Theorem dfdec100 30123

Description: Split the hundreds from a decimal value. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfdec100.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dfdec100.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dfdec100.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dfdec100	⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)

Proof of Theorem dfdec100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 11824	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐵) + 𝐶)
2	1	oveq2i 6916	. 2 ⊢ ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶) = ((;;100 · 𝐴) + ((;10 · 𝐵) + 𝐶))
3		10nn0 11839	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
4	3	dec0u 11843	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;10) = ;;100
5	3	nn0cni 11631	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 10364	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;10) ∈ ℂ
7	4, 6	eqeltrri 2903	. . . 4 ⊢ ;;100 ∈ ℂ
8		dfdec100.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 11631	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10	7, 9	mulcli 10364	. . 3 ⊢ (;;100 · 𝐴) ∈ ℂ
11		dfdec100.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 11631	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
13	5, 12	mulcli 10364	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐵) ∈ ℂ
14		dfdec100.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
15	14	recni 10371	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
16	10, 13, 15	addassi 10367	. 2 ⊢ (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((;;100 · 𝐴) + ((;10 · 𝐵) + 𝐶))
17		dfdec10 11824	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶)
18		dfdec10 11824	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
19	18	oveq2i 6916	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
20	5, 9	mulcli 10364	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
21	5, 20, 12	adddii 10369	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵))
22	5, 5, 9	mulassi 10368	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;10 · (;10 · 𝐴))
23	4	oveq1i 6915	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;;100 · 𝐴)
24	22, 23	eqtr3i 2851	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (;10 · 𝐴)) = (;;100 · 𝐴)
25	24	oveq1i 6915	. . . . 5 ⊢ ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵)) = ((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
26	19, 21, 25	3eqtri 2853	. . . 4 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = ((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
27	26	oveq1i 6915	. . 3 ⊢ ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶) = (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)
28	17, 27	eqtr2i 2850	. 2 ⊢ (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ;;𝐴𝐵𝐶
29	2, 16, 28	3eqtr2ri 2856	1 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257  ℕ₀cn0 11618  ;cdc 11821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-ltxr 10396  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-dec 11822

This theorem is referenced by:  dpmul100  30150  dpmul1000  30152  dpmul4  30167