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Theorem dquartlem1 26828
Description: Lemma for dquart 26830. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
dquart.i (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
Assertion
Ref Expression
dquartlem1 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼))))

Proof of Theorem dquartlem1
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
21sqcld 14144 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
3 dquart.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
4 2cn 12320 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
5 dquart.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
6 mulcl 11224 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
87sqcld 14144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
93, 8eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
10 dquart.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
119, 10addcld 11265 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
1211halfcld 12490 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
132, 12addcld 11265 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
149halfcld 12490 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
1514, 1mulcld 11266 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
16 dquart.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
17 4cn 12330 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
19 4ne0 12353 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ≠ 0)
2116, 18, 20divcld 12023 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 4) ∈ ℂ)
2215, 21subcld 11603 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) ∈ ℂ)
23 dquart.m0 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≠ 0)
243, 23eqnetrrd 2998 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0)
25 sqne0 14123 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑆) ∈ ℂ → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
267, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
2724, 26mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝑆) ≠ 0)
28 mulne0b 11887 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
294, 5, 28sylancr 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
3027, 29mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
3130simprd 494 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ≠ 0)
3222, 5, 31divcld 12023 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) ∈ ℂ)
3313, 32addcld 11265 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
344a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
35 2ne0 12349 . . . . 5 2 ≠ 0
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
3733, 34, 36diveq0ad 12033 . . 3 (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = 0 ↔ (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0))
382, 12, 32addassd 11268 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = ((𝑋↑2) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))))
3938oveq1d 7434 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = (((𝑋↑2) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) / 2))
4012, 32addcld 11265 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
412, 40, 34, 36divdird 12061 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) / 2) = (((𝑋↑2) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2)))
422, 34, 36divrec2d 12027 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋↑2) / 2) = ((1 / 2) · (𝑋↑2)))
4315, 21, 5, 31divsubdird 12062 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = ((((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
4414, 1, 5, 31div23d 12060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) = (((𝑀 / 2) / 𝑆) · 𝑋))
455sqvald 14143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑆↑2) = (𝑆 · 𝑆))
4645oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑆↑2)) = (2 · (𝑆 · 𝑆)))
47 sqmul 14119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑆)↑2) = ((2↑2) · (𝑆↑2)))
484, 5, 47sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) = ((2↑2) · (𝑆↑2)))
494sqvali 14179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑2) = (2 · 2)
5049oveq1i 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2↑2) · (𝑆↑2)) = ((2 · 2) · (𝑆↑2))
5148, 50eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) = ((2 · 2) · (𝑆↑2)))
525sqcld 14144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
5334, 34, 52mulassd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑆↑2)) = (2 · (2 · (𝑆↑2))))
543, 51, 533eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 = (2 · (2 · (𝑆↑2))))
5554oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((2 · (2 · (𝑆↑2))) / 2))
56 mulcl 11224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℂ) → (2 · (𝑆↑2)) ∈ ℂ)
574, 52, 56sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (2 · (𝑆↑2)) ∈ ℂ)
5857, 34, 36divcan3d 12028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · (2 · (𝑆↑2))) / 2) = (2 · (𝑆↑2)))
5955, 58eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 / 2) = (2 · (𝑆↑2)))
6034, 5, 5mulassd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · 𝑆) = (2 · (𝑆 · 𝑆)))
6146, 59, 603eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((2 · 𝑆) · 𝑆))
6261oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 / 2) / 𝑆) = (((2 · 𝑆) · 𝑆) / 𝑆))
637, 5, 31divcan4d 12029 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑆) · 𝑆) / 𝑆) = (2 · 𝑆))
6462, 63eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀 / 2) / 𝑆) = (2 · 𝑆))
6564oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀 / 2) / 𝑆) · 𝑋) = ((2 · 𝑆) · 𝑋))
6644, 65eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) = ((2 · 𝑆) · 𝑋))
6766oveq1d 7434 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
6843, 67eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
6968oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((𝑀 + 𝐵) / 2) + (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
707, 1mulcld 11266 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · 𝑋) ∈ ℂ)
7121, 5, 31divcld 12023 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 / 4) / 𝑆) ∈ ℂ)
7212, 70, 71addsub12d 11626 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
7369, 72eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
7473oveq1d 7434 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = ((((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))) / 2))
7512, 71subcld 11603 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) ∈ ℂ)
7670, 75, 34, 36divdird 12061 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))) / 2) = ((((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) / 2)))
7734, 5, 1mulassd 11269 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · 𝑋) = (2 · (𝑆 · 𝑋)))
7877oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) = ((2 · (𝑆 · 𝑋)) / 2))
795, 1mulcld 11266 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 · 𝑋) ∈ ℂ)
8079, 34, 36divcan3d 12028 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (𝑆 · 𝑋)) / 2) = (𝑆 · 𝑋))
8178, 80eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) = (𝑆 · 𝑋))
8252negcld 11590 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -(𝑆↑2) ∈ ℂ)
8310halfcld 12490 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℂ)
8482, 83subcld 11603 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
