MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem3 16476
Description: Lemma for 4001prm 16478. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑1000 = 2↑800 · 2↑200≡2311 · 902 = 521𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1000)↑4≡1↑4 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem3 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem3
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 11913 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 11909 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12110 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 12110 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 11645 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 12115 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2912 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 11707 . 2 2 ∈ ℕ
10 2nn0 11911 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 12110 . . . 4 20 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 12110 . . 3 200 ∈ ℕ0
1312, 3deccl 12110 . 2 2000 ∈ ℕ0
14 0z 11989 . 2 0 ∈ ℤ
15 1nn0 11910 . 2 1 ∈ ℕ0
16 10nn0 12113 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
1716, 3deccl 12110 . . . 4 100 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 12110 . . 3 1000 ∈ ℕ0
19 8nn0 11917 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
2019, 3deccl 12110 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
2120, 3deccl 12110 . . . 4 800 ∈ ℕ0
22 5nn0 11914 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
2322, 10deccl 12110 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
2423, 15deccl 12110 . . . . 5 521 ∈ ℕ0
2524nn0zi 12004 . . . 4 521 ∈ ℤ
26 3nn0 11912 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2710, 26deccl 12110 . . . . . 6 23 ∈ ℕ0
2827, 15deccl 12110 . . . . 5 231 ∈ ℕ0
2928, 15deccl 12110 . . . 4 2311 ∈ ℕ0
30 9nn0 11918 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 12110 . . . . 5 90 ∈ ℕ0
3231, 10deccl 12110 . . . 4 902 ∈ ℕ0
3314001lem2 16475 . . . 4 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
3414001lem1 16474 . . . 4 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
35 eqid 2824 . . . . 5 800 = 800
36 eqid 2824 . . . . 5 200 = 200
37 eqid 2824 . . . . . 6 80 = 80
38 eqid 2824 . . . . . 6 20 = 20
39 8p2e10 12175 . . . . . 6 (8 + 2) = 10
40 00id 10813 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4119, 3, 10, 3, 37, 38, 39, 40decadd 12149 . . . . 5 (80 + 20) = 100
4220, 3, 11, 3, 35, 36, 41, 40decadd 12149 . . . 4 (800 + 200) = 1000
4315dec0h 12117 . . . . . 6 1 = 01
44 eqid 2824 . . . . . . 7 400 = 400
4523nn0cni 11906 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
4645addid2i 10826 . . . . . . 7 (0 + 52) = 52
47 eqid 2824 . . . . . . . 8 40 = 40
48 5cn 11722 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
4948addid1i 10825 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
5022dec0h 12117 . . . . . . . . 9 5 = 05
5149, 50eqtri 2847 . . . . . . . 8 (5 + 0) = 05
5240, 3eqeltri 2912 . . . . . . . . 9 (0 + 0) ∈ ℕ0
53 eqid 2824 . . . . . . . . 9 521 = 521
54 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 52 = 52
55 5t4e20 12197 . . . . . . . . . 10 (5 · 4) = 20
56 4cn 11719 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
57 2cn 11709 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
58 4t2e8 11802 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
5956, 57, 58mulcomli 10648 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
602, 22, 10, 54, 55, 59decmul1 12159 . . . . . . . . 9 (52 · 4) = 208
6156mulid2i 10644 . . . . . . . . . . 11 (1 · 4) = 4
6261, 40oveq12i 7161 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (0 + 0)) = (4 + 0)
6356addid1i 10825 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 4
6462, 63eqtri 2847 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (0 + 0)) = 4
6523, 15, 52, 53, 2, 60, 64decrmanc 12152 . . . . . . . 8 ((521 · 4) + (0 + 0)) = 2084
6624nn0cni 11906 . . . . . . . . . . 11 521 ∈ ℂ
6766mul01i 10828 . . . . . . . . . 10 (521 · 0) = 0
6867oveq1i 7159 . . . . . . . . 9 ((521 · 0) + 5) = (0 + 5)
6948addid2i 10826 . . . . . . . . 9 (0 + 5) = 5
7068, 69, 503eqtri 2851 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 5) = 05
712, 3, 3, 22, 47, 51, 24, 22, 3, 65, 70decma2c 12148 . . . . . . 7 ((521 · 40) + (5 + 0)) = 20845
7267oveq1i 7159 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 2) = (0 + 2)
7357addid2i 10826 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7410dec0h 12117 . . . . . . . 8 2 = 02
7572, 73, 743eqtri 2851 . . . . . . 7 ((521 · 0) + 2) = 02
764, 3, 22, 10, 44, 46, 24, 10, 3, 71, 75decma2c 12148 . . . . . 6 ((521 · 400) + (0 + 52)) = 208452
7745mulid1i 10643 . . . . . . 7 (52 · 1) = 52
78 ax-1cn 10593 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
7978mulid2i 10644 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
8079oveq1i 7159 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
81 1p1e2 11759 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
8280, 81eqtri 2847 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 2
8323, 15, 15, 53, 15, 77, 82decrmanc 12152 . . . . . 6 ((521 · 1) + 1) = 522
845, 15, 3, 15, 1, 43, 24, 10, 23, 76, 83decma2c 12148 . . . . 5 ((521 · 𝑁) + 1) = 2084522
