Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfdec100 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfdec100 31768
Description: Split the hundreds from a decimal value. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dfdec100.a 𝐴 ∈ ℕ0
dfdec100.b 𝐵 ∈ ℕ0
dfdec100.c 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
dfdec100 𝐴𝐵𝐶 = ((100 · 𝐴) + 𝐵𝐶)

Proof of Theorem dfdec100
StepHypRef Expression
1 dfdec10 12628 . . 3 𝐵𝐶 = ((10 · 𝐵) + 𝐶)
21oveq2i 7373 . 2 ((100 · 𝐴) + 𝐵𝐶) = ((100 · 𝐴) + ((10 · 𝐵) + 𝐶))
3 10nn0 12643 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
43dec0u 12646 . . . . 5 (10 · 10) = 100
53nn0cni 12432 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
65, 5mulcli 11169 . . . . 5 (10 · 10) ∈ ℂ
74, 6eqeltrri 2835 . . . 4 100 ∈ ℂ
8 dfdec100.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
98nn0cni 12432 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
107, 9mulcli 11169 . . 3 (100 · 𝐴) ∈ ℂ
11 dfdec100.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
1211nn0cni 12432 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
135, 12mulcli 11169 . . 3 (10 · 𝐵) ∈ ℂ
14 dfdec100.c . . . 4 𝐶 ∈ ℝ
1514recni 11176 . . 3 𝐶 ∈ ℂ
1610, 13, 15addassi 11172 . 2 (((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((100 · 𝐴) + ((10 · 𝐵) + 𝐶))
17 dfdec10 12628 . . 3 𝐴𝐵𝐶 = ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶)
18 dfdec10 12628 . . . . . 6 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
1918oveq2i 7373 . . . . 5 (10 · 𝐴𝐵) = (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵))
205, 9mulcli 11169 . . . . . 6 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
215, 20, 12adddii 11174 . . . . 5 (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵))
225, 5, 9mulassi 11173 . . . . . . 7 ((10 · 10) · 𝐴) = (10 · (10 · 𝐴))
234oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((10 · 10) · 𝐴) = (100 · 𝐴)
2422, 23eqtr3i 2767 . . . . . 6 (10 · (10 · 𝐴)) = (100 · 𝐴)
2524oveq1i 7372 . . . . 5 ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵)) = ((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2619, 21, 253eqtri 2769 . . . 4 (10 · 𝐴𝐵) = ((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2726oveq1i 7372 . . 3 ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶) = (((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
2817, 27eqtr2i 2766 . 2 (((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶) = 𝐴𝐵𝐶
292, 16, 283eqtr2ri 2772 1 𝐴𝐵𝐶 = ((100 · 𝐴) + 𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7362  cc 11056  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  0cn0 12420  cdc 12625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-dec 12626
This theorem is referenced by:  dpmul100  31795  dpmul1000  31797  dpmul4  31812
  Copyright terms: Public domain W3C validator