MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem3 17181
Description: Lemma for 4001prm 17183. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑1000 = 2↑800 · 2↑200≡2311 · 902 = 521𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1000)↑4≡1↑4 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem3 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem3
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 12547 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 12543 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12750 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 12750 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 12278 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 12755 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2836 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 12340 . 2 2 ∈ ℕ
10 2nn0 12545 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 12750 . . . 4 20 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 12750 . . 3 200 ∈ ℕ0
1312, 3deccl 12750 . 2 2000 ∈ ℕ0
14 0z 12626 . 2 0 ∈ ℤ
15 1nn0 12544 . 2 1 ∈ ℕ0
16 10nn0 12753 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
1716, 3deccl 12750 . . . 4 100 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 12750 . . 3 1000 ∈ ℕ0
19 8nn0 12551 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
2019, 3deccl 12750 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
2120, 3deccl 12750 . . . 4 800 ∈ ℕ0
22 5nn0 12548 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
2322, 10deccl 12750 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
2423, 15deccl 12750 . . . . 5 521 ∈ ℕ0
2524nn0zi 12644 . . . 4 521 ∈ ℤ
26 3nn0 12546 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2710, 26deccl 12750 . . . . . 6 23 ∈ ℕ0
2827, 15deccl 12750 . . . . 5 231 ∈ ℕ0
2928, 15deccl 12750 . . . 4 2311 ∈ ℕ0
30 9nn0 12552 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 12750 . . . . 5 90 ∈ ℕ0
3231, 10deccl 12750 . . . 4 902 ∈ ℕ0
3314001lem2 17180 . . . 4 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
3414001lem1 17179 . . . 4 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
35 eqid 2736 . . . . 5 800 = 800
36 eqid 2736 . . . . 5 200 = 200
37 eqid 2736 . . . . . 6 80 = 80
38 eqid 2736 . . . . . 6 20 = 20
39 8p2e10 12815 . . . . . 6 (8 + 2) = 10
40 00id 11437 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4119, 3, 10, 3, 37, 38, 39, 40decadd 12789 . . . . 5 (80 + 20) = 100
4220, 3, 11, 3, 35, 36, 41, 40decadd 12789 . . . 4 (800 + 200) = 1000
4315dec0h 12757 . . . . . 6 1 = 01
44 eqid 2736 . . . . . . 7 400 = 400
4523nn0cni 12540 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
4645addlidi 11450 . . . . . . 7 (0 + 52) = 52
47 eqid 2736 . . . . . . . 8 40 = 40
48 5cn 12355 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
4948addridi 11449 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
5022dec0h 12757 . . . . . . . . 9 5 = 05
5149, 50eqtri 2764 . . . . . . . 8 (5 + 0) = 05
5240, 3eqeltri 2836 . . . . . . . . 9 (0 + 0) ∈ ℕ0
53 eqid 2736 . . . . . . . . 9 521 = 521
54 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 52 = 52
55 5t4e20 12837 . . . . . . . . . 10 (5 · 4) = 20
56 4cn 12352 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
57 2cn 12342 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
58 4t2e8 12435 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
5956, 57, 58mulcomli 11271 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
602, 22, 10, 54, 55, 59decmul1 12799 . . . . . . . . 9 (52 · 4) = 208
6156mullidi 11267 . . . . . . . . . . 11 (1 · 4) = 4
6261, 40oveq12i 7444 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (0 + 0)) = (4 + 0)
6356addridi 11449 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 4
6462, 63eqtri 2764 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (0 + 0)) = 4
6523, 15, 52, 53, 2, 60, 64decrmanc 12792 . . . . . . . 8 ((521 · 4) + (0 + 0)) = 2084
6624nn0cni 12540 . . . . . . . . . . 11 521 ∈ ℂ
6766mul01i 11452 . . . . . . . . . 10 (521 · 0) = 0
6867oveq1i 7442 . . . . . . . . 9 ((521 · 0) + 5) = (0 + 5)
6948addlidi 11450 . . . . . . . . 9 (0 + 5) = 5
7068, 69, 503eqtri 2768 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 5) = 05
712, 3, 3, 22, 47, 51, 24, 22, 3, 65, 70decma2c 12788 . . . . . . 7 ((521 · 40) + (5 + 0)) = 20845
7267oveq1i 7442 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 2) = (0 + 2)
7357addlidi 11450 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7410dec0h 12757 . . . . . . . 8 2 = 02
7572, 73, 743eqtri 2768 . . . . . . 7 ((521 · 0) + 2) = 02
764, 3, 22, 10, 44, 46, 24, 10, 3, 71, 75decma2c 12788 . . . . . 6 ((521 · 400) + (0 + 52)) = 208452
7745mulridi 11266 . . . . . . 7 (52 · 1) = 52
78 ax-1cn 11214 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
7978mullidi 11267 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
8079oveq1i 7442 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
81 1p1e2 12392 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
8280, 81eqtri 2764 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 2
8323, 15, 15, 53, 15, 77, 82decrmanc 12792 . . . . . 6 ((521 · 1) + 1) = 522
845, 15, 3, 15, 1, 43, 24, 10, 23, 76, 83decma2c 12788 . . . . 5 ((521 · 𝑁) + 1) = 2084522
