Theorem mdegnn0cl 26030

Description: Degree of a nonzero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdeg0.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdeg0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdeg0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
mdegnn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegnn0cl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem mdegnn0cl

Dummy variables 𝑥 ℎ 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdeg0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdeg0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegnn0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2734	. . 3 ⊢ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = (ℎ ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg ℎ))
7		mdeg0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mdegldg 26025	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ∃𝑥 ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐹‘𝑥) ≠ (0g‘𝑅) ∧ ((ℎ ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg ℎ))‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)))
9	5, 6	tdeglem1 26017	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg ℎ)):{𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (ℎ ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg ℎ)):{𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
11	10	ffvelcdmda 7027	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℎ ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg ℎ))‘𝑥) ∈ ℕ0)
12		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (((ℎ ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg ℎ))‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) → (((ℎ ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg ℎ))‘𝑥) ∈ ℕ0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
13	11, 12	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((ℎ ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg ℎ))‘𝑥) = (𝐷‘𝐹) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
14	13	adantld 490	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐹‘𝑥) ≠ (0g‘𝑅) ∧ ((ℎ ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg ℎ))‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
15	14	rexlimdva 3135	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (∃𝑥 ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐹‘𝑥) ≠ (0g‘𝑅) ∧ ((ℎ ∈ {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg ℎ))‘𝑥) = (𝐷‘𝐹)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
16	8, 15	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058  {crab 3397   ↦ cmpt 5177  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  Fincfn 8881  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  Basecbs 17134  0_gc0g 17357   Σ_g cgsu 17358  Ringcrg 20166  ℂ_fldccnfld 21307   mPoly cmpl 21860   mDeg cmdg 26012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-cnfld 21308  df-psr 21863  df-mpl 21865  df-mdeg 26014

This theorem is referenced by:  deg1nn0cl  26047