MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dquartlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dquartlem1 26799
Description: Lemma for dquart 26801. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
dquart.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
dquart.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
dquart.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
dquart.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
dquart.m0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
dquart.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
dquart.i2 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
Assertion
Ref Expression
dquartlem1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0 โ†” (๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))))

Proof of Theorem dquartlem1
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
21sqcld 14138 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3 dquart.m . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
4 2cn 12315 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
5 dquart.s . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
6 mulcl 11220 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
74, 5, 6sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
87sqcld 14138 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
93, 8eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
10 dquart.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
119, 10addcld 11261 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1211halfcld 12485 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
132, 12addcld 11261 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆˆ โ„‚)
149halfcld 12485 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚)
1514, 1mulcld 11262 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
16 dquart.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
17 4cn 12325 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„‚
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
19 4ne0 12348 . . . . . . . . 9 4 โ‰  0
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
2116, 18, 20divcld 12018 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / 4) โˆˆ โ„‚)
2215, 21subcld 11599 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) โˆˆ โ„‚)
23 dquart.m0 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
243, 23eqnetrrd 2999 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โ‰  0)
25 sqne0 14117 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โ‰  0 โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
267, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โ‰  0 โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
2724, 26mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โ‰  0)
28 mulne0b 11883 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 โ‰  0 โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
294, 5, 28sylancr 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 โ‰  0 โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
3027, 29mpbird 256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 โ‰  0 โˆง ๐‘† โ‰  0))
3130simprd 494 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰  0)
3222, 5, 31divcld 12018 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
3313, 32addcld 11261 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
344a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
35 2ne0 12344 . . . . 5 2 โ‰  0
3635a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
3733, 34, 36diveq0ad 12028 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = 0 โ†” (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0))
382, 12, 32addassd 11264 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = ((๐‘‹โ†‘2) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))))
3938oveq1d 7430 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = (((๐‘‹โ†‘2) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))) / 2))
4012, 32addcld 11261 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
412, 40, 34, 36divdird 12056 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))) / 2) = (((๐‘‹โ†‘2) / 2) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2)))
422, 34, 36divrec2d 12022 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) / 2) = ((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)))
4315, 21, 5, 31divsubdird 12057 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†) = ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) / ๐‘†) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
4414, 1, 5, 31div23d 12055 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) / ๐‘†) = (((๐‘€ / 2) / ๐‘†) ยท ๐‘‹))
455sqvald 14137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ†‘2) = (๐‘† ยท ๐‘†))
4645oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘†โ†‘2)) = (2 ยท (๐‘† ยท ๐‘†)))
47 sqmul 14113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (๐‘†โ†‘2)))
484, 5, 47sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (๐‘†โ†‘2)))
494sqvali 14173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2โ†‘2) = (2 ยท 2)
5049oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2โ†‘2) ยท (๐‘†โ†‘2)) = ((2 ยท 2) ยท (๐‘†โ†‘2))
5148, 50eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) = ((2 ยท 2) ยท (๐‘†โ†‘2)))
525sqcld 14138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5334, 34, 52mulassd 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท 2) ยท (๐‘†โ†‘2)) = (2 ยท (2 ยท (๐‘†โ†‘2))))
543, 51, 533eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = (2 ยท (2 ยท (๐‘†โ†‘2))))
5554oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = ((2 ยท (2 ยท (๐‘†โ†‘2))) / 2))
56 mulcl 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘†โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
574, 52, 56sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘†โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5857, 34, 36divcan3d 12023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (2 ยท (๐‘†โ†‘2))) / 2) = (2 ยท (๐‘†โ†‘2)))
5955, 58eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = (2 ยท (๐‘†โ†‘2)))
6034, 5, 5mulassd 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘†) = (2 ยท (๐‘† ยท ๐‘†)))
6146, 59, 603eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘†))
6261oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2) / ๐‘†) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘†) / ๐‘†))
637, 5, 31divcan4d 12024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘†) / ๐‘†) = (2 ยท ๐‘†))
6462, 63eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2) / ๐‘†) = (2 ยท ๐‘†))
6564oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ / 2) / ๐‘†) ยท ๐‘‹) = ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹))
6644, 65eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) / ๐‘†) = ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹))
6766oveq1d 7430 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) / ๐‘†) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
6843, 67eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
6968oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
707, 1mulcld 11262 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
7121, 5, 31divcld 12018 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
7212, 70, 71addsub12d 11622 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
7369, 72eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
7473oveq1d 7430 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = ((((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))) / 2))
7512, 71subcld 11599 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
7670, 75, 34, 36divdird 12056 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))) / 2) = ((((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) / 2) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) / 2)))
7734, 5, 1mulassd 11265 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) = (2 ยท (๐‘† ยท ๐‘‹)))
7877oveq1d 7430 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) / 2) = ((2 ยท (๐‘† ยท ๐‘‹)) / 2))
795, 1mulcld 11262 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
