Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfdec100 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfdec100 30895
Description: Split the hundreds from a decimal value. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dfdec100.a 𝐴 ∈ ℕ0
dfdec100.b 𝐵 ∈ ℕ0
dfdec100.c 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
dfdec100 𝐴𝐵𝐶 = ((100 · 𝐴) + 𝐵𝐶)

Proof of Theorem dfdec100
StepHypRef Expression
1 dfdec10 12325 . . 3 𝐵𝐶 = ((10 · 𝐵) + 𝐶)
21oveq2i 7245 . 2 ((100 · 𝐴) + 𝐵𝐶) = ((100 · 𝐴) + ((10 · 𝐵) + 𝐶))
3 10nn0 12340 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
43dec0u 12343 . . . . 5 (10 · 10) = 100
53nn0cni 12131 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
65, 5mulcli 10869 . . . . 5 (10 · 10) ∈ ℂ
74, 6eqeltrri 2837 . . . 4 100 ∈ ℂ
8 dfdec100.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
98nn0cni 12131 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
107, 9mulcli 10869 . . 3 (100 · 𝐴) ∈ ℂ
11 dfdec100.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
1211nn0cni 12131 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
135, 12mulcli 10869 . . 3 (10 · 𝐵) ∈ ℂ
14 dfdec100.c . . . 4 𝐶 ∈ ℝ
1514recni 10876 . . 3 𝐶 ∈ ℂ
1610, 13, 15addassi 10872 . 2 (((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((100 · 𝐴) + ((10 · 𝐵) + 𝐶))
17 dfdec10 12325 . . 3 𝐴𝐵𝐶 = ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶)
18 dfdec10 12325 . . . . . 6 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
1918oveq2i 7245 . . . . 5 (10 · 𝐴𝐵) = (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵))
205, 9mulcli 10869 . . . . . 6 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
215, 20, 12adddii 10874 . . . . 5 (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵))
225, 5, 9mulassi 10873 . . . . . . 7 ((10 · 10) · 𝐴) = (10 · (10 · 𝐴))
234oveq1i 7244 . . . . . . 7 ((10 · 10) · 𝐴) = (100 · 𝐴)
2422, 23eqtr3i 2769 . . . . . 6 (10 · (10 · 𝐴)) = (100 · 𝐴)
2524oveq1i 7244 . . . . 5 ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵)) = ((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2619, 21, 253eqtri 2771 . . . 4 (10 · 𝐴𝐵) = ((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2726oveq1i 7244 . . 3 ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶) = (((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
2817, 27eqtr2i 2768 . 2 (((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶) = 𝐴𝐵𝐶
292, 16, 283eqtr2ri 2774 1 𝐴𝐵𝐶 = ((100 · 𝐴) + 𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1543  wcel 2112  (class class class)co 7234  cc 10756  cr 10757  0cc0 10758  1c1 10759   + caddc 10761   · cmul 10763  0cn0 12119  cdc 12322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-resscn 10815  ax-1cn 10816  ax-icn 10817  ax-addcl 10818  ax-addrcl 10819  ax-mulcl 10820  ax-mulrcl 10821  ax-mulcom 10822  ax-addass 10823  ax-mulass 10824  ax-distr 10825  ax-i2m1 10826  ax-1ne0 10827  ax-1rid 10828  ax-rnegex 10829  ax-rrecex 10830  ax-cnre 10831  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833  ax-pre-ltadd 10834
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-ov 7237  df-om 7666  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-er 8414  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-ltxr 10901  df-nn 11860  df-2 11922  df-3 11923  df-4 11924  df-5 11925  df-6 11926  df-7 11927  df-8 11928  df-9 11929  df-n0 12120  df-dec 12323
This theorem is referenced by:  dpmul100  30922  dpmul1000  30924  dpmul4  30939
  Copyright terms: Public domain W3C validator