Theorem dfdec100 33300

Description: Split the hundreds from a decimal value. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfdec100.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dfdec100.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dfdec100.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dfdec100	⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)

Proof of Theorem dfdec100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12739	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐵) + 𝐶)
2	1	oveq2i 7424	. 2 ⊢ ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶) = ((;;100 · 𝐴) + ((;10 · 𝐵) + 𝐶))
3		10nn0 12758	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
4	3	dec0u 12762	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;10) = ;;100
5	3	nn0cni 12540	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11240	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;10) ∈ ℂ
7	4, 6	eqeltrri 2857	. . . 4 ⊢ ;;100 ∈ ℂ
8		dfdec100.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 12540	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10	7, 9	mulcli 11240	. . 3 ⊢ (;;100 · 𝐴) ∈ ℂ
11		dfdec100.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12540	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
13	5, 12	mulcli 11240	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐵) ∈ ℂ
14		dfdec100.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
15	14	recni 11247	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
16	10, 13, 15	addassi 11243	. 2 ⊢ (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((;;100 · 𝐴) + ((;10 · 𝐵) + 𝐶))
17		dfdec10 12739	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶)
18		dfdec10 12739	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
19	18	oveq2i 7424	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
20	5, 9	mulcli 11240	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
21	5, 20, 12	adddii 11245	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵))
22	5, 5, 9	mulassi 11244	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;10 · (;10 · 𝐴))
23	4	oveq1i 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;;100 · 𝐴)
24	22, 23	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (;10 · 𝐴)) = (;;100 · 𝐴)
25	24	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵)) = ((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
26	19, 21, 25	3eqtri 2787	. . . 4 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = ((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
27	26	oveq1i 7423	. . 3 ⊢ ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶) = (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)
28	17, 27	eqtr2i 2784	. 2 ⊢ (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ;;𝐴𝐵𝐶
29	2, 16, 28	3eqtr2ri 2790	1 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  ℕ₀cn0 12528  ;cdc 12736

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-dec 12737

This theorem is used by:  dpmul100  33342  dpmul1000  33344  dpmul4  33359