Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaf1oN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diaf1oN 38260
 Description: The partial isomorphism A for a lattice 𝐾 is a one-to-one, onto function. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. See diadm 38165 for the domain. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
diaf1oN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   (𝑥)

Proof of Theorem diaf1oN
StepHypRef Expression
1 dvadia.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvadia.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
31, 2diaf11N 38179 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
4 f1of1 6608 . . . 4 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝐼:dom 𝐼1-1→ran 𝐼)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1→ran 𝐼)
6 dvadia.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7 dvadia.n . . . . 5 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
8 dvadia.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
91, 6, 2, 7, 8diarnN 38259 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼 = {𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
10 f1eq3 6566 . . . 4 (ran 𝐼 = {𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥} → (𝐼:dom 𝐼1-1→ran 𝐼𝐼:dom 𝐼1-1→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥}))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼:dom 𝐼1-1→ran 𝐼𝐼:dom 𝐼1-1→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥}))
125, 11mpbid 234 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
13 dff1o5 6618 . 2 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥} ↔ (𝐼:dom 𝐼1-1→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥} ∧ ran 𝐼 = {𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥}))
1412, 9, 13sylanbrc 585 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  dom cdm 5549  ran crn 5550  –1-1→wf1 6346  –1-1-onto→wf1o 6348  ‘cfv 6349  LSubSpclss 19697  HLchlt 36480  LHypclh 37114  DVecAcdveca 38132  DIsoAcdia 38158  ocAcocaN 38249 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-riotaBAD 36083 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-undef 7933  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-lss 19698  df-oposet 36306  df-cmtN 36307  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628  df-lplanes 36629  df-lvols 36630  df-lines 36631  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-padd 36926  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235  df-trl 37289  df-tendo 37885  df-edring 37887  df-dveca 38133  df-disoa 38159  df-docaN 38250 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator