MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decrmac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decrmac 12144
Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decrmanc.a 𝐴 ∈ ℕ0
decrmanc.b 𝐵 ∈ ℕ0
decrmanc.n 𝑁 ∈ ℕ0
decrmanc.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decrmanc.p 𝑃 ∈ ℕ0
decrmac.f 𝐹 ∈ ℕ0
decrmac.g 𝐺 ∈ ℕ0
decrmac.e ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺) = 𝐸
decrmac.2 ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐺𝐹
Assertion
Ref Expression
decrmac ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹

Proof of Theorem decrmac
StepHypRef Expression
1 decrmanc.a . 2 𝐴 ∈ ℕ0
2 decrmanc.b . 2 𝐵 ∈ ℕ0
3 0nn0 11900 . 2 0 ∈ ℕ0
4 decrmanc.n . 2 𝑁 ∈ ℕ0
5 decrmanc.m . 2 𝑀 = 𝐴𝐵
64dec0h 12108 . 2 𝑁 = 0𝑁
7 decrmanc.p . 2 𝑃 ∈ ℕ0
8 decrmac.f . 2 𝐹 ∈ ℕ0
9 decrmac.g . 2 𝐺 ∈ ℕ0
109nn0cni 11897 . . . . 5 𝐺 ∈ ℂ
1110addid2i 10817 . . . 4 (0 + 𝐺) = 𝐺
1211oveq2i 7146 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐺)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺)
13 decrmac.e . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺) = 𝐸
1412, 13eqtri 2821 . 2 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐺)) = 𝐸
15 decrmac.2 . 2 ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐺𝐹
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15decmac 12138 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2111  (class class class)co 7135  0cc0 10526   + caddc 10529   · cmul 10531  0cn0 11885  cdc 12086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-dec 12087
This theorem is referenced by:  2exp16  16416  139prm  16449  163prm  16450  1259lem1  16456  1259lem3  16458  1259lem4  16459  2503lem1  16462  2503lem2  16463  4001lem1  16466  4001lem3  16468  4001prm  16470  log2ub  25535  139prmALT  44111  127prm  44114
  Copyright terms: Public domain W3C validator