MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dquartlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dquartlem1 26217
Description: Lemma for dquart 26219. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
dquart.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
dquart.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
dquart.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
dquart.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
dquart.m0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
dquart.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
dquart.i2 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
Assertion
Ref Expression
dquartlem1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0 โ†” (๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))))

Proof of Theorem dquartlem1
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
21sqcld 14056 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3 dquart.m . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
4 2cn 12235 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
5 dquart.s . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
6 mulcl 11142 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
74, 5, 6sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
87sqcld 14056 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
93, 8eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
10 dquart.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
119, 10addcld 11181 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1211halfcld 12405 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
132, 12addcld 11181 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆˆ โ„‚)
149halfcld 12405 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚)
1514, 1mulcld 11182 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
16 dquart.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
17 4cn 12245 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„‚
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
19 4ne0 12268 . . . . . . . . 9 4 โ‰  0
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
2116, 18, 20divcld 11938 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / 4) โˆˆ โ„‚)
2215, 21subcld 11519 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) โˆˆ โ„‚)
23 dquart.m0 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
243, 23eqnetrrd 3013 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โ‰  0)
25 sqne0 14035 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โ‰  0 โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
267, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โ‰  0 โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
2724, 26mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โ‰  0)
28 mulne0b 11803 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 โ‰  0 โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
294, 5, 28sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 โ‰  0 โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
3027, 29mpbird 257 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 โ‰  0 โˆง ๐‘† โ‰  0))
3130simprd 497 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰  0)
3222, 5, 31divcld 11938 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
3313, 32addcld 11181 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
344a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
35 2ne0 12264 . . . . 5 2 โ‰  0
3635a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
3733, 34, 36diveq0ad 11948 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = 0 โ†” (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0))
382, 12, 32addassd 11184 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = ((๐‘‹โ†‘2) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))))
3938oveq1d 7377 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = (((๐‘‹โ†‘2) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))) / 2))
4012, 32addcld 11181 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
412, 40, 34, 36divdird 11976 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))) / 2) = (((๐‘‹โ†‘2) / 2) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2)))
422, 34, 36divrec2d 11942 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) / 2) = ((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)))
4315, 21, 5, 31divsubdird 11977 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†) = ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) / ๐‘†) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
4414, 1, 5, 31div23d 11975 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) / ๐‘†) = (((๐‘€ / 2) / ๐‘†) ยท ๐‘‹))
455sqvald 14055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ†‘2) = (๐‘† ยท ๐‘†))
4645oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘†โ†‘2)) = (2 ยท (๐‘† ยท ๐‘†)))
47 sqmul 14031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (๐‘†โ†‘2)))
484, 5, 47sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (๐‘†โ†‘2)))
494sqvali 14091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2โ†‘2) = (2 ยท 2)
5049oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2โ†‘2) ยท (๐‘†โ†‘2)) = ((2 ยท 2) ยท (๐‘†โ†‘2))
5148, 50eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) = ((2 ยท 2) ยท (๐‘†โ†‘2)))
525sqcld 14056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5334, 34, 52mulassd 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท 2) ยท (๐‘†โ†‘2)) = (2 ยท (2 ยท (๐‘†โ†‘2))))
543, 51, 533eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = (2 ยท (2 ยท (๐‘†โ†‘2))))
5554oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = ((2 ยท (2 ยท (๐‘†โ†‘2))) / 2))
56 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘†โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
574, 52, 56sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘†โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5857, 34, 36divcan3d 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (2 ยท (๐‘†โ†‘2))) / 2) = (2 ยท (๐‘†โ†‘2)))
5955, 58eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = (2 ยท (๐‘†โ†‘2)))
6034, 5, 5mulassd 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘†) = (2 ยท (๐‘† ยท ๐‘†)))
6146, 59, 603eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘†))
6261oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2) / ๐‘†) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘†) / ๐‘†))
637, 5, 31divcan4d 11944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘†) / ๐‘†) = (2 ยท ๐‘†))
6462, 63eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2) / ๐‘†) = (2 ยท ๐‘†))
6564oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ / 2) / ๐‘†) ยท ๐‘‹) = ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹))
6644, 65eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) / ๐‘†) = ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹))
6766oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) / ๐‘†) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
6843, 67eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
6968oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
707, 1mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
7121, 5, 31divcld 11938 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
7212, 70, 71addsub12d 11542 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
7369, 72eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
7473oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = ((((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))) / 2))
7512, 71subcld 11519 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
7670, 75, 34, 36divdird 11976 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))) / 2) = ((((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) / 2) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) / 2)))
7734, 5, 1mulassd 11185 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) = (2 ยท (๐‘† ยท ๐‘‹)))
7877oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) / 2) = ((2 ยท (๐‘† ยท ๐‘‹)) / 2))
