MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem3 17022
Description: Lemma for 4001prm 17024. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑1000 = 2↑800 · 2↑200≡2311 · 902 = 521𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1000)↑4≡1↑4 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem3 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem3
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 12439 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 12435 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12640 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 12640 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 12171 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 12645 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2834 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 12233 . 2 2 ∈ ℕ
10 2nn0 12437 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 12640 . . . 4 20 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 12640 . . 3 200 ∈ ℕ0
1312, 3deccl 12640 . 2 2000 ∈ ℕ0
14 0z 12517 . 2 0 ∈ ℤ
15 1nn0 12436 . 2 1 ∈ ℕ0
16 10nn0 12643 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
1716, 3deccl 12640 . . . 4 100 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 12640 . . 3 1000 ∈ ℕ0
19 8nn0 12443 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
2019, 3deccl 12640 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
2120, 3deccl 12640 . . . 4 800 ∈ ℕ0
22 5nn0 12440 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
2322, 10deccl 12640 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
2423, 15deccl 12640 . . . . 5 521 ∈ ℕ0
2524nn0zi 12535 . . . 4 521 ∈ ℤ
26 3nn0 12438 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2710, 26deccl 12640 . . . . . 6 23 ∈ ℕ0
2827, 15deccl 12640 . . . . 5 231 ∈ ℕ0
2928, 15deccl 12640 . . . 4 2311 ∈ ℕ0
30 9nn0 12444 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 12640 . . . . 5 90 ∈ ℕ0
3231, 10deccl 12640 . . . 4 902 ∈ ℕ0
3314001lem2 17021 . . . 4 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
3414001lem1 17020 . . . 4 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
35 eqid 2737 . . . . 5 800 = 800
36 eqid 2737 . . . . 5 200 = 200
37 eqid 2737 . . . . . 6 80 = 80
38 eqid 2737 . . . . . 6 20 = 20
39 8p2e10 12705 . . . . . 6 (8 + 2) = 10
40 00id 11337 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4119, 3, 10, 3, 37, 38, 39, 40decadd 12679 . . . . 5 (80 + 20) = 100
4220, 3, 11, 3, 35, 36, 41, 40decadd 12679 . . . 4 (800 + 200) = 1000
4315dec0h 12647 . . . . . 6 1 = 01
44 eqid 2737 . . . . . . 7 400 = 400
4523nn0cni 12432 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
4645addid2i 11350 . . . . . . 7 (0 + 52) = 52
47 eqid 2737 . . . . . . . 8 40 = 40
48 5cn 12248 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
4948addid1i 11349 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
5022dec0h 12647 . . . . . . . . 9 5 = 05
5149, 50eqtri 2765 . . . . . . . 8 (5 + 0) = 05
5240, 3eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 (0 + 0) ∈ ℕ0
53 eqid 2737 . . . . . . . . 9 521 = 521
54 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 52 = 52
55 5t4e20 12727 . . . . . . . . . 10 (5 · 4) = 20
56 4cn 12245 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
57 2cn 12235 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
58 4t2e8 12328 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
5956, 57, 58mulcomli 11171 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
602, 22, 10, 54, 55, 59decmul1 12689 . . . . . . . . 9 (52 · 4) = 208
6156mulid2i 11167 . . . . . . . . . . 11 (1 · 4) = 4
6261, 40oveq12i 7374 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (0 + 0)) = (4 + 0)
6356addid1i 11349 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 4
6462, 63eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (0 + 0)) = 4
6523, 15, 52, 53, 2, 60, 64decrmanc 12682 . . . . . . . 8 ((521 · 4) + (0 + 0)) = 2084
6624nn0cni 12432 . . . . . . . . . . 11 521 ∈ ℂ
6766mul01i 11352 . . . . . . . . . 10 (521 · 0) = 0
6867oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((521 · 0) + 5) = (0 + 5)
6948addid2i 11350 . . . . . . . . 9 (0 + 5) = 5
7068, 69, 503eqtri 2769 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 5) = 05
712, 3, 3, 22, 47, 51, 24, 22, 3, 65, 70decma2c 12678 . . . . . . 7 ((521 · 40) + (5 + 0)) = 20845
7267oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 2) = (0 + 2)
7357addid2i 11350 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7410dec0h 12647 . . . . . . . 8 2 = 02
7572, 73, 743eqtri 2769 . . . . . . 7 ((521 · 0) + 2) = 02
764, 3, 22, 10, 44, 46, 24, 10, 3, 71, 75decma2c 12678 . . . . . 6 ((521 · 400) + (0 + 52)) = 208452
7745mulid1i 11166 . . . . . . 7 (52 · 1) = 52
78 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
7978mulid2i 11167 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
8079oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
81 1p1e2 12285 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
8280, 81eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 2
8323, 15, 15, 53, 15, 77, 82decrmanc 12682 . . . . . 6 ((521 · 1) + 1) = 522
845, 15, 3, 15, 1, 43, 24, 10, 23, 76, 83decma2c 12678 . . . . 5 ((521 · 𝑁) + 1) = 2084522