85 eqid 2824 . . . . . 6 902 = 902
86 6nn0 11915 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
872, 86deccl 12110 . . . . . . 7 46 ∈ ℕ0
8887, 10deccl 12110 . . . . . 6 462 ∈ ℕ0
89 eqid 2824 . . . . . . 7 90 = 90
90 eqid 2824 . . . . . . 7 462 = 462
91 eqid 2824 . . . . . . . 8 2311 = 2311
9287nn0cni 11906 . . . . . . . . 9 46 ∈ ℂ
9392addid1i 10825 . . . . . . . 8 (46 + 0) = 46
94 4p1e5 11780 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
9594, 22eqeltri 2912 . . . . . . . . 9 (4 + 1) ∈ ℕ0
96 eqid 2824 . . . . . . . . 9 231 = 231
97 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 23 = 23
98 9cn 11734 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
99 9t2e18 12217 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 2) = 18
10098, 57, 99mulcomli 10648 . . . . . . . . . . 11 (2 · 9) = 18
10115, 19, 10, 100, 81, 39decaddci2 12157 . . . . . . . . . 10 ((2 · 9) + 2) = 20
102 7nn0 11916 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
103 7p1e8 11783 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
104 3cn 11715 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
105 9t3e27 12218 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 3) = 27
10698, 104, 105mulcomli 10648 . . . . . . . . . . 11 (3 · 9) = 27
10710, 102, 103, 106decsuc 12126 . . . . . . . . . 10 ((3 · 9) + 1) = 28
10810, 26, 15, 97, 30, 19, 10, 101, 107decrmac 12153 . . . . . . . . 9 ((23 · 9) + 1) = 208
10998mulid2i 10644 . . . . . . . . . . 11 (1 · 9) = 9
110109, 94oveq12i 7161 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + (4 + 1)) = (9 + 5)
111 9p5e14 12185 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
112110, 111eqtri 2847 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + (4 + 1)) = 14
11327, 15, 95, 96, 30, 2, 15, 108, 112decrmac 12153 . . . . . . . 8 ((231 · 9) + (4 + 1)) = 2084
114109oveq1i 7159 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 6) = (9 + 6)
115 9p6e15 12186 . . . . . . . . 9 (9 + 6) = 15
116114, 115eqtri 2847 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 6) = 15
11728, 15, 2, 86, 91, 93, 30, 22, 15, 113, 116decmac 12147 . . . . . . 7 ((2311 · 9) + (46 + 0)) = 20845
11829nn0cni 11906 . . . . . . . . . 10 2311 ∈ ℂ
119118mul01i 10828 . . . . . . . . 9 (2311 · 0) = 0
120119oveq1i 7159 . . . . . . . 8 ((2311 · 0) + 2) = (0 + 2)
121120, 73, 743eqtri 2851 . . . . . . 7 ((2311 · 0) + 2) = 02
12230, 3, 87, 10, 89, 90, 29, 10, 3, 117, 121decma2c 12148 . . . . . 6 ((2311 · 90) + 462) = 208452
123 2t2e4 11798 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
124 3t2e6 11800 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = 6
12510, 10, 26, 97, 123, 124decmul1 12159 . . . . . . . 8 (23 · 2) = 46
12657mulid2i 10644 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
12710, 27, 15, 96, 125, 126decmul1 12159 . . . . . . 7 (231 · 2) = 462
12810, 28, 15, 91, 127, 126decmul1 12159 . . . . . 6 (2311 · 2) = 4622
12929, 31, 10, 85, 10, 88, 122, 128decmul2c 12161 . . . . 5 (2311 · 902) = 2084522
13084, 129eqtr4i 2850 . . . 4 ((521 · 𝑁) + 1) = (2311 · 902)
1318, 9, 21, 25, 29, 15, 12, 32, 33, 34, 42, 130modxai 16402 . . 3 ((2↑1000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
13218nn0cni 11906 . . . 4 1000 ∈ ℂ
133 eqid 2824 . . . . 5 1000 = 1000
134 eqid 2824 . . . . . 6 100 = 100
13510dec0u 12116 . . . . . 6 (10 · 2) = 20
13657mul02i 10827 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
13710, 16, 3, 134, 135, 136decmul1 12159 . . . . 5 (100 · 2) = 200
13810, 17, 3, 133, 137, 136decmul1 12159 . . . 4 (1000 · 2) = 2000
139132, 57, 138mulcomli 10648 . . 3 (2 · 1000) = 2000
1408nncni 11644 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
141140mul02i 10827 . . . . 5 (0 · 𝑁) = 0
142141oveq1i 7159 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
14378addid2i 10826 . . . . 5 (0 + 1) = 1
14479, 143eqtr4i 2850 . . . 4 (1 · 1) = (0 + 1)
145142, 144eqtr4i 2850 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
1468, 9, 18, 14, 15, 15, 131, 139, 145mod2xi 16403 . 2 ((2↑2000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
14713nn0cni 11906 . . . 4 2000 ∈ ℂ
148 eqid 2824 . . . . 5 2000 = 2000
14910, 10, 3, 38, 123, 136decmul1 12159 . . . . . 6 (20 · 2) = 40
15010, 11, 3, 36, 149, 136decmul1 12159 . . . . 5 (200 · 2) = 400
15110, 12, 3, 148, 150, 136decmul1 12159 . . . 4 (2000 · 2) = 4000
152147, 57, 151mulcomli 10648 . . 3 (2 · 2000) = 4000
1535, 3deccl 12110 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
154153nn0cni 11906 . . . 4 4000 ∈ ℂ
155 eqid 2824 . . . . . 6 4000 = 4000
1565, 3, 143, 155decsuc 12126 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1571, 156eqtr4i 2850 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
158154, 78, 157mvrraddi 10901 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
159152, 158eqtr4i 2850 . 2 (2 · 2000) = (𝑁 − 1)
1608, 9, 13, 14, 15, 15, 146, 159, 145mod2xi 16403 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540  cmin 10868  cn 11634  2c2 11689  3c3 11690  4c4 11691  5c5 11692  6c6 11693  7c7 11694  8c8 11695  9c9 11696  0cn0 11894  cdc 12095   mod cmo 13241  cexp 13434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435
This theorem is referenced by:  4001prm  16478
  Copyright terms: Public domain W3C validator