8079, 34, 36divcan3d 12023 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘† ยท ๐‘‹)) / 2) = (๐‘† ยท ๐‘‹))
8178, 80eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) / 2) = (๐‘† ยท ๐‘‹))
8252negcld 11586 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8310halfcld 12485 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„‚)
8482, 83subcld 11599 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) โˆˆ โ„‚)
8552, 84, 71subsub4d 11630 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
869, 10, 34, 36divdird 12056 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) / 2) = ((๐‘€ / 2) + (๐ต / 2)))
87522timesd 12483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘†โ†‘2)) = ((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)))
8859, 87eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = ((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)))
8988oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2) + (๐ต / 2)) = (((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)) + (๐ต / 2)))
9086, 89eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) / 2) = (((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)) + (๐ต / 2)))
9152, 52, 83addassd 11264 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)) + (๐ต / 2)) = ((๐‘†โ†‘2) + ((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))))
9252, 83addcld 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2)) โˆˆ โ„‚)
9352, 92subnegd 11606 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ -((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))) = ((๐‘†โ†‘2) + ((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))))
9452, 83negdi2d 11613 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2)) = (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)))
9594oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ -((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))))
9693, 95eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) + ((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))))
9790, 91, 963eqtrd 2769 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) / 2) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))))
9897oveq1d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
99 dquart.i2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
10099oveq2d 7431 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
10185, 98, 1003eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)))
102101oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) / 2) = (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))
10381, 102oveq12d 7433 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) / 2) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) / 2)) = ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)))
10474, 76, 1033eqtrd 2769 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)))
10542, 104oveq12d 7433 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) / 2) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2)) = (((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))))
10639, 41, 1053eqtrd 2769 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = (((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))))
107106eqeq1d 2727 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = 0 โ†” (((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = 0))
10837, 107bitr3d 280 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0 โ†” (((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = 0))
109 ax-1cn 11194 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
110 halfcl 12465 . . . 4 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
111109, 110mp1i 13 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
112 ax-1ne0 11205 . . . . 5 1 โ‰  0
113109, 4, 112, 35divne0i 11990 . . . 4 (1 / 2) โ‰  0
114113a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โ‰  0)
115 dquart.i . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
116115sqcld 14138 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
11752, 116subcld 11599 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
118117halfcld 12485 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2) โˆˆ โ„‚)
119109a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
120 2cnne0 12450 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
122 divmuldiv 11942 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โˆง ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))) โ†’ ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)) = ((1 ยท ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) / (2 ยท 2)))
123119, 117, 121, 121, 122syl22anc 837 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)) = ((1 ยท ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) / (2 ยท 2)))
124117mullidd 11260 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)))
125 2t2e4 12404 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 2) = 4
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท 2) = 4)
127124, 126oveq12d 7433 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) / (2 ยท 2)) = (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 4))
128123, 127eqtrd 2765 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)) = (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 4))
129128oveq2d 7431 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = (4 ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 4)))
130117, 18, 20divcan2d 12020 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 4)) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)))
131129, 130eqtrd 2765 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)))
132131oveq2d 7431 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (4 ยท ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))))
13352, 116nncand 11604 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) = (๐ผโ†‘2))
134132, 133eqtr2d 2766 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (4 ยท ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)))))
135111, 114, 5, 118, 1, 115, 134quad2 26787 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = 0 โ†” (๐‘‹ = ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) โˆจ ๐‘‹ = ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))))))
1364, 35recidi 11973 . . . . . 6 (2 ยท (1 / 2)) = 1
137136oveq2i 7426 . . . . 5 ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) = ((-๐‘† + ๐ผ) / 1)
1385negcld 11586 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -๐‘† โˆˆ โ„‚)
139138, 115addcld 11261 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘† + ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
140139div1d 12010 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘† + ๐ผ) / 1) = (-๐‘† + ๐ผ))
141137, 140eqtrid 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) = (-๐‘† + ๐ผ))
142141eqeq2d 2736 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) โ†” ๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ)))
143136oveq2i 7426 . . . . 5 ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) = ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / 1)
144138, 115subcld 11599 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘† โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
145144div1d 12010 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / 1) = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))
146143, 145eqtrid 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))
147146eqeq2d 2736 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) โ†” ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ)))
148142, 147orbi12d 916 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) โˆจ ๐‘‹ = ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2)))) โ†” (๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))))
149108, 135, 1483bitrd 304 1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0 โ†” (๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   โˆ’ cmin 11472  -cneg 11473   / cdiv 11899  2c2 12295  4c4 12297  โ†‘cexp 14056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-seq 13997  df-exp 14057
This theorem is referenced by:  dquart  26801
  Copyright terms: Public domain W3C validator