MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dquartlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dquartlem1 26738
Description: Lemma for dquart 26740. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
dquart.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
dquart.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
dquart.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
dquart.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
dquart.m0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
dquart.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
dquart.i2 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
Assertion
Ref Expression
dquartlem1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0 โ†” (๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))))

Proof of Theorem dquartlem1
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
21sqcld 14114 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3 dquart.m . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2))
4 2cn 12291 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
5 dquart.s . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
6 mulcl 11196 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
74, 5, 6sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
87sqcld 14114 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
93, 8eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
10 dquart.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
119, 10addcld 11237 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1211halfcld 12461 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
132, 12addcld 11237 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) โˆˆ โ„‚)
149halfcld 12461 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚)
1514, 1mulcld 11238 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
16 dquart.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
17 4cn 12301 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„‚
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
19 4ne0 12324 . . . . . . . . 9 4 โ‰  0
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
2116, 18, 20divcld 11994 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / 4) โˆˆ โ„‚)
2215, 21subcld 11575 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) โˆˆ โ„‚)
23 dquart.m0 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
243, 23eqnetrrd 3003 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โ‰  0)
25 sqne0 14093 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โ‰  0 โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
267, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) โ‰  0 โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
2724, 26mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โ‰  0)
28 mulne0b 11859 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 โ‰  0 โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
294, 5, 28sylancr 586 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 โ‰  0 โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†” (2 ยท ๐‘†) โ‰  0))
3027, 29mpbird 257 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 โ‰  0 โˆง ๐‘† โ‰  0))
3130simprd 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰  0)
3222, 5, 31divcld 11994 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
3313, 32addcld 11237 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
344a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
35 2ne0 12320 . . . . 5 2 โ‰  0
3635a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
3733, 34, 36diveq0ad 12004 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = 0 โ†” (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0))
382, 12, 32addassd 11240 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = ((๐‘‹โ†‘2) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))))
3938oveq1d 7420 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = (((๐‘‹โ†‘2) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))) / 2))
4012, 32addcld 11237 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
412, 40, 34, 36divdird 12032 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†))) / 2) = (((๐‘‹โ†‘2) / 2) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2)))
422, 34, 36divrec2d 11998 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) / 2) = ((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)))
4315, 21, 5, 31divsubdird 12033 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†) = ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) / ๐‘†) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
4414, 1, 5, 31div23d 12031 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) / ๐‘†) = (((๐‘€ / 2) / ๐‘†) ยท ๐‘‹))
455sqvald 14113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ†‘2) = (๐‘† ยท ๐‘†))
4645oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘†โ†‘2)) = (2 ยท (๐‘† ยท ๐‘†)))
47 sqmul 14089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (๐‘†โ†‘2)))
484, 5, 47sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (๐‘†โ†‘2)))
494sqvali 14149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2โ†‘2) = (2 ยท 2)
5049oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2โ†‘2) ยท (๐‘†โ†‘2)) = ((2 ยท 2) ยท (๐‘†โ†‘2))
5148, 50eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†)โ†‘2) = ((2 ยท 2) ยท (๐‘†โ†‘2)))
525sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5334, 34, 52mulassd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท 2) ยท (๐‘†โ†‘2)) = (2 ยท (2 ยท (๐‘†โ†‘2))))
543, 51, 533eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = (2 ยท (2 ยท (๐‘†โ†‘2))))
5554oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = ((2 ยท (2 ยท (๐‘†โ†‘2))) / 2))
56 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘†โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
574, 52, 56sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘†โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5857, 34, 36divcan3d 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (2 ยท (๐‘†โ†‘2))) / 2) = (2 ยท (๐‘†โ†‘2)))
5955, 58eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = (2 ยท (๐‘†โ†‘2)))
6034, 5, 5mulassd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘†) = (2 ยท (๐‘† ยท ๐‘†)))
6146, 59, 603eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘†))
6261oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2) / ๐‘†) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘†) / ๐‘†))
637, 5, 31divcan4d 12000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘†) / ๐‘†) = (2 ยท ๐‘†))
6462, 63eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2) / ๐‘†) = (2 ยท ๐‘†))
6564oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ / 2) / ๐‘†) ยท ๐‘‹) = ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹))
6644, 65eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) / ๐‘†) = ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹))
6766oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) / ๐‘†) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
6843, 67eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
6968oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
707, 1mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
7121, 5, 31divcld 11994 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
7212, 70, 71addsub12d 11598 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
7369, 72eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
7473oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = ((((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))) / 2))
7512, 71subcld 11575 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
7670, 75, 34, 36divdird 12032 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) + (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†))) / 2) = ((((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) / 2) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) / 2)))
7734, 5, 1mulassd 11241 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) = (2 ยท (๐‘† ยท ๐‘‹)))
7877oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) / 2) = ((2 ยท (๐‘† ยท ๐‘‹)) / 2))
795, 1mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
8079, 34, 36divcan3d 11999 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘† ยท ๐‘‹)) / 2) = (๐‘† ยท ๐‘‹))
8178, 80eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) / 2) = (๐‘† ยท ๐‘‹))
