Theorem decrmac 12917

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decrmanc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decrmanc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decrmanc.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decrmanc.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decrmanc.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decrmac.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
decrmac.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decrmac.e	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺) = 𝐸
decrmac.2	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐺𝐹

Assertion

Ref	Expression
decrmac	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decrmac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decrmanc.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decrmanc.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 12661	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decrmanc.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decrmanc.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 12881	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7		decrmanc.p	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
8		decrmac.f	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
9		decrmac.g	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12658	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
11	10	addlidi 11537	. . . 4 ⊢ (0 + 𝐺) = 𝐺
12	11	oveq2i 7462	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐺)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺)
13		decrmac.e	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐺)) = 𝐸
15		decrmac.2	. 2 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐺𝐹
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	decmac 12911	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  0cc0 11239   + caddc 11242   · cmul 11244  ℕ₀cn0 12646  ;cdc 12854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-dec 12855

This theorem is used by:  2exp16  17312  139prm  17346  163prm  17347  1259lem1  17353  1259lem3  17355  1259lem4  17356  2503lem1  17359  2503lem2  17360  4001lem1  17363  4001lem3  17365  4001prm  17367  log2ub  27334  139prmALT  48954  127prm  48957