Theorem dfdec100 33468

Description: Split the hundreds from a decimal value. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfdec100.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dfdec100.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dfdec100.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dfdec100	⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)

Proof of Theorem dfdec100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12821	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐵) + 𝐶)
2	1	oveq2i 7432	. 2 ⊢ ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶) = ((;;100 · 𝐴) + ((;10 · 𝐵) + 𝐶))
3		10nn0 12840	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
4	3	dec0u 12844	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;10) = ;;100
5	3	nn0cni 12622	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11320	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;10) ∈ ℂ
7	4, 6	eqeltrri 2857	. . . 4 ⊢ ;;100 ∈ ℂ
8		dfdec100.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 12622	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10	7, 9	mulcli 11320	. . 3 ⊢ (;;100 · 𝐴) ∈ ℂ
11		dfdec100.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12622	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
13	5, 12	mulcli 11320	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐵) ∈ ℂ
14		dfdec100.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
15	14	recni 11327	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
16	10, 13, 15	addassi 11323	. 2 ⊢ (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((;;100 · 𝐴) + ((;10 · 𝐵) + 𝐶))
17		dfdec10 12821	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶)
18		dfdec10 12821	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
19	18	oveq2i 7432	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
20	5, 9	mulcli 11320	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
21	5, 20, 12	adddii 11325	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵))
22	5, 5, 9	mulassi 11324	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;10 · (;10 · 𝐴))
23	4	oveq1i 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;;100 · 𝐴)
24	22, 23	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (;10 · 𝐴)) = (;;100 · 𝐴)
25	24	oveq1i 7431	. . . . 5 ⊢ ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵)) = ((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
26	19, 21, 25	3eqtri 2787	. . . 4 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = ((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
27	26	oveq1i 7431	. . 3 ⊢ ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶) = (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)
28	17, 27	eqtr2i 2784	. 2 ⊢ (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ;;𝐴𝐵𝐶
29	2, 16, 28	3eqtr2ri 2790	1 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209  ℕ₀cn0 12610  ;cdc 12818

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-dec 12819

This theorem is used by:  dpmul100  33510  dpmul1000  33512  dpmul4  33527