85 eqid 2736 . . . . . 6 902 = 902
86 6nn0 12549 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
872, 86deccl 12750 . . . . . . 7 46 ∈ ℕ0
8887, 10deccl 12750 . . . . . 6 462 ∈ ℕ0
89 eqid 2736 . . . . . . 7 90 = 90
90 eqid 2736 . . . . . . 7 462 = 462
91 eqid 2736 . . . . . . . 8 2311 = 2311
9287nn0cni 12540 . . . . . . . . 9 46 ∈ ℂ
9392addridi 11449 . . . . . . . 8 (46 + 0) = 46
94 4p1e5 12413 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
9594, 22eqeltri 2836 . . . . . . . . 9 (4 + 1) ∈ ℕ0
96 eqid 2736 . . . . . . . . 9 231 = 231
97 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 23 = 23
98 9cn 12367 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
99 9t2e18 12857 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 2) = 18
10098, 57, 99mulcomli 11271 . . . . . . . . . . 11 (2 · 9) = 18
10115, 19, 10, 100, 81, 39decaddci2 12797 . . . . . . . . . 10 ((2 · 9) + 2) = 20
102 7nn0 12550 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
103 7p1e8 12416 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
104 3cn 12348 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
105 9t3e27 12858 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 3) = 27
10698, 104, 105mulcomli 11271 . . . . . . . . . . 11 (3 · 9) = 27
10710, 102, 103, 106decsuc 12766 . . . . . . . . . 10 ((3 · 9) + 1) = 28
10810, 26, 15, 97, 30, 19, 10, 101, 107decrmac 12793 . . . . . . . . 9 ((23 · 9) + 1) = 208
10998mullidi 11267 . . . . . . . . . . 11 (1 · 9) = 9
110109, 94oveq12i 7444 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + (4 + 1)) = (9 + 5)
111 9p5e14 12825 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
112110, 111eqtri 2764 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + (4 + 1)) = 14
11327, 15, 95, 96, 30, 2, 15, 108, 112decrmac 12793 . . . . . . . 8 ((231 · 9) + (4 + 1)) = 2084
114109oveq1i 7442 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 6) = (9 + 6)
115 9p6e15 12826 . . . . . . . . 9 (9 + 6) = 15
116114, 115eqtri 2764 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 6) = 15
11728, 15, 2, 86, 91, 93, 30, 22, 15, 113, 116decmac 12787 . . . . . . 7 ((2311 · 9) + (46 + 0)) = 20845
11829nn0cni 12540 . . . . . . . . . 10 2311 ∈ ℂ
119118mul01i 11452 . . . . . . . . 9 (2311 · 0) = 0
120119oveq1i 7442 . . . . . . . 8 ((2311 · 0) + 2) = (0 + 2)
121120, 73, 743eqtri 2768 . . . . . . 7 ((2311 · 0) + 2) = 02
12230, 3, 87, 10, 89, 90, 29, 10, 3, 117, 121decma2c 12788 . . . . . 6 ((2311 · 90) + 462) = 208452
123 2t2e4 12431 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
124 3t2e6 12433 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = 6
12510, 10, 26, 97, 123, 124decmul1 12799 . . . . . . . 8 (23 · 2) = 46
12657mullidi 11267 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
12710, 27, 15, 96, 125, 126decmul1 12799 . . . . . . 7 (231 · 2) = 462
12810, 28, 15, 91, 127, 126decmul1 12799 . . . . . 6 (2311 · 2) = 4622
12929, 31, 10, 85, 10, 88, 122, 128decmul2c 12801 . . . . 5 (2311 · 902) = 2084522
13084, 129eqtr4i 2767 . . . 4 ((521 · 𝑁) + 1) = (2311 · 902)
1318, 9, 21, 25, 29, 15, 12, 32, 33, 34, 42, 130modxai 17107 . . 3 ((2↑1000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
13218nn0cni 12540 . . . 4 1000 ∈ ℂ
133 eqid 2736 . . . . 5 1000 = 1000
134 eqid 2736 . . . . . 6 100 = 100
13510dec0u 12756 . . . . . 6 (10 · 2) = 20
13657mul02i 11451 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
13710, 16, 3, 134, 135, 136decmul1 12799 . . . . 5 (100 · 2) = 200
13810, 17, 3, 133, 137, 136decmul1 12799 . . . 4 (1000 · 2) = 2000
139132, 57, 138mulcomli 11271 . . 3 (2 · 1000) = 2000
1408nncni 12277 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
141140mul02i 11451 . . . . 5 (0 · 𝑁) = 0
142141oveq1i 7442 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
14378addlidi 11450 . . . . 5 (0 + 1) = 1
14479, 143eqtr4i 2767 . . . 4 (1 · 1) = (0 + 1)
145142, 144eqtr4i 2767 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
1468, 9, 18, 14, 15, 15, 131, 139, 145mod2xi 17108 . 2 ((2↑2000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
14713nn0cni 12540 . . . 4 2000 ∈ ℂ
148 eqid 2736 . . . . 5 2000 = 2000
14910, 10, 3, 38, 123, 136decmul1 12799 . . . . . 6 (20 · 2) = 40
15010, 11, 3, 36, 149, 136decmul1 12799 . . . . 5 (200 · 2) = 400
15110, 12, 3, 148, 150, 136decmul1 12799 . . . 4 (2000 · 2) = 4000
152147, 57, 151mulcomli 11271 . . 3 (2 · 2000) = 4000
1535, 3deccl 12750 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
154153nn0cni 12540 . . . 4 4000 ∈ ℂ
155 eqid 2736 . . . . . 6 4000 = 4000
1565, 3, 143, 155decsuc 12766 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1571, 156eqtr4i 2767 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
158154, 78, 157mvrraddi 11526 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
159152, 158eqtr4i 2767 . 2 (2 · 2000) = (𝑁 − 1)
1608, 9, 13, 14, 15, 15, 146, 159, 145mod2xi 17108 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493  cn 12267  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  5c5 12325  6c6 12326  7c7 12327  8c8 12328  9c9 12329  0cn0 12528  cdc 12735   mod cmo 13910  cexp 14103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104
This theorem is referenced by:  4001prm  17183
  Copyright terms: Public domain W3C validator