MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divmuldivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divmuldivd 11451
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divmuldivd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
divmuldivd.5 (𝜑𝐵 ≠ 0)
divmuldivd.6 (𝜑𝐷 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divmuldivd (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem divmuldivd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3 divcld.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 divmuldivd.5 . . 3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
53, 4jca 512 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6 divmuldivd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
7 divmuldivd.6 . . 3 (𝜑𝐷 ≠ 0)
86, 7jca 512 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
9 divmuldiv 11334 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))
101, 2, 5, 8, 9syl22anc 836 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531   · cmul 10536   / cdiv 11291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292
This theorem is referenced by:  prodfrec  15246  efcllem  15426  efaddlem  15441  tanaddlem  15514  isprm5  16046  pcpremul  16175  pcqmul  16185  mul4sqlem  16284  dvcnsqrt  25257  mcubic  25357  cubic2  25358  quart1lem  25365  log2tlbnd  25456  basellem5  25595  basellem8  25598  dchrinvcl  25762  dchrmusum2  26003  ttgcontlem1  26604  qqhrhm  31135  faclim2  32883  radcnvrat  40530  bccp1k  40557  dvnprodlem2  42116  wallispilem4  42238  wallispi2lem1  42241  wallispi2lem2  42242  stirlinglem1  42244  stirlinglem3  42246  stirlinglem4  42247  stirlinglem6  42249  stirlinglem10  42253
  Copyright terms: Public domain W3C validator