8252negcld 11562 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8310halfcld 12461 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„‚)
8482, 83subcld 11575 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) โˆˆ โ„‚)
8552, 84, 71subsub4d 11606 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
869, 10, 34, 36divdird 12032 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) / 2) = ((๐‘€ / 2) + (๐ต / 2)))
87522timesd 12459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘†โ†‘2)) = ((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)))
8859, 87eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = ((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)))
8988oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ / 2) + (๐ต / 2)) = (((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)) + (๐ต / 2)))
9086, 89eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) / 2) = (((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)) + (๐ต / 2)))
9152, 52, 83addassd 11240 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘†โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)) + (๐ต / 2)) = ((๐‘†โ†‘2) + ((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))))
9252, 83addcld 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2)) โˆˆ โ„‚)
9352, 92subnegd 11582 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ -((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))) = ((๐‘†โ†‘2) + ((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))))
9452, 83negdi2d 11589 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2)) = (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)))
9594oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ -((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))))
9693, 95eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) + ((๐‘†โ†‘2) + (๐ต / 2))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))))
9790, 91, 963eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐ต) / 2) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))))
9897oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2))) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
99 dquart.i2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†)))
10099oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ ((-(๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ต / 2)) + ((๐ถ / 4) / ๐‘†))))
10185, 98, 1003eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)))
102101oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) / 2) = (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))
10381, 102oveq12d 7423 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘†) ยท ๐‘‹) / 2) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ถ / 4) / ๐‘†)) / 2)) = ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)))
10474, 76, 1033eqtrd 2770 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)))
10542, 104oveq12d 7423 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘2) / 2) + ((((๐‘€ + ๐ต) / 2) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2)) = (((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))))
10639, 41, 1053eqtrd 2770 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = (((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))))
107106eqeq1d 2728 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) / 2) = 0 โ†” (((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = 0))
10837, 107bitr3d 281 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0 โ†” (((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = 0))
109 ax-1cn 11170 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
110 halfcl 12441 . . . 4 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
111109, 110mp1i 13 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
112 ax-1ne0 11181 . . . . 5 1 โ‰  0
113109, 4, 112, 35divne0i 11966 . . . 4 (1 / 2) โ‰  0
114113a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โ‰  0)
115 dquart.i . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
116115sqcld 14114 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
11752, 116subcld 11575 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
118117halfcld 12461 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2) โˆˆ โ„‚)
119109a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
120 2cnne0 12426 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
122 divmuldiv 11918 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โˆง ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))) โ†’ ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)) = ((1 ยท ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) / (2 ยท 2)))
123119, 117, 121, 121, 122syl22anc 836 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)) = ((1 ยท ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) / (2 ยท 2)))
124117mullidd 11236 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)))
125 2t2e4 12380 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 2) = 4
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท 2) = 4)
127124, 126oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) / (2 ยท 2)) = (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 4))
128123, 127eqtrd 2766 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)) = (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 4))
129128oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = (4 ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 4)))
130117, 18, 20divcan2d 11996 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 4)) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)))
131129, 130eqtrd 2766 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)))
132131oveq2d 7421 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (4 ยท ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)))) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))))
13352, 116nncand 11580 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2))) = (๐ผโ†‘2))
134132, 133eqtr2d 2767 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผโ†‘2) = ((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (4 ยท ((1 / 2) ยท (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2)))))
135111, 114, 5, 118, 1, 115, 134quad2 26726 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐‘† ยท ๐‘‹) + (((๐‘†โ†‘2) โˆ’ (๐ผโ†‘2)) / 2))) = 0 โ†” (๐‘‹ = ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) โˆจ ๐‘‹ = ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))))))
1364, 35recidi 11949 . . . . . 6 (2 ยท (1 / 2)) = 1
137136oveq2i 7416 . . . . 5 ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) = ((-๐‘† + ๐ผ) / 1)
1385negcld 11562 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -๐‘† โˆˆ โ„‚)
139138, 115addcld 11237 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘† + ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
140139div1d 11986 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘† + ๐ผ) / 1) = (-๐‘† + ๐ผ))
141137, 140eqtrid 2778 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) = (-๐‘† + ๐ผ))
142141eqeq2d 2737 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) โ†” ๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ)))
143136oveq2i 7416 . . . . 5 ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) = ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / 1)
144138, 115subcld 11575 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘† โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
145144div1d 11986 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / 1) = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))
146143, 145eqtrid 2778 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))
147146eqeq2d 2737 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) โ†” ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ)))
148142, 147orbi12d 915 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ = ((-๐‘† + ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2))) โˆจ ๐‘‹ = ((-๐‘† โˆ’ ๐ผ) / (2 ยท (1 / 2)))) โ†” (๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))))
149108, 135, 1483bitrd 305 1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + ((๐‘€ + ๐ต) / 2)) + ((((๐‘€ / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ถ / 4)) / ๐‘†)) = 0 โ†” (๐‘‹ = (-๐‘† + ๐ผ) โˆจ ๐‘‹ = (-๐‘† โˆ’ ๐ผ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  4c4 12273  โ†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  dquart  26740
  Copyright terms: Public domain W3C validator