795, 1mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
8079, 34, 36divcan3d 11943 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘† ยท ๐‘‹)) / 2) = (๐‘† ยท ๐‘‹))
8178, 80eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) / 2) = (๐‘† ยท ๐‘‹))
8252negcld 11506 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8310halfcld 12405 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„‚)
8482, 83subcld 11519 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) โˆˆ โ„‚)
8552, 84, 71subsub4d 11550 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
869, 10, 34, 36divdird 11976 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) / 2) = ((๐‘€ / 2) + (๐ต / 2)))
87522timesd 12403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘†โ†‘2)) = ((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)))
8859, 87eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = ((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)))
8988oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2) + (๐ต / 2)) = (((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)) + (๐ต / 2)))
9086, 89eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) / 2) = (((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)) + (๐ต / 2)))
9152, 52, 83addassd 11184 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)) + (๐ต / 2)) = ((๐‘†โ†‘2) + ((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))))
9252, 83addcld 11181 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2)) โˆˆ โ„‚)
9352, 92subnegd 11526 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ -((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))) = ((๐‘†โ†‘2) + ((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))))
9452, 83negdi2d 11533 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2)) = (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)))
9594oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ -((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))))
9693, 95eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) + ((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))))
9790, 91, 963eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) / 2) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))))
9897oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
99 dquart.i2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
10099oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
10185, 98, 1003eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)))
102101oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) / 2) = (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))
10381, 102oveq12d 7380 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) / 2) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) / 2)) = ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)))
10474, 76, 1033eqtrd 2781 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)))
10542, 104oveq12d 7380 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) / 2) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2)) = (((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))))
10639, 41, 1053eqtrd 2781 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = (((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))))
107106eqeq1d 2739 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = 0 โ†” (((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = 0))
10837, 107bitr3d 281 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0 โ†” (((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = 0))
109 ax-1cn 11116 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
110 halfcl 12385 . . . 4 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
111109, 110mp1i 13 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
112 ax-1ne0 11127 . . . . 5 1 โ‰  0
113109, 4, 112, 35divne0i 11910 . . . 4 (1 / 2) โ‰  0
114113a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โ‰  0)
115 dquart.i . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
116115sqcld 14056 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
11752, 116subcld 11519 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
118117halfcld 12405 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2) โˆˆ โ„‚)
119109a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
120 2cnne0 12370 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
122 divmuldiv 11862 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โˆง ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))) โ†’ ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)) = ((1 ยท ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) / (2 ยท 2)))
123119, 117, 121, 121, 122syl22anc 838 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)) = ((1 ยท ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) / (2 ยท 2)))
124117mulid2d 11180 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)))
125 2t2e4 12324 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 2) = 4
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท 2) = 4)
127124, 126oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) / (2 ยท 2)) = (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 4))
128123, 127eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)) = (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 4))
129128oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = (4 ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 4)))
130117, 18, 20divcan2d 11940 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 4)) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)))
131129, 130eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)))
132131oveq2d 7378 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (4 ยท ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))))
13352, 116nncand 11524 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) = (๐ผโ†‘2))
134132, 133eqtr2d 2778 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (4 ยท ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)))))
135111, 114, 5, 118, 1, 115, 134quad2 26205 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = 0 โ†” (๐‘‹ = ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) โˆจ ๐‘‹ = ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))))))
1364, 35recidi 11893 . . . . . 6 (2 ยท (1 / 2)) = 1
137136oveq2i 7373 . . . . 5 ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) = ((-๐‘† + ๐ผ) / 1)
1385negcld 11506 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -๐‘† โˆˆ โ„‚)
139138, 115addcld 11181 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘† + ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
140139div1d 11930 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘† + ๐ผ) / 1) = (-๐‘† + ๐ผ))
141137, 140eqtrid 2789 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) = (-๐‘† + ๐ผ))
142141eqeq2d 2748 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) โ†” ๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ)))
143136oveq2i 7373 . . . . 5 ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) = ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / 1)
144138, 115subcld 11519 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘† โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
145144div1d 11930 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / 1) = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))
146143, 145eqtrid 2789 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))
147146eqeq2d 2748 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) โ†” ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ)))
148142, 147orbi12d 918 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) โˆจ ๐‘‹ = ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2)))) โ†” (๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))))
149108, 135, 1483bitrd 305 1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0 โ†” (๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  4c4 12217  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  dquart  26219
  Copyright terms: Public domain W3C validator