MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem3 17177
Description: Lemma for 4001prm 17179. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑1000 = 2↑800 · 2↑200≡2311 · 902 = 521𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1000)↑4≡1↑4 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem3 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem3
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 12543 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 12539 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12746 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 12746 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 12275 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 12751 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2835 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 12337 . 2 2 ∈ ℕ
10 2nn0 12541 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 12746 . . . 4 20 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 12746 . . 3 200 ∈ ℕ0
1312, 3deccl 12746 . 2 2000 ∈ ℕ0
14 0z 12622 . 2 0 ∈ ℤ
15 1nn0 12540 . 2 1 ∈ ℕ0
16 10nn0 12749 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
1716, 3deccl 12746 . . . 4 100 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 12746 . . 3 1000 ∈ ℕ0
19 8nn0 12547 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
2019, 3deccl 12746 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
2120, 3deccl 12746 . . . 4 800 ∈ ℕ0
22 5nn0 12544 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
2322, 10deccl 12746 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
2423, 15deccl 12746 . . . . 5 521 ∈ ℕ0
2524nn0zi 12640 . . . 4 521 ∈ ℤ
26 3nn0 12542 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2710, 26deccl 12746 . . . . . 6 23 ∈ ℕ0
2827, 15deccl 12746 . . . . 5 231 ∈ ℕ0
2928, 15deccl 12746 . . . 4 2311 ∈ ℕ0
30 9nn0 12548 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 12746 . . . . 5 90 ∈ ℕ0
3231, 10deccl 12746 . . . 4 902 ∈ ℕ0
3314001lem2 17176 . . . 4 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
3414001lem1 17175 . . . 4 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
35 eqid 2735 . . . . 5 800 = 800
36 eqid 2735 . . . . 5 200 = 200
37 eqid 2735 . . . . . 6 80 = 80
38 eqid 2735 . . . . . 6 20 = 20
39 8p2e10 12811 . . . . . 6 (8 + 2) = 10
40 00id 11434 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4119, 3, 10, 3, 37, 38, 39, 40decadd 12785 . . . . 5 (80 + 20) = 100
4220, 3, 11, 3, 35, 36, 41, 40decadd 12785 . . . 4 (800 + 200) = 1000
4315dec0h 12753 . . . . . 6 1 = 01
44 eqid 2735 . . . . . . 7 400 = 400
4523nn0cni 12536 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
4645addlidi 11447 . . . . . . 7 (0 + 52) = 52
47 eqid 2735 . . . . . . . 8 40 = 40
48 5cn 12352 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
4948addridi 11446 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
5022dec0h 12753 . . . . . . . . 9 5 = 05
5149, 50eqtri 2763 . . . . . . . 8 (5 + 0) = 05
5240, 3eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 (0 + 0) ∈ ℕ0
53 eqid 2735 . . . . . . . . 9 521 = 521
54 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 52 = 52
55 5t4e20 12833 . . . . . . . . . 10 (5 · 4) = 20
56 4cn 12349 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
57 2cn 12339 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
58 4t2e8 12432 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
5956, 57, 58mulcomli 11268 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
602, 22, 10, 54, 55, 59decmul1 12795 . . . . . . . . 9 (52 · 4) = 208
6156mullidi 11264 . . . . . . . . . . 11 (1 · 4) = 4
6261, 40oveq12i 7443 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (0 + 0)) = (4 + 0)
6356addridi 11446 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 4
6462, 63eqtri 2763 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (0 + 0)) = 4
6523, 15, 52, 53, 2, 60, 64decrmanc 12788 . . . . . . . 8 ((521 · 4) + (0 + 0)) = 2084
6624nn0cni 12536 . . . . . . . . . . 11 521 ∈ ℂ
6766mul01i 11449 . . . . . . . . . 10 (521 · 0) = 0
6867oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((521 · 0) + 5) = (0 + 5)
6948addlidi 11447 . . . . . . . . 9 (0 + 5) = 5
7068, 69, 503eqtri 2767 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 5) = 05
712, 3, 3, 22, 47, 51, 24, 22, 3, 65, 70decma2c 12784 . . . . . . 7 ((521 · 40) + (5 + 0)) = 20845
7267oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 2) = (0 + 2)
7357addlidi 11447 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7410dec0h 12753 . . . . . . . 8 2 = 02
7572, 73, 743eqtri 2767 . . . . . . 7 ((521 · 0) + 2) = 02
764, 3, 22, 10, 44, 46, 24, 10, 3, 71, 75decma2c 12784 . . . . . 6 ((521 · 400) + (0 + 52)) = 208452
7745mulridi 11263 . . . . . . 7 (52 · 1) = 52
78 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
7978mullidi 11264 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
8079oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
81 1p1e2 12389 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
8280, 81eqtri 2763 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 2
8323, 15, 15, 53, 15, 77, 82decrmanc 12788 . . . . . 6 ((521 · 1) + 1) = 522