8552, 84, 71subsub4d 11634 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((𝑆↑2) − ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
869, 10, 34, 36divdird 12061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) = ((𝑀 / 2) + (𝐵 / 2)))
87522timesd 12488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆↑2)) = ((𝑆↑2) + (𝑆↑2)))
8859, 87eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((𝑆↑2) + (𝑆↑2)))
8988oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 / 2) + (𝐵 / 2)) = (((𝑆↑2) + (𝑆↑2)) + (𝐵 / 2)))
9086, 89eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) = (((𝑆↑2) + (𝑆↑2)) + (𝐵 / 2)))
9152, 52, 83addassd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆↑2) + (𝑆↑2)) + (𝐵 / 2)) = ((𝑆↑2) + ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))))
9252, 83addcld 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
9352, 92subnegd 11610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆↑2) − -((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))) = ((𝑆↑2) + ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))))
9452, 83negdi2d 11617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -((𝑆↑2) + (𝐵 / 2)) = (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)))
9594oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆↑2) − -((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))) = ((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))))
9693, 95eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆↑2) + ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))) = ((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))))
9790, 91, 963eqtrd 2769 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) = ((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))))
9897oveq1d 7434 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = (((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
99 dquart.i2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
10099oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) = ((𝑆↑2) − ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
10185, 98, 1003eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
102101oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) / 2) = (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))
10381, 102oveq12d 7437 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) / 2)) = ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))
10474, 76, 1033eqtrd 2769 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))
10542, 104oveq12d 7437 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋↑2) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2)) = (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))))
10639, 41, 1053eqtrd 2769 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))))
107106eqeq1d 2727 . . 3 (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = 0 ↔ (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = 0))
10837, 107bitr3d 280 . 2 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = 0))
109 ax-1cn 11198 . . . 4 1 ∈ ℂ
110 halfcl 12470 . . . 4 (1 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
111109, 110mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
112 ax-1ne0 11209 . . . . 5 1 ≠ 0
113109, 4, 112, 35divne0i 11995 . . . 4 (1 / 2) ≠ 0
114113a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1 / 2) ≠ 0)
115 dquart.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
116115sqcld 14144 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼↑2) ∈ ℂ)
11752, 116subcld 11603 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) ∈ ℂ)
118117halfcld 12490 . . 3 (𝜑 → (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2) ∈ ℂ)
119109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
120 2cnne0 12455 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
122 divmuldiv 11947 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℂ ∧ ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) → ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)) = ((1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) / (2 · 2)))
123119, 117, 121, 121, 122syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)) = ((1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) / (2 · 2)))
124117mullidd 11264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
125 2t2e4 12409 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 2) = 4)
127124, 126oveq12d 7437 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) / (2 · 2)) = (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4))
128123, 127eqtrd 2765 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)) = (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4))
129128oveq2d 7435 . . . . . 6 (𝜑 → (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = (4 · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4)))
130117, 18, 20divcan2d 12025 . . . . . 6 (𝜑 → (4 · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4)) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
131129, 130eqtrd 2765 . . . . 5 (𝜑 → (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
132131oveq2d 7435 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆↑2) − (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))) = ((𝑆↑2) − ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))))
13352, 116nncand 11608 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆↑2) − ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) = (𝐼↑2))
134132, 133eqtr2d 2766 . . 3 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((𝑆↑2) − (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))))
135111, 114, 5, 118, 1, 115, 134quad2 26816 . 2 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) ∨ 𝑋 = ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2))))))
1364, 35recidi 11978 . . . . . 6 (2 · (1 / 2)) = 1
137136oveq2i 7430 . . . . 5 ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) = ((-𝑆 + 𝐼) / 1)
1385negcld 11590 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
139138, 115addcld 11265 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝑆 + 𝐼) ∈ ℂ)
140139div1d 12015 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝑆 + 𝐼) / 1) = (-𝑆 + 𝐼))
141137, 140eqtrid 2777 . . . 4 (𝜑 → ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) = (-𝑆 + 𝐼))
142141eqeq2d 2736 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) ↔ 𝑋 = (-𝑆 + 𝐼)))
143136oveq2i 7430 . . . . 5 ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2))) = ((-𝑆𝐼) / 1)
144138, 115subcld 11603 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝑆𝐼) ∈ ℂ)
145144div1d 12015 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝑆𝐼) / 1) = (-𝑆𝐼))
146143, 145eqtrid 2777 . . . 4 (𝜑 → ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2))) = (-𝑆𝐼))
147146eqeq2d 2736 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2))) ↔ 𝑋 = (-𝑆𝐼)))
148142, 147orbi12d 916 . 2 (𝜑 → ((𝑋 = ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) ∨ 𝑋 = ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2)))) ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼))))
149108, 135, 1483bitrd 304 1 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  2c2 12300  4c4 12302  cexp 14062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-seq 14003  df-exp 14063
This theorem is referenced by:  dquart  26830
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