, 31, 10, 85, 10, 88, 122, 128decmul2c 11889 . . . . 5 (2311 · 902) = 2084522
13084, 129eqtr4i 2852 . . . 4 ((521 · 𝑁) + 1) = (2311 · 902)
1318, 9, 21, 25, 29, 15, 12, 32, 33, 34, 42, 130modxai 16143 . . 3 ((2↑1000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
13218nn0cni 11631 . . . 4 1000 ∈ ℂ
133 eqid 2825 . . . . 5 1000 = 1000
134 eqid 2825 . . . . . 6 100 = 100
13510dec0u 11843 . . . . . 6 (10 · 2) = 20
13657mul02i 10544 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
13710, 16, 3, 134, 135, 136decmul1 11886 . . . . 5 (100 · 2) = 200
13810, 17, 3, 133, 137, 136decmul1 11886 . . . 4 (1000 · 2) = 2000
139132, 57, 138mulcomli 10366 . . 3 (2 · 1000) = 2000
1408nncni 11361 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
141140mul02i 10544 . . . . 5 (0 · 𝑁) = 0
142141oveq1i 6915 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
14378addid2i 10543 . . . . 5 (0 + 1) = 1
14479, 143eqtr4i 2852 . . . 4 (1 · 1) = (0 + 1)
145142, 144eqtr4i 2852 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
1468, 9, 18, 14, 15, 15, 131, 139, 145mod2xi 16144 . 2 ((2↑2000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
14713nn0cni 11631 . . . 4 2000 ∈ ℂ
148 eqid 2825 . . . . 5 2000 = 2000
14910, 10, 3, 38, 123, 136decmul1 11886 . . . . . 6 (20 · 2) = 40
15010, 11, 3, 36, 149, 136decmul1 11886 . . . . 5 (200 · 2) = 400
15110, 12, 3, 148, 150, 136decmul1 11886 . . . 4 (2000 · 2) = 4000
152147, 57, 151mulcomli 10366 . . 3 (2 · 2000) = 4000
1535, 3deccl 11836 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
154153nn0cni 11631 . . . 4 4000 ∈ ℂ
155 eqid 2825 . . . . . 6 4000 = 4000
1565, 3, 143, 155decsuc 11853 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1571, 156eqtr4i 2852 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
158154, 78, 157mvrraddi 10619 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
159152, 158eqtr4i 2852 . 2 (2 · 2000) = (𝑁 − 1)
1608, 9, 13, 14, 15, 15, 146, 159, 145mod2xi 16144 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1658  (class class class)co 6905  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257  cmin 10585  cn 11350  2c2 11406  3c3 11407  4c4 11408  5c5 11409  6c6 11410  7c7 11411  8c8 11412  9c9 11413  0cn0 11618  cdc 11821   mod cmo 12963  cexp 13154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155
This theorem is referenced by:  4001prm  16217
  Copyright terms: Public domain W3C validator