Theorem sqdiv 13946

Description: Distribution of square over division. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))

Proof of Theorem sqdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		3simpc 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3		divmuldiv 11780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) / (𝐵 · 𝐵)))
4	1, 1, 2, 2, 3	syl22anc 837	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) / (𝐵 · 𝐵)))
5		divcl 11744	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
6		sqval 13940	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐵)))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐵)))
8		sqval 13940	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
9		sqval 13940	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
10	8, 9	oveqan12d 7360	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = ((𝐴 · 𝐴) / (𝐵 · 𝐵)))
11	10	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = ((𝐴 · 𝐴) / (𝐵 · 𝐵)))
12	4, 7, 11	3eqtr4d 2787	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  (class class class)co 7341  ℂcc 10974  0cc0 10976   · cmul 10981   / cdiv 11737  2c2 12133  ↑cexp 13887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-seq 13827  df-exp 13888

This theorem is referenced by:  sqdivd  13982  discr  14060  pythagtriplem12  16624  pythagtriplem14  16626  pellexlem1  40964  hoiqssbllem2  44550