Theorem decrmac 12770

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decrmanc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decrmanc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decrmanc.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decrmanc.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decrmanc.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decrmac.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
decrmac.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decrmac.e	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺) = 𝐸
decrmac.2	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐺𝐹

Assertion

Ref	Expression
decrmac	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decrmac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decrmanc.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decrmanc.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 12515	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decrmanc.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decrmanc.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 12734	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7		decrmanc.p	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
8		decrmac.f	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
9		decrmac.g	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12512	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
11	10	addlidi 11394	. . . 4 ⊢ (0 + 𝐺) = 𝐺
12	11	oveq2i 7419	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐺)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺)
13		decrmac.e	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2792	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐺)) = 𝐸
15		decrmac.2	. 2 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐺𝐹
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	decmac 12764	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  0cc0 11096   + caddc 11099   · cmul 11101  ℕ₀cn0 12500  ;cdc 12707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-dec 12708

This theorem is referenced by:  2exp16  17146  139prm  17180  163prm  17181  1259lem1  17187  1259lem3  17189  1259lem4  17190  2503lem1  17193  2503lem2  17194  4001lem1  17197  4001lem3  17199  4001prm  17201  log2ub  27076  139prmALT  48230  127prm  48233