Theorem divmuldivd 12050

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divmuldivd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
divmuldivd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
divmuldivd.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divmuldivd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem divmuldivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		divcld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		divmuldivd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	3, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		divmuldivd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
7		divmuldivd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
8	6, 7	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
9		divmuldiv 11933	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))
10	1, 2, 5, 8, 9	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118   · cmul 11123   / cdiv 11889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890

This theorem is used by:  prodfrec  15975  efcllem  16156  efaddlem  16172  tanaddlem  16247  isprm5  16791  pcpremul  16928  pcqmul  16938  mul4sqlem  17038  dvcnsqrt  26946  mcubic  27049  cubic2  27050  quart1lem  27057  log2tlbnd  27147  basellem5  27286  basellem8  27289  dchrinvcl  27454  dchrmusum2  27695  ttgcontlem1  29271  quad3d  33131  qqhrhm  34410  faclim2  36261  lcmineqlem11  42847  lcmineqlem18  42854  3lexlogpow2ineq2  42867  dvrelogpow2b  42876  aks4d1p1p7  42882  2np3bcnp1  42952  sqrtcval  44408  radcnvrat  45065  bccp1k  45092  dvnprodlem2  46702  wallispilem4  46823  wallispi2lem1  46826  wallispi2lem2  46827  stirlinglem1  46829  stirlinglem3  46831  stirlinglem4  46832  stirlinglem6  46834  stirlinglem10  46838