MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decrmac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decrmac 11836
Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decrmanc.a 𝐴 ∈ ℕ0
decrmanc.b 𝐵 ∈ ℕ0
decrmanc.n 𝑁 ∈ ℕ0
decrmanc.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decrmanc.p 𝑃 ∈ ℕ0
decrmac.f 𝐹 ∈ ℕ0
decrmac.g 𝐺 ∈ ℕ0
decrmac.e ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺) = 𝐸
decrmac.2 ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐺𝐹
Assertion
Ref Expression
decrmac ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹

Proof of Theorem decrmac
StepHypRef Expression
1 decrmanc.a . 2 𝐴 ∈ ℕ0
2 decrmanc.b . 2 𝐵 ∈ ℕ0
3 0nn0 11593 . 2 0 ∈ ℕ0
4 decrmanc.n . 2 𝑁 ∈ ℕ0
5 decrmanc.m . 2 𝑀 = 𝐴𝐵
64dec0h 11800 . 2 𝑁 = 0𝑁
7 decrmanc.p . 2 𝑃 ∈ ℕ0
8 decrmac.f . 2 𝐹 ∈ ℕ0
9 decrmac.g . 2 𝐺 ∈ ℕ0
109nn0cni 11590 . . . . 5 𝐺 ∈ ℂ
1110addid2i 10518 . . . 4 (0 + 𝐺) = 𝐺
1211oveq2i 6894 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐺)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺)
13 decrmac.e . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺) = 𝐸
1412, 13eqtri 2839 . 2 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐺)) = 𝐸
15 decrmac.2 . 2 ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐺𝐹
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15decmac 11830 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2157  (class class class)co 6883  0cc0 10230   + caddc 10233   · cmul 10235  0cn0 11578  cdc 11778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-er 7988  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-ltxr 10373  df-sub 10562  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11579  df-dec 11779
This theorem is referenced by:  2exp16  16028  139prm  16061  163prm  16062  1259lem1  16068  1259lem3  16070  1259lem4  16071  2503lem1  16074  2503lem2  16075  4001lem1  16078  4001lem3  16080  4001prm  16082  log2ub  24912  139prmALT  42103  127prm  42107
  Copyright terms: Public domain W3C validator