![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divmuldivd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
div1d.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
divcld.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
divmuld.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
divmuldivd.4 | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
divmuldivd.5 | โข (๐ โ ๐ต โ 0) |
divmuldivd.6 | โข (๐ โ ๐ท โ 0) |
Ref | Expression |
---|---|
divmuldivd | โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | div1d.1 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | divmuld.3 | . 2 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
3 | divcld.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
4 | divmuldivd.5 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ 0) | |
5 | 3, 4 | jca 511 | . 2 โข (๐ โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) |
6 | divmuldivd.4 | . . 3 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
7 | divmuldivd.6 | . . 3 โข (๐ โ ๐ท โ 0) | |
8 | 6, 7 | jca 511 | . 2 โข (๐ โ (๐ท โ โ โง ๐ท โ 0)) |
9 | divmuldiv 11915 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ) โง ((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ท โ โ โง ๐ท โ 0))) โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท))) | |
10 | 1, 2, 5, 8, 9 | syl22anc 836 | 1 โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 (class class class)co 7404 โcc 11107 0cc0 11109 ยท cmul 11114 / cdiv 11872 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 |
This theorem is referenced by: prodfrec 15844 efcllem 16024 efaddlem 16040 tanaddlem 16113 isprm5 16648 pcpremul 16782 pcqmul 16792 mul4sqlem 16892 dvcnsqrt 26628 mcubic 26729 cubic2 26730 quart1lem 26737 log2tlbnd 26827 basellem5 26967 basellem8 26970 dchrinvcl 27136 dchrmusum2 27377 ttgcontlem1 28645 qqhrhm 33498 faclim2 35250 lcmineqlem11 41419 lcmineqlem18 41426 3lexlogpow2ineq2 41439 dvrelogpow2b 41448 aks4d1p1p7 41454 2np3bcnp1 41503 sqrtcval 42950 radcnvrat 43631 bccp1k 43658 dvnprodlem2 45217 wallispilem4 45338 wallispi2lem1 45341 wallispi2lem2 45342 stirlinglem1 45344 stirlinglem3 45346 stirlinglem4 45347 stirlinglem6 45349 stirlinglem10 45353 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |