Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfdec100 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfdec100 30552
Description: Split the hundreds from a decimal value. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dfdec100.a 𝐴 ∈ ℕ0
dfdec100.b 𝐵 ∈ ℕ0
dfdec100.c 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
dfdec100 𝐴𝐵𝐶 = ((100 · 𝐴) + 𝐵𝐶)

Proof of Theorem dfdec100
StepHypRef Expression
1 dfdec10 12096 . . 3 𝐵𝐶 = ((10 · 𝐵) + 𝐶)
21oveq2i 7157 . 2 ((100 · 𝐴) + 𝐵𝐶) = ((100 · 𝐴) + ((10 · 𝐵) + 𝐶))
3 10nn0 12111 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
43dec0u 12114 . . . . 5 (10 · 10) = 100
53nn0cni 11904 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
65, 5mulcli 10642 . . . . 5 (10 · 10) ∈ ℂ
74, 6eqeltrri 2913 . . . 4 100 ∈ ℂ
8 dfdec100.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
98nn0cni 11904 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
107, 9mulcli 10642 . . 3 (100 · 𝐴) ∈ ℂ
11 dfdec100.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
1211nn0cni 11904 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
135, 12mulcli 10642 . . 3 (10 · 𝐵) ∈ ℂ
14 dfdec100.c . . . 4 𝐶 ∈ ℝ
1514recni 10649 . . 3 𝐶 ∈ ℂ
1610, 13, 15addassi 10645 . 2 (((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((100 · 𝐴) + ((10 · 𝐵) + 𝐶))
17 dfdec10 12096 . . 3 𝐴𝐵𝐶 = ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶)
18 dfdec10 12096 . . . . . 6 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
1918oveq2i 7157 . . . . 5 (10 · 𝐴𝐵) = (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵))
205, 9mulcli 10642 . . . . . 6 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
215, 20, 12adddii 10647 . . . . 5 (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵))
225, 5, 9mulassi 10646 . . . . . . 7 ((10 · 10) · 𝐴) = (10 · (10 · 𝐴))
234oveq1i 7156 . . . . . . 7 ((10 · 10) · 𝐴) = (100 · 𝐴)
2422, 23eqtr3i 2849 . . . . . 6 (10 · (10 · 𝐴)) = (100 · 𝐴)
2524oveq1i 7156 . . . . 5 ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵)) = ((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2619, 21, 253eqtri 2851 . . . 4 (10 · 𝐴𝐵) = ((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2726oveq1i 7156 . . 3 ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶) = (((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
2817, 27eqtr2i 2848 . 2 (((100 · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶) = 𝐴𝐵𝐶
292, 16, 283eqtr2ri 2854 1 𝐴𝐵𝐶 = ((100 · 𝐴) + 𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7146  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  0cn0 11892  cdc 12093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-om 7572  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-dec 12094
This theorem is referenced by:  dpmul100  30579  dpmul1000  30581  dpmul4  30596
  Copyright terms: Public domain W3C validator