Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaf1oN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diaf1oN 40513
Description: The partial isomorphism A for a lattice 𝐾 is a one-to-one, onto function. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. See diadm 40418 for the domain. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadia.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvadia.u π‘ˆ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvadia.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvadia.n βŠ₯ = ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvadia.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
diaf1oN ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’{π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘₯)) = π‘₯})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   βŠ₯ (π‘₯)

Proof of Theorem diaf1oN
StepHypRef Expression
1 dvadia.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvadia.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
31, 2diaf11N 40432 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
4 f1of1 6825 . . . 4 (𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1β†’ran 𝐼)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1β†’ran 𝐼)
6 dvadia.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 dvadia.n . . . . 5 βŠ₯ = ((ocAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 dvadia.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
91, 6, 2, 7, 8diarnN 40512 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ran 𝐼 = {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘₯)) = π‘₯})
10 f1eq3 6777 . . . 4 (ran 𝐼 = {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘₯)) = π‘₯} β†’ (𝐼:dom 𝐼–1-1β†’ran 𝐼 ↔ 𝐼:dom 𝐼–1-1β†’{π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘₯)) = π‘₯}))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐼:dom 𝐼–1-1β†’ran 𝐼 ↔ 𝐼:dom 𝐼–1-1β†’{π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘₯)) = π‘₯}))
125, 11mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1β†’{π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘₯)) = π‘₯})
13 dff1o5 6835 . 2 (𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’{π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘₯)) = π‘₯} ↔ (𝐼:dom 𝐼–1-1β†’{π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘₯)) = π‘₯} ∧ ran 𝐼 = {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘₯)) = π‘₯}))
1412, 9, 13sylanbrc 582 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’{π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘₯)) = π‘₯})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  dom cdm 5669  ran crn 5670  β€“1-1β†’wf1 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  LSubSpclss 20775  HLchlt 38732  LHypclh 39367  DVecAcdveca 40385  DIsoAcdia 40411  ocAcocaN 40502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38335
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-lss 20776  df-oposet 38558  df-cmtN 38559  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542  df-tendo 40138  df-edring 40140  df-dveca 40386  df-disoa 40412  df-docaN 40503
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator