MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem3 17083
Description: Lemma for 4001prm 17085. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑1000 = 2↑800 · 2↑200≡2311 · 902 = 521𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1000)↑4≡1↑4 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem3 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem3
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 12498 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 12494 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12699 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 12699 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 12230 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 12704 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2828 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 12292 . 2 2 ∈ ℕ
10 2nn0 12496 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 12699 . . . 4 20 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 12699 . . 3 200 ∈ ℕ0
1312, 3deccl 12699 . 2 2000 ∈ ℕ0
14 0z 12576 . 2 0 ∈ ℤ
15 1nn0 12495 . 2 1 ∈ ℕ0
16 10nn0 12702 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
1716, 3deccl 12699 . . . 4 100 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 12699 . . 3 1000 ∈ ℕ0
19 8nn0 12502 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
2019, 3deccl 12699 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
2120, 3deccl 12699 . . . 4 800 ∈ ℕ0
22 5nn0 12499 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
2322, 10deccl 12699 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
2423, 15deccl 12699 . . . . 5 521 ∈ ℕ0
2524nn0zi 12594 . . . 4 521 ∈ ℤ
26 3nn0 12497 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2710, 26deccl 12699 . . . . . 6 23 ∈ ℕ0
2827, 15deccl 12699 . . . . 5 231 ∈ ℕ0
2928, 15deccl 12699 . . . 4 2311 ∈ ℕ0
30 9nn0 12503 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 12699 . . . . 5 90 ∈ ℕ0
3231, 10deccl 12699 . . . 4 902 ∈ ℕ0
3314001lem2 17082 . . . 4 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
3414001lem1 17081 . . . 4 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
35 eqid 2731 . . . . 5 800 = 800
36 eqid 2731 . . . . 5 200 = 200
37 eqid 2731 . . . . . 6 80 = 80
38 eqid 2731 . . . . . 6 20 = 20
39 8p2e10 12764 . . . . . 6 (8 + 2) = 10
40 00id 11396 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4119, 3, 10, 3, 37, 38, 39, 40decadd 12738 . . . . 5 (80 + 20) = 100
4220, 3, 11, 3, 35, 36, 41, 40decadd 12738 . . . 4 (800 + 200) = 1000
4315dec0h 12706 . . . . . 6 1 = 01
44 eqid 2731 . . . . . . 7 400 = 400
4523nn0cni 12491 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
4645addlidi 11409 . . . . . . 7 (0 + 52) = 52
47 eqid 2731 . . . . . . . 8 40 = 40
48 5cn 12307 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
4948addridi 11408 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
5022dec0h 12706 . . . . . . . . 9 5 = 05
5149, 50eqtri 2759 . . . . . . . 8 (5 + 0) = 05
5240, 3eqeltri 2828 . . . . . . . . 9 (0 + 0) ∈ ℕ0
53 eqid 2731 . . . . . . . . 9 521 = 521
54 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 52 = 52
55 5t4e20 12786 . . . . . . . . . 10 (5 · 4) = 20
56 4cn 12304 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
57 2cn 12294 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
58 4t2e8 12387 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
5956, 57, 58mulcomli 11230 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
602, 22, 10, 54, 55, 59decmul1 12748 . . . . . . . . 9 (52 · 4) = 208
6156mullidi 11226 . . . . . . . . . . 11 (1 · 4) = 4
6261, 40oveq12i 7424 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (0 + 0)) = (4 + 0)
6356addridi 11408 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 4
6462, 63eqtri 2759 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (0 + 0)) = 4
6523, 15, 52, 53, 2, 60, 64decrmanc 12741 . . . . . . . 8 ((521 · 4) + (0 + 0)) = 2084
6624nn0cni 12491 . . . . . . . . . . 11 521 ∈ ℂ
6766mul01i 11411 . . . . . . . . . 10 (521 · 0) = 0
6867oveq1i 7422 . . . . . . . . 9 ((521 · 0) + 5) = (0 + 5)
6948addlidi 11409 . . . . . . . . 9 (0 + 5) = 5
7068, 69, 503eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 5) = 05
712, 3, 3, 22, 47, 51, 24, 22, 3, 65, 70decma2c 12737 . . . . . . 7 ((521 · 40) + (5 + 0)) = 20845
7267oveq1i 7422 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 2) = (0 + 2)
7357addlidi 11409 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7410dec0h 12706 . . . . . . . 8 2 = 02
7572, 73, 743eqtri 2763 . . . . . . 7 ((521 · 0) + 2) = 02
764, 3, 22, 10, 44, 46, 24, 10, 3, 71, 75decma2c 12737 . . . . . 6 ((521 · 400) + (0 + 52)) = 208452
7745mulridi 11225 . . . . . . 7 (52 · 1) = 52
78 ax-1cn 11174 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
7978mullidi 11226 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
8079oveq1i 7422 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
81 1p1e2 12344 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
8280, 81eqtri 2759 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 2
8323, 15, 15, 53, 15, 77, 82decrmanc 12741 . . . . . 6 ((521 · 1) + 1) = 522
845, 15, 3, 15, 1, 43, 24, 10, 23, 76, 83decma2c 12737 . . . . 5 ((521 · 𝑁) + 1) = 2084522
