Theorem dfdec100 33111

Description: Split the hundreds from a decimal value. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfdec100.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dfdec100.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dfdec100.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dfdec100	⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)

Proof of Theorem dfdec100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12710	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐵) + 𝐶)
2	1	oveq2i 7419	. 2 ⊢ ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶) = ((;;100 · 𝐴) + ((;10 · 𝐵) + 𝐶))
3		10nn0 12729	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
4	3	dec0u 12733	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;10) = ;;100
5	3	nn0cni 12512	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11212	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;10) ∈ ℂ
7	4, 6	eqeltrri 2866	. . . 4 ⊢ ;;100 ∈ ℂ
8		dfdec100.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 12512	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10	7, 9	mulcli 11212	. . 3 ⊢ (;;100 · 𝐴) ∈ ℂ
11		dfdec100.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12512	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
13	5, 12	mulcli 11212	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐵) ∈ ℂ
14		dfdec100.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
15	14	recni 11219	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
16	10, 13, 15	addassi 11215	. 2 ⊢ (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((;;100 · 𝐴) + ((;10 · 𝐵) + 𝐶))
17		dfdec10 12710	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶)
18		dfdec10 12710	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
19	18	oveq2i 7419	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
20	5, 9	mulcli 11212	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
21	5, 20, 12	adddii 11217	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵))
22	5, 5, 9	mulassi 11216	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;10 · (;10 · 𝐴))
23	4	oveq1i 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;;100 · 𝐴)
24	22, 23	eqtr3i 2794	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (;10 · 𝐴)) = (;;100 · 𝐴)
25	24	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵)) = ((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
26	19, 21, 25	3eqtri 2796	. . . 4 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = ((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
27	26	oveq1i 7418	. . 3 ⊢ ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶) = (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)
28	17, 27	eqtr2i 2793	. 2 ⊢ (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ;;𝐴𝐵𝐶
29	2, 16, 28	3eqtr2ri 2799	1 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101  ℕ₀cn0 12500  ;cdc 12707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-dec 12708

This theorem is referenced by:  dpmul100  33153  dpmul1000  33155  dpmul4  33170