845, 15, 3, 15, 1, 43, 24, 10, 23, 76, 83decma2c 12784 . . . . 5 ((521 · 𝑁) + 1) = 2084522
85 eqid 2735 . . . . . 6 902 = 902
86 6nn0 12545 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
872, 86deccl 12746 . . . . . . 7 46 ∈ ℕ0
8887, 10deccl 12746 . . . . . 6 462 ∈ ℕ0
89 eqid 2735 . . . . . . 7 90 = 90
90 eqid 2735 . . . . . . 7 462 = 462
91 eqid 2735 . . . . . . . 8 2311 = 2311
9287nn0cni 12536 . . . . . . . . 9 46 ∈ ℂ
9392addridi 11446 . . . . . . . 8 (46 + 0) = 46
94 4p1e5 12410 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
9594, 22eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 (4 + 1) ∈ ℕ0
96 eqid 2735 . . . . . . . . 9 231 = 231
97 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 23 = 23
98 9cn 12364 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
99 9t2e18 12853 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 2) = 18
10098, 57, 99mulcomli 11268 . . . . . . . . . . 11 (2 · 9) = 18
10115, 19, 10, 100, 81, 39decaddci2 12793 . . . . . . . . . 10 ((2 · 9) + 2) = 20
102 7nn0 12546 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
103 7p1e8 12413 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
104 3cn 12345 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
105 9t3e27 12854 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 3) = 27
10698, 104, 105mulcomli 11268 . . . . . . . . . . 11 (3 · 9) = 27
10710, 102, 103, 106decsuc 12762 . . . . . . . . . 10 ((3 · 9) + 1) = 28
10810, 26, 15, 97, 30, 19, 10, 101, 107decrmac 12789 . . . . . . . . 9 ((23 · 9) + 1) = 208
10998mullidi 11264 . . . . . . . . . . 11 (1 · 9) = 9
110109, 94oveq12i 7443 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + (4 + 1)) = (9 + 5)
111 9p5e14 12821 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
112110, 111eqtri 2763 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + (4 + 1)) = 14
11327, 15, 95, 96, 30, 2, 15, 108, 112decrmac 12789 . . . . . . . 8 ((231 · 9) + (4 + 1)) = 2084
114109oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 6) = (9 + 6)
115 9p6e15 12822 . . . . . . . . 9 (9 + 6) = 15
116114, 115eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 6) = 15
11728, 15, 2, 86, 91, 93, 30, 22, 15, 113, 116decmac 12783 . . . . . . 7 ((2311 · 9) + (46 + 0)) = 20845
11829nn0cni 12536 . . . . . . . . . 10 2311 ∈ ℂ
119118mul01i 11449 . . . . . . . . 9 (2311 · 0) = 0
120119oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((2311 · 0) + 2) = (0 + 2)
121120, 73, 743eqtri 2767 . . . . . . 7 ((2311 · 0) + 2) = 02
12230, 3, 87, 10, 89, 90, 29, 10, 3, 117, 121decma2c 12784 . . . . . 6 ((2311 · 90) + 462) = 208452
123 2t2e4 12428 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
124 3t2e6 12430 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = 6
12510, 10, 26, 97, 123, 124decmul1 12795 . . . . . . . 8 (23 · 2) = 46
12657mullidi 11264 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
12710, 27, 15, 96, 125, 126decmul1 12795 . . . . . . 7 (231 · 2) = 462
12810, 28, 15, 91, 127, 126decmul1 12795 . . . . . 6 (2311 · 2) = 4622
12929, 31, 10, 85, 10, 88, 122, 128decmul2c 12797 . . . . 5 (2311 · 902) = 2084522
13084, 129eqtr4i 2766 . . . 4 ((521 · 𝑁) + 1) = (2311 · 902)
1318, 9, 21, 25, 29, 15, 12, 32, 33, 34, 42, 130modxai 17102 . . 3 ((2↑1000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
13218nn0cni 12536 . . . 4 1000 ∈ ℂ
133 eqid 2735 . . . . 5 1000 = 1000
134 eqid 2735 . . . . . 6 100 = 100
13510dec0u 12752 . . . . . 6 (10 · 2) = 20
13657mul02i 11448 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
13710, 16, 3, 134, 135, 136decmul1 12795 . . . . 5 (100 · 2) = 200
13810, 17, 3, 133, 137, 136decmul1 12795 . . . 4 (1000 · 2) = 2000
139132, 57, 138mulcomli 11268 . . 3 (2 · 1000) = 2000
1408nncni 12274 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
141140mul02i 11448 . . . . 5 (0 · 𝑁) = 0
142141oveq1i 7441 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
14378addlidi 11447 . . . . 5 (0 + 1) = 1
14479, 143eqtr4i 2766 . . . 4 (1 · 1) = (0 + 1)
145142, 144eqtr4i 2766 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
1468, 9, 18, 14, 15, 15, 131, 139, 145mod2xi 17103 . 2 ((2↑2000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
14713nn0cni 12536 . . . 4 2000 ∈ ℂ
148 eqid 2735 . . . . 5 2000 = 2000
14910, 10, 3, 38, 123, 136decmul1 12795 . . . . . 6 (20 · 2) = 40
15010, 11, 3, 36, 149, 136decmul1 12795 . . . . 5 (200 · 2) = 400
15110, 12, 3, 148, 150, 136decmul1 12795 . . . 4 (2000 · 2) = 4000
152147, 57, 151mulcomli 11268 . . 3 (2 · 2000) = 4000
1535, 3deccl 12746 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
154153nn0cni 12536 . . . 4 4000 ∈ ℂ
155 eqid 2735 . . . . . 6 4000 = 4000
1565, 3, 143, 155decsuc 12762 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1571, 156eqtr4i 2766 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
158154, 78, 157mvrraddi 11523 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
159152, 158eqtr4i 2766 . 2 (2 · 2000) = (𝑁 − 1)
1608, 9, 13, 14, 15, 15, 146, 159, 145mod2xi 17103 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  0cn0 12524  cdc 12731   mod cmo 13906  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  4001prm  17179
  Copyright terms: Public domain W3C validator