Theorem dfdec100 30548

Description: Split the hundreds from a decimal value. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfdec100.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dfdec100.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dfdec100.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dfdec100	⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)

Proof of Theorem dfdec100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12104	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐵) + 𝐶)
2	1	oveq2i 7169	. 2 ⊢ ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶) = ((;;100 · 𝐴) + ((;10 · 𝐵) + 𝐶))
3		10nn0 12119	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
4	3	dec0u 12122	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;10) = ;;100
5	3	nn0cni 11912	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 10650	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;10) ∈ ℂ
7	4, 6	eqeltrri 2912	. . . 4 ⊢ ;;100 ∈ ℂ
8		dfdec100.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 11912	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10	7, 9	mulcli 10650	. . 3 ⊢ (;;100 · 𝐴) ∈ ℂ
11		dfdec100.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 11912	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
13	5, 12	mulcli 10650	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐵) ∈ ℂ
14		dfdec100.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
15	14	recni 10657	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
16	10, 13, 15	addassi 10653	. 2 ⊢ (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((;;100 · 𝐴) + ((;10 · 𝐵) + 𝐶))
17		dfdec10 12104	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶)
18		dfdec10 12104	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
19	18	oveq2i 7169	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
20	5, 9	mulcli 10650	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
21	5, 20, 12	adddii 10655	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵))
22	5, 5, 9	mulassi 10654	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;10 · (;10 · 𝐴))
23	4	oveq1i 7168	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;;100 · 𝐴)
24	22, 23	eqtr3i 2848	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (;10 · 𝐴)) = (;;100 · 𝐴)
25	24	oveq1i 7168	. . . . 5 ⊢ ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵)) = ((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
26	19, 21, 25	3eqtri 2850	. . . 4 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = ((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
27	26	oveq1i 7168	. . 3 ⊢ ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶) = (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)
28	17, 27	eqtr2i 2847	. 2 ⊢ (((;;100 · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶) = ;;𝐴𝐵𝐶
29	2, 16, 28	3eqtr2ri 2853	1 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544  ℕ₀cn0 11900  ;cdc 12101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-dec 12102

This theorem is referenced by:  dpmul100  30575  dpmul1000  30577  dpmul4  30592