85 eqid 2731 . . . . . 6 902 = 902
86 6nn0 12500 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
872, 86deccl 12699 . . . . . . 7 46 ∈ ℕ0
8887, 10deccl 12699 . . . . . 6 462 ∈ ℕ0
89 eqid 2731 . . . . . . 7 90 = 90
90 eqid 2731 . . . . . . 7 462 = 462
91 eqid 2731 . . . . . . . 8 2311 = 2311
9287nn0cni 12491 . . . . . . . . 9 46 ∈ ℂ
9392addridi 11408 . . . . . . . 8 (46 + 0) = 46
94 4p1e5 12365 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
9594, 22eqeltri 2828 . . . . . . . . 9 (4 + 1) ∈ ℕ0
96 eqid 2731 . . . . . . . . 9 231 = 231
97 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 23 = 23
98 9cn 12319 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
99 9t2e18 12806 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 2) = 18
10098, 57, 99mulcomli 11230 . . . . . . . . . . 11 (2 · 9) = 18
10115, 19, 10, 100, 81, 39decaddci2 12746 . . . . . . . . . 10 ((2 · 9) + 2) = 20
102 7nn0 12501 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
103 7p1e8 12368 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
104 3cn 12300 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
105 9t3e27 12807 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 3) = 27
10698, 104, 105mulcomli 11230 . . . . . . . . . . 11 (3 · 9) = 27
10710, 102, 103, 106decsuc 12715 . . . . . . . . . 10 ((3 · 9) + 1) = 28
10810, 26, 15, 97, 30, 19, 10, 101, 107decrmac 12742 . . . . . . . . 9 ((23 · 9) + 1) = 208
10998mullidi 11226 . . . . . . . . . . 11 (1 · 9) = 9
110109, 94oveq12i 7424 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + (4 + 1)) = (9 + 5)
111 9p5e14 12774 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
112110, 111eqtri 2759 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + (4 + 1)) = 14
11327, 15, 95, 96, 30, 2, 15, 108, 112decrmac 12742 . . . . . . . 8 ((231 · 9) + (4 + 1)) = 2084
114109oveq1i 7422 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 6) = (9 + 6)
115 9p6e15 12775 . . . . . . . . 9 (9 + 6) = 15
116114, 115eqtri 2759 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 6) = 15
11728, 15, 2, 86, 91, 93, 30, 22, 15, 113, 116decmac 12736 . . . . . . 7 ((2311 · 9) + (46 + 0)) = 20845
11829nn0cni 12491 . . . . . . . . . 10 2311 ∈ ℂ
119118mul01i 11411 . . . . . . . . 9 (2311 · 0) = 0
120119oveq1i 7422 . . . . . . . 8 ((2311 · 0) + 2) = (0 + 2)
121120, 73, 743eqtri 2763 . . . . . . 7 ((2311 · 0) + 2) = 02
12230, 3, 87, 10, 89, 90, 29, 10, 3, 117, 121decma2c 12737 . . . . . 6 ((2311 · 90) + 462) = 208452
123 2t2e4 12383 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
124 3t2e6 12385 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = 6
12510, 10, 26, 97, 123, 124decmul1 12748 . . . . . . . 8 (23 · 2) = 46
12657mullidi 11226 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
12710, 27, 15, 96, 125, 126decmul1 12748 . . . . . . 7 (231 · 2) = 462
12810, 28, 15, 91, 127, 126decmul1 12748 . . . . . 6 (2311 · 2) = 4622
12929, 31, 10, 85, 10, 88, 122, 128decmul2c 12750 . . . . 5 (2311 · 902) = 2084522
13084, 129eqtr4i 2762 . . . 4 ((521 · 𝑁) + 1) = (2311 · 902)
1318, 9, 21, 25, 29, 15, 12, 32, 33, 34, 42, 130modxai 17008 . . 3 ((2↑1000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
13218nn0cni 12491 . . . 4 1000 ∈ ℂ
133 eqid 2731 . . . . 5 1000 = 1000
134 eqid 2731 . . . . . 6 100 = 100
13510dec0u 12705 . . . . . 6 (10 · 2) = 20
13657mul02i 11410 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
13710, 16, 3, 134, 135, 136decmul1 12748 . . . . 5 (100 · 2) = 200
13810, 17, 3, 133, 137, 136decmul1 12748 . . . 4 (1000 · 2) = 2000
139132, 57, 138mulcomli 11230 . . 3 (2 · 1000) = 2000
1408nncni 12229 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
141140mul02i 11410 . . . . 5 (0 · 𝑁) = 0
142141oveq1i 7422 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
14378addlidi 11409 . . . . 5 (0 + 1) = 1
14479, 143eqtr4i 2762 . . . 4 (1 · 1) = (0 + 1)
145142, 144eqtr4i 2762 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
1468, 9, 18, 14, 15, 15, 131, 139, 145mod2xi 17009 . 2 ((2↑2000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
14713nn0cni 12491 . . . 4 2000 ∈ ℂ
148 eqid 2731 . . . . 5 2000 = 2000
14910, 10, 3, 38, 123, 136decmul1 12748 . . . . . 6 (20 · 2) = 40
15010, 11, 3, 36, 149, 136decmul1 12748 . . . . 5 (200 · 2) = 400
15110, 12, 3, 148, 150, 136decmul1 12748 . . . 4 (2000 · 2) = 4000
152147, 57, 151mulcomli 11230 . . 3 (2 · 2000) = 4000
1535, 3deccl 12699 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
154153nn0cni 12491 . . . 4 4000 ∈ ℂ
155 eqid 2731 . . . . . 6 4000 = 4000
1565, 3, 143, 155decsuc 12715 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1571, 156eqtr4i 2762 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
158154, 78, 157mvrraddi 11484 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
159152, 158eqtr4i 2762 . 2 (2 · 2000) = (𝑁 − 1)
1608, 9, 13, 14, 15, 15, 146, 159, 145mod2xi 17009 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  cmin 11451  cn 12219  2c2 12274  3c3 12275  4c4 12276  5c5 12277  6c6 12278  7c7 12279  8c8 12280  9c9 12281  0cn0 12479  cdc 12684   mod cmo 13841  cexp 14034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035
This theorem is referenced by:  4001prm  17085
  Copyright terms: Public domain W3C validator