Theorem diaf1oN 41148

Description: The partial isomorphism A for a lattice 𝐾 is a one-to-one, onto function. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. See diadm 41053 for the domain. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadia.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvadia.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.n	⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
diaf1oN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   ⊥ (𝑥)

Proof of Theorem diaf1oN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadia.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvadia.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	diaf11N 41067	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
4		f1of1 6758	. . . 4 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 → 𝐼:dom 𝐼–1-1→ran 𝐼)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1→ran 𝐼)
6		dvadia.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7		dvadia.n	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
8		dvadia.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
9	1, 6, 2, 7, 8	diarnN 41147	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥})
10		f1eq3 6712	. . . 4 ⊢ (ran 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥} → (𝐼:dom 𝐼–1-1→ran 𝐼 ↔ 𝐼:dom 𝐼–1-1→{𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥}))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼:dom 𝐼–1-1→ran 𝐼 ↔ 𝐼:dom 𝐼–1-1→{𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥}))
12	5, 11	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1→{𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥})
13		dff1o5 6768	. 2 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥} ↔ (𝐼:dom 𝐼–1-1→{𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥} ∧ ran 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥}))
14	12, 9, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ 𝑆 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {crab 3393  dom cdm 5614  ran crn 5615  –1-1→wf1 6474  –1-1-onto→wf1o 6476  ‘cfv 6477  LSubSpclss 20857  HLchlt 39368  LHypclh 40002  DVecAcdveca 41020  DIsoAcdia 41046  ocAcocaN 41137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-undef 8198  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-struct 17050  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-proset 18192  df-poset 18211  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18330  df-clat 18397  df-lss 20858  df-oposet 39194  df-cmtN 39195  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39516  df-lplanes 39517  df-lvols 39518  df-lines 39519  df-psubsp 39521  df-pmap 39522  df-padd 39814  df-lhyp 40006  df-laut 40007  df-ldil 40122  df-ltrn 40123  df-trl 40177  df-tendo 40773  df-edring 40775  df-dveca 41021  df-disoa 41047  df-docaN 41138

This theorem is referenced by: (None)