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Theorem dquartlem1 26894
Description: Lemma for dquart 26896. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
dquart.i (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
Assertion
Ref Expression
dquartlem1 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼))))

Proof of Theorem dquartlem1
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
21sqcld 14184 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
3 dquart.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
4 2cn 12341 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
5 dquart.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
6 mulcl 11239 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
87sqcld 14184 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
93, 8eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
10 dquart.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
119, 10addcld 11280 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
1211halfcld 12511 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
132, 12addcld 11280 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
149halfcld 12511 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
1514, 1mulcld 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
16 dquart.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
17 4cn 12351 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
19 4ne0 12374 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ≠ 0)
2116, 18, 20divcld 12043 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 4) ∈ ℂ)
2215, 21subcld 11620 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) ∈ ℂ)
23 dquart.m0 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≠ 0)
243, 23eqnetrrd 3009 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0)
25 sqne0 14163 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑆) ∈ ℂ → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
267, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
2724, 26mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝑆) ≠ 0)
28 mulne0b 11904 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
294, 5, 28sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
3027, 29mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
3130simprd 495 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ≠ 0)
3222, 5, 31divcld 12043 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) ∈ ℂ)
3313, 32addcld 11280 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
344a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
35 2ne0 12370 . . . . 5 2 ≠ 0
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
3733, 34, 36diveq0ad 12053 . . 3 (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = 0 ↔ (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0))
382, 12, 32addassd 11283 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = ((𝑋↑2) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))))
3938oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = (((𝑋↑2) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) / 2))
4012, 32addcld 11280 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
412, 40, 34, 36divdird 12081 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) / 2) = (((𝑋↑2) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2)))
422, 34, 36divrec2d 12047 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋↑2) / 2) = ((1 / 2) · (𝑋↑2)))
4315, 21, 5, 31divsubdird 12082 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = ((((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
4414, 1, 5, 31div23d 12080 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) = (((𝑀 / 2) / 𝑆) · 𝑋))
455sqvald 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑆↑2) = (𝑆 · 𝑆))
4645oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑆↑2)) = (2 · (𝑆 · 𝑆)))
47 sqmul 14159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑆)↑2) = ((2↑2) · (𝑆↑2)))
484, 5, 47sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) = ((2↑2) · (𝑆↑2)))
494sqvali 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑2) = (2 · 2)
5049oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2↑2) · (𝑆↑2)) = ((2 · 2) · (𝑆↑2))
5148, 50eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) = ((2 · 2) · (𝑆↑2)))
525sqcld 14184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
5334, 34, 52mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑆↑2)) = (2 · (2 · (𝑆↑2))))
543, 51, 533eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 = (2 · (2 · (𝑆↑2))))
5554oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((2 · (2 · (𝑆↑2))) / 2))
56 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℂ) → (2 · (𝑆↑2)) ∈ ℂ)
574, 52, 56sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (2 · (𝑆↑2)) ∈ ℂ)
5857, 34, 36divcan3d 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · (2 · (𝑆↑2))) / 2) = (2 · (𝑆↑2)))
5955, 58eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 / 2) = (2 · (𝑆↑2)))
6034, 5, 5mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · 𝑆) = (2 · (𝑆 · 𝑆)))
6146, 59, 603eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((2 · 𝑆) · 𝑆))
6261oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 / 2) / 𝑆) = (((2 · 𝑆) · 𝑆) / 𝑆))
637, 5, 31divcan4d 12049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑆) · 𝑆) / 𝑆) = (2 · 𝑆))
6462, 63eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀 / 2) / 𝑆) = (2 · 𝑆))
6564oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀 / 2) / 𝑆) · 𝑋) = ((2 · 𝑆) · 𝑋))
6644, 65eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) = ((2 · 𝑆) · 𝑋))
6766oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
6843, 67eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
6968oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((𝑀 + 𝐵) / 2) + (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
707, 1mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · 𝑋) ∈ ℂ)
7121, 5, 31divcld 12043 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 / 4) / 𝑆) ∈ ℂ)
7212, 70, 71addsub12d 11643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
7369, 72eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
7473oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = ((((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))) / 2))
7512, 71subcld 11620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) ∈ ℂ)
7670, 75, 34, 36divdird 12081 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))) / 2) = ((((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) / 2)))
7734, 5, 1mulassd 11284 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · 𝑋) = (2 · (𝑆 · 𝑋)))
7877oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) = ((2 · (𝑆 · 𝑋)) / 2))
795, 1mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 · 𝑋) ∈ ℂ)
8079, 34, 36divcan3d 12048 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (𝑆 · 𝑋)) / 2) = (𝑆 · 𝑋))
8178, 80eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) = (𝑆 · 𝑋))
8252negcld 11607 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -(𝑆↑2) ∈ ℂ)
8310halfcld 12511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℂ)
8482, 83subcld 11620 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
