Theorem divmuldivd 12138

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divmuldivd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
divmuldivd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
divmuldivd.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divmuldivd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem divmuldivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		divcld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		divmuldivd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	3, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		divmuldivd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
7		divmuldivd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
8	6, 7	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
9		divmuldiv 12021	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))
10	1, 2, 5, 8, 9	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204   · cmul 11209   / cdiv 11977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978

This theorem is used by:  prodfrec  16070  efcllem  16249  efaddlem  16265  tanaddlem  16340  isprm5  16889  pcpremul  17027  pcqmul  17037  mul4sqlem  17137  dvcnsqrt  27078  mcubic  27181  cubic2  27182  quart1lem  27189  log2tlbnd  27279  basellem5  27418  basellem8  27421  dchrinvcl  27586  dchrmusum2  27827  ttgcontlem1  29468  quad3d  33388  qqhrhm  34668  faclim2  36606  lcmineqlem11  43183  lcmineqlem18  43190  3lexlogpow2ineq2  43203  dvrelogpow2b  43212  aks4d1p1p7  43218  2np3bcnp1  43288  sqrtcval  44735  radcnvrat  45392  bccp1k  45419  dvnprodlem2  47051  wallispilem4  47172  wallispi2lem1  47175  wallispi2lem2  47176  stirlinglem1  47178  stirlinglem3  47180  stirlinglem4  47181  stirlinglem6  47183  stirlinglem10  47187  dvsec  51025  dvcsc  51026