85 eqid 2737 . . . . . 6 902 = 902
86 6nn0 12441 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
872, 86deccl 12640 . . . . . . 7 46 ∈ ℕ0
8887, 10deccl 12640 . . . . . 6 462 ∈ ℕ0
89 eqid 2737 . . . . . . 7 90 = 90
90 eqid 2737 . . . . . . 7 462 = 462
91 eqid 2737 . . . . . . . 8 2311 = 2311
9287nn0cni 12432 . . . . . . . . 9 46 ∈ ℂ
9392addid1i 11349 . . . . . . . 8 (46 + 0) = 46
94 4p1e5 12306 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
9594, 22eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 (4 + 1) ∈ ℕ0
96 eqid 2737 . . . . . . . . 9 231 = 231
97 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 23 = 23
98 9cn 12260 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
99 9t2e18 12747 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 2) = 18
10098, 57, 99mulcomli 11171 . . . . . . . . . . 11 (2 · 9) = 18
10115, 19, 10, 100, 81, 39decaddci2 12687 . . . . . . . . . 10 ((2 · 9) + 2) = 20
102 7nn0 12442 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
103 7p1e8 12309 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
104 3cn 12241 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
105 9t3e27 12748 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 3) = 27
10698, 104, 105mulcomli 11171 . . . . . . . . . . 11 (3 · 9) = 27
10710, 102, 103, 106decsuc 12656 . . . . . . . . . 10 ((3 · 9) + 1) = 28
10810, 26, 15, 97, 30, 19, 10, 101, 107decrmac 12683 . . . . . . . . 9 ((23 · 9) + 1) = 208
10998mulid2i 11167 . . . . . . . . . . 11 (1 · 9) = 9
110109, 94oveq12i 7374 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + (4 + 1)) = (9 + 5)
111 9p5e14 12715 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
112110, 111eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + (4 + 1)) = 14
11327, 15, 95, 96, 30, 2, 15, 108, 112decrmac 12683 . . . . . . . 8 ((231 · 9) + (4 + 1)) = 2084
114109oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 6) = (9 + 6)
115 9p6e15 12716 . . . . . . . . 9 (9 + 6) = 15
116114, 115eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 6) = 15
11728, 15, 2, 86, 91, 93, 30, 22, 15, 113, 116decmac 12677 . . . . . . 7 ((2311 · 9) + (46 + 0)) = 20845
11829nn0cni 12432 . . . . . . . . . 10 2311 ∈ ℂ
119118mul01i 11352 . . . . . . . . 9 (2311 · 0) = 0
120119oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((2311 · 0) + 2) = (0 + 2)
121120, 73, 743eqtri 2769 . . . . . . 7 ((2311 · 0) + 2) = 02
12230, 3, 87, 10, 89, 90, 29, 10, 3, 117, 121decma2c 12678 . . . . . 6 ((2311 · 90) + 462) = 208452
123 2t2e4 12324 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
124 3t2e6 12326 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = 6
12510, 10, 26, 97, 123, 124decmul1 12689 . . . . . . . 8 (23 · 2) = 46
12657mulid2i 11167 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
12710, 27, 15, 96, 125, 126decmul1 12689 . . . . . . 7 (231 · 2) = 462
12810, 28, 15, 91, 127, 126decmul1 12689 . . . . . 6 (2311 · 2) = 4622
12929, 31, 10, 85, 10, 88, 122, 128decmul2c 12691 . . . . 5 (2311 · 902) = 2084522
13084, 129eqtr4i 2768 . . . 4 ((521 · 𝑁) + 1) = (2311 · 902)
1318, 9, 21, 25, 29, 15, 12, 32, 33, 34, 42, 130modxai 16947 . . 3 ((2↑1000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
13218nn0cni 12432 . . . 4 1000 ∈ ℂ
133 eqid 2737 . . . . 5 1000 = 1000
134 eqid 2737 . . . . . 6 100 = 100
13510dec0u 12646 . . . . . 6 (10 · 2) = 20
13657mul02i 11351 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
13710, 16, 3, 134, 135, 136decmul1 12689 . . . . 5 (100 · 2) = 200
13810, 17, 3, 133, 137, 136decmul1 12689 . . . 4 (1000 · 2) = 2000
139132, 57, 138mulcomli 11171 . . 3 (2 · 1000) = 2000
1408nncni 12170 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
141140mul02i 11351 . . . . 5 (0 · 𝑁) = 0
142141oveq1i 7372 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
14378addid2i 11350 . . . . 5 (0 + 1) = 1
14479, 143eqtr4i 2768 . . . 4 (1 · 1) = (0 + 1)
145142, 144eqtr4i 2768 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
1468, 9, 18, 14, 15, 15, 131, 139, 145mod2xi 16948 . 2 ((2↑2000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
14713nn0cni 12432 . . . 4 2000 ∈ ℂ
148 eqid 2737 . . . . 5 2000 = 2000
14910, 10, 3, 38, 123, 136decmul1 12689 . . . . . 6 (20 · 2) = 40
15010, 11, 3, 36, 149, 136decmul1 12689 . . . . 5 (200 · 2) = 400
15110, 12, 3, 148, 150, 136decmul1 12689 . . . 4 (2000 · 2) = 4000
152147, 57, 151mulcomli 11171 . . 3 (2 · 2000) = 4000
1535, 3deccl 12640 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
154153nn0cni 12432 . . . 4 4000 ∈ ℂ
155 eqid 2737 . . . . . 6 4000 = 4000
1565, 3, 143, 155decsuc 12656 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1571, 156eqtr4i 2768 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
158154, 78, 157mvrraddi 11425 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
159152, 158eqtr4i 2768 . 2 (2 · 2000) = (𝑁 − 1)
1608, 9, 13, 14, 15, 15, 146, 159, 145mod2xi 16948 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  cmin 11392  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  0cn0 12420  cdc 12625   mod cmo 13781  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  4001prm  17024
  Copyright terms: Public domain W3C validator