8552, 84, 71subsub4d 11651 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((𝑆↑2) − ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
869, 10, 34, 36divdird 12081 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) = ((𝑀 / 2) + (𝐵 / 2)))
87522timesd 12509 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆↑2)) = ((𝑆↑2) + (𝑆↑2)))
8859, 87eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((𝑆↑2) + (𝑆↑2)))
8988oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 / 2) + (𝐵 / 2)) = (((𝑆↑2) + (𝑆↑2)) + (𝐵 / 2)))
9086, 89eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) = (((𝑆↑2) + (𝑆↑2)) + (𝐵 / 2)))
9152, 52, 83addassd 11283 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆↑2) + (𝑆↑2)) + (𝐵 / 2)) = ((𝑆↑2) + ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))))
9252, 83addcld 11280 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
9352, 92subnegd 11627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆↑2) − -((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))) = ((𝑆↑2) + ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))))
9452, 83negdi2d 11634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -((𝑆↑2) + (𝐵 / 2)) = (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)))
9594oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆↑2) − -((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))) = ((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))))
9693, 95eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆↑2) + ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))) = ((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))))
9790, 91, 963eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) = ((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))))
9897oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = (((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
99 dquart.i2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
10099oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) = ((𝑆↑2) − ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
10185, 98, 1003eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
102101oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) / 2) = (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))
10381, 102oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) / 2)) = ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))
10474, 76, 1033eqtrd 2781 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))
10542, 104oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋↑2) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2)) = (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))))
10639, 41, 1053eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))))
107106eqeq1d 2739 . . 3 (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = 0 ↔ (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = 0))
10837, 107bitr3d 281 . 2 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = 0))
109 ax-1cn 11213 . . . 4 1 ∈ ℂ
110 halfcl 12491 . . . 4 (1 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
111109, 110mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
112 ax-1ne0 11224 . . . . 5 1 ≠ 0
113109, 4, 112, 35divne0i 12015 . . . 4 (1 / 2) ≠ 0
114113a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1 / 2) ≠ 0)
115 dquart.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
116115sqcld 14184 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼↑2) ∈ ℂ)
11752, 116subcld 11620 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) ∈ ℂ)
118117halfcld 12511 . . 3 (𝜑 → (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2) ∈ ℂ)
119109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
120 2cnne0 12476 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
122 divmuldiv 11967 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℂ ∧ ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) → ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)) = ((1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) / (2 · 2)))
123119, 117, 121, 121, 122syl22anc 839 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)) = ((1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) / (2 · 2)))
124117mullidd 11279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
125 2t2e4 12430 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 2) = 4)
127124, 126oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) / (2 · 2)) = (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4))
128123, 127eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)) = (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4))
129128oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = (4 · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4)))
130117, 18, 20divcan2d 12045 . . . . . 6 (𝜑 → (4 · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4)) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
131129, 130eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
132131oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆↑2) − (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))) = ((𝑆↑2) − ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))))
13352, 116nncand 11625 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆↑2) − ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) = (𝐼↑2))
134132, 133eqtr2d 2778 . . 3 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((𝑆↑2) − (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))))
135111, 114, 5, 118, 1, 115, 134quad2 26882 . 2 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) ∨ 𝑋 = ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2))))))
1364, 35recidi 11998 . . . . . 6 (2 · (1 / 2)) = 1
137136oveq2i 7442 . . . . 5 ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) = ((-𝑆 + 𝐼) / 1)
1385negcld 11607 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
139138, 115addcld 11280 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝑆 + 𝐼) ∈ ℂ)
140139div1d 12035 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝑆 + 𝐼) / 1) = (-𝑆 + 𝐼))
141137, 140eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑 → ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) = (-𝑆 + 𝐼))
142141eqeq2d 2748 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) ↔ 𝑋 = (-𝑆 + 𝐼)))
143136oveq2i 7442 . . . . 5 ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2))) = ((-𝑆𝐼) / 1)
144138, 115subcld 11620 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝑆𝐼) ∈ ℂ)
145144div1d 12035 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝑆𝐼) / 1) = (-𝑆𝐼))
146143, 145eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑 → ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2))) = (-𝑆𝐼))
147146eqeq2d 2748 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2))) ↔ 𝑋 = (-𝑆𝐼)))
148142, 147orbi12d 919 . 2 (𝜑 → ((𝑋 = ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) ∨ 𝑋 = ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2)))) ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼))))
149108, 135, 1483bitrd 305 1 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  4c4 12323  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103
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