MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem3 17085
Description: Lemma for 4001prm 17087. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑1000 = 2↑800 · 2↑200≡2311 · 902 = 521𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1000)↑4≡1↑4 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem3 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem3
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 12495 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 12491 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12696 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 12696 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 12227 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 12701 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2823 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 12289 . 2 2 ∈ ℕ
10 2nn0 12493 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 12696 . . . 4 20 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 12696 . . 3 200 ∈ ℕ0
1312, 3deccl 12696 . 2 2000 ∈ ℕ0
14 0z 12573 . 2 0 ∈ ℤ
15 1nn0 12492 . 2 1 ∈ ℕ0
16 10nn0 12699 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
1716, 3deccl 12696 . . . 4 100 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 12696 . . 3 1000 ∈ ℕ0
19 8nn0 12499 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
2019, 3deccl 12696 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
2120, 3deccl 12696 . . . 4 800 ∈ ℕ0
22 5nn0 12496 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
2322, 10deccl 12696 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
2423, 15deccl 12696 . . . . 5 521 ∈ ℕ0
2524nn0zi 12591 . . . 4 521 ∈ ℤ
26 3nn0 12494 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2710, 26deccl 12696 . . . . . 6 23 ∈ ℕ0
2827, 15deccl 12696 . . . . 5 231 ∈ ℕ0
2928, 15deccl 12696 . . . 4 2311 ∈ ℕ0
30 9nn0 12500 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 12696 . . . . 5 90 ∈ ℕ0
3231, 10deccl 12696 . . . 4 902 ∈ ℕ0
3314001lem2 17084 . . . 4 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
3414001lem1 17083 . . . 4 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
35 eqid 2726 . . . . 5 800 = 800
36 eqid 2726 . . . . 5 200 = 200
37 eqid 2726 . . . . . 6 80 = 80
38 eqid 2726 . . . . . 6 20 = 20
39 8p2e10 12761 . . . . . 6 (8 + 2) = 10
40 00id 11393 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4119, 3, 10, 3, 37, 38, 39, 40decadd 12735 . . . . 5 (80 + 20) = 100
4220, 3, 11, 3, 35, 36, 41, 40decadd 12735 . . . 4 (800 + 200) = 1000
4315dec0h 12703 . . . . . 6 1 = 01
44 eqid 2726 . . . . . . 7 400 = 400
4523nn0cni 12488 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
4645addlidi 11406 . . . . . . 7 (0 + 52) = 52
47 eqid 2726 . . . . . . . 8 40 = 40
48 5cn 12304 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
4948addridi 11405 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
5022dec0h 12703 . . . . . . . . 9 5 = 05
5149, 50eqtri 2754 . . . . . . . 8 (5 + 0) = 05
5240, 3eqeltri 2823 . . . . . . . . 9 (0 + 0) ∈ ℕ0
53 eqid 2726 . . . . . . . . 9 521 = 521
54 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 52 = 52
55 5t4e20 12783 . . . . . . . . . 10 (5 · 4) = 20
56 4cn 12301 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
57 2cn 12291 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
58 4t2e8 12384 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
5956, 57, 58mulcomli 11227 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
602, 22, 10, 54, 55, 59decmul1 12745 . . . . . . . . 9 (52 · 4) = 208
6156mullidi 11223 . . . . . . . . . . 11 (1 · 4) = 4
6261, 40oveq12i 7417 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (0 + 0)) = (4 + 0)
6356addridi 11405 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 4
6462, 63eqtri 2754 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (0 + 0)) = 4
6523, 15, 52, 53, 2, 60, 64decrmanc 12738 . . . . . . . 8 ((521 · 4) + (0 + 0)) = 2084
6624nn0cni 12488 . . . . . . . . . . 11 521 ∈ ℂ
6766mul01i 11408 . . . . . . . . . 10 (521 · 0) = 0
6867oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((521 · 0) + 5) = (0 + 5)
6948addlidi 11406 . . . . . . . . 9 (0 + 5) = 5
7068, 69, 503eqtri 2758 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 5) = 05
712, 3, 3, 22, 47, 51, 24, 22, 3, 65, 70decma2c 12734 . . . . . . 7 ((521 · 40) + (5 + 0)) = 20845
7267oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 2) = (0 + 2)
7357addlidi 11406 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7410dec0h 12703 . . . . . . . 8 2 = 02
7572, 73, 743eqtri 2758 . . . . . . 7 ((521 · 0) + 2) = 02
764, 3, 22, 10, 44, 46, 24, 10, 3, 71, 75decma2c 12734 . . . . . 6 ((521 · 400) + (0 + 52)) = 208452
7745mulridi 11222 . . . . . . 7 (52 · 1) = 52
78 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
7978mullidi 11223 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
8079oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
81 1p1e2 12341 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
8280, 81eqtri 2754 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 2
8323, 15, 15, 53, 15, 77, 82decrmanc 12738 . . . . . 6 ((521 · 1) + 1) = 522
845, 15, 3, 15, 1, 43, 24, 10, 23, 76, 83decma2c 12734 . . . . 5 ((521 · 𝑁) + 1) = 2084522
