MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divmuldivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divmuldivd 11980
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
divcld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
divmuld.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
divmuldivd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
divmuldivd.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
divmuldivd.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
divmuldivd (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท)))

Proof of Theorem divmuldivd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 divmuld.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 divcld.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 divmuldivd.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
53, 4jca 513 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
6 divmuldivd.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
7 divmuldivd.6 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)
86, 7jca 513 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))
9 divmuldiv 11863 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท)))
101, 2, 5, 8, 9syl22anc 838 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059   ยท cmul 11064   / cdiv 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  prodfrec  15788  efcllem  15968  efaddlem  15983  tanaddlem  16056  isprm5  16591  pcpremul  16723  pcqmul  16733  mul4sqlem  16833  dvcnsqrt  26120  mcubic  26220  cubic2  26221  quart1lem  26228  log2tlbnd  26318  basellem5  26457  basellem8  26460  dchrinvcl  26624  dchrmusum2  26865  ttgcontlem1  27882  qqhrhm  32634  faclim2  34384  lcmineqlem11  40546  lcmineqlem18  40553  3lexlogpow2ineq2  40566  dvrelogpow2b  40575  aks4d1p1p7  40581  2np3bcnp1  40602  sqrtcval  42005  radcnvrat  42686  bccp1k  42713  dvnprodlem2  44278  wallispilem4  44399  wallispi2lem1  44402  wallispi2lem2  44403  stirlinglem1  44405  stirlinglem3  44407  stirlinglem4  44408  stirlinglem6  44410  stirlinglem10  44414
  Copyright terms: Public domain W3C validator