85 eqid 2726 . . . . . 6 902 = 902
86 6nn0 12497 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
872, 86deccl 12696 . . . . . . 7 46 ∈ ℕ0
8887, 10deccl 12696 . . . . . 6 462 ∈ ℕ0
89 eqid 2726 . . . . . . 7 90 = 90
90 eqid 2726 . . . . . . 7 462 = 462
91 eqid 2726 . . . . . . . 8 2311 = 2311
9287nn0cni 12488 . . . . . . . . 9 46 ∈ ℂ
9392addridi 11405 . . . . . . . 8 (46 + 0) = 46
94 4p1e5 12362 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
9594, 22eqeltri 2823 . . . . . . . . 9 (4 + 1) ∈ ℕ0
96 eqid 2726 . . . . . . . . 9 231 = 231
97 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 23 = 23
98 9cn 12316 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
99 9t2e18 12803 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 2) = 18
10098, 57, 99mulcomli 11227 . . . . . . . . . . 11 (2 · 9) = 18
10115, 19, 10, 100, 81, 39decaddci2 12743 . . . . . . . . . 10 ((2 · 9) + 2) = 20
102 7nn0 12498 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
103 7p1e8 12365 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
104 3cn 12297 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
105 9t3e27 12804 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 3) = 27
10698, 104, 105mulcomli 11227 . . . . . . . . . . 11 (3 · 9) = 27
10710, 102, 103, 106decsuc 12712 . . . . . . . . . 10 ((3 · 9) + 1) = 28
10810, 26, 15, 97, 30, 19, 10, 101, 107decrmac 12739 . . . . . . . . 9 ((23 · 9) + 1) = 208
10998mullidi 11223 . . . . . . . . . . 11 (1 · 9) = 9
110109, 94oveq12i 7417 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + (4 + 1)) = (9 + 5)
111 9p5e14 12771 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
112110, 111eqtri 2754 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + (4 + 1)) = 14
11327, 15, 95, 96, 30, 2, 15, 108, 112decrmac 12739 . . . . . . . 8 ((231 · 9) + (4 + 1)) = 2084
114109oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 6) = (9 + 6)
115 9p6e15 12772 . . . . . . . . 9 (9 + 6) = 15
116114, 115eqtri 2754 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 6) = 15
11728, 15, 2, 86, 91, 93, 30, 22, 15, 113, 116decmac 12733 . . . . . . 7 ((2311 · 9) + (46 + 0)) = 20845
11829nn0cni 12488 . . . . . . . . . 10 2311 ∈ ℂ
119118mul01i 11408 . . . . . . . . 9 (2311 · 0) = 0
120119oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((2311 · 0) + 2) = (0 + 2)
121120, 73, 743eqtri 2758 . . . . . . 7 ((2311 · 0) + 2) = 02
12230, 3, 87, 10, 89, 90, 29, 10, 3, 117, 121decma2c 12734 . . . . . 6 ((2311 · 90) + 462) = 208452
123 2t2e4 12380 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
124 3t2e6 12382 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = 6
12510, 10, 26, 97, 123, 124decmul1 12745 . . . . . . . 8 (23 · 2) = 46
12657mullidi 11223 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
12710, 27, 15, 96, 125, 126decmul1 12745 . . . . . . 7 (231 · 2) = 462
12810, 28, 15, 91, 127, 126decmul1 12745 . . . . . 6 (2311 · 2) = 4622
12929, 31, 10, 85, 10, 88, 122, 128decmul2c 12747 . . . . 5 (2311 · 902) = 2084522
13084, 129eqtr4i 2757 . . . 4 ((521 · 𝑁) + 1) = (2311 · 902)
1318, 9, 21, 25, 29, 15, 12, 32, 33, 34, 42, 130modxai 17010 . . 3 ((2↑1000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
13218nn0cni 12488 . . . 4 1000 ∈ ℂ
133 eqid 2726 . . . . 5 1000 = 1000
134 eqid 2726 . . . . . 6 100 = 100
13510dec0u 12702 . . . . . 6 (10 · 2) = 20
13657mul02i 11407 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
13710, 16, 3, 134, 135, 136decmul1 12745 . . . . 5 (100 · 2) = 200
13810, 17, 3, 133, 137, 136decmul1 12745 . . . 4 (1000 · 2) = 2000
139132, 57, 138mulcomli 11227 . . 3 (2 · 1000) = 2000
1408nncni 12226 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
141140mul02i 11407 . . . . 5 (0 · 𝑁) = 0
142141oveq1i 7415 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
14378addlidi 11406 . . . . 5 (0 + 1) = 1
14479, 143eqtr4i 2757 . . . 4 (1 · 1) = (0 + 1)
145142, 144eqtr4i 2757 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
1468, 9, 18, 14, 15, 15, 131, 139, 145mod2xi 17011 . 2 ((2↑2000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
14713nn0cni 12488 . . . 4 2000 ∈ ℂ
148 eqid 2726 . . . . 5 2000 = 2000
14910, 10, 3, 38, 123, 136decmul1 12745 . . . . . 6 (20 · 2) = 40
15010, 11, 3, 36, 149, 136decmul1 12745 . . . . 5 (200 · 2) = 400
15110, 12, 3, 148, 150, 136decmul1 12745 . . . 4 (2000 · 2) = 4000
152147, 57, 151mulcomli 11227 . . 3 (2 · 2000) = 4000
1535, 3deccl 12696 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
154153nn0cni 12488 . . . 4 4000 ∈ ℂ
155 eqid 2726 . . . . . 6 4000 = 4000
1565, 3, 143, 155decsuc 12712 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1571, 156eqtr4i 2757 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
158154, 78, 157mvrraddi 11481 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
159152, 158eqtr4i 2757 . 2 (2 · 2000) = (𝑁 − 1)
1608, 9, 13, 14, 15, 15, 146, 159, 145mod2xi 17011 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  cmin 11448  cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  9c9 12278  0cn0 12476  cdc 12681   mod cmo 13840  cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  4001prm  17087
  Copyright terms: Public domain W3C validator