Theorem dquartlem1 26001

Description: Lemma for dquart 26003. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dquart.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
dquart.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2	⊢ (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))

Assertion

Ref	Expression
dquartlem1	⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆 − 𝐼))))

Proof of Theorem dquartlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dquart.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 13862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
3		dquart.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
4		2cn 12048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		dquart.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
6		mulcl 10955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
8	7	sqcld 13862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
9	3, 8	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
10		dquart.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 10994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
12	11	halfcld 12218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
13	2, 12	addcld 10994	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
14	9	halfcld 12218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
15	14, 1	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
16		dquart.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17		4cn 12058	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
19		4ne0 12081	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
21	16, 18, 20	divcld 11751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 4) ∈ ℂ)
22	15, 21	subcld 11332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) ∈ ℂ)
23		dquart.m0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
24	3, 23	eqnetrrd 3012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0)
25		sqne0 13843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑆) ∈ ℂ → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
26	7, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
27	24, 26	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ≠ 0)
28		mulne0b 11616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
29	4, 5, 28	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
30	27, 29	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
31	30	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
32	22, 5, 31	divcld 11751	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) ∈ ℂ)
33	13, 32	addcld 10994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
34	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
35		2ne0 12077	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
37	33, 34, 36	diveq0ad 11761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = 0 ↔ (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0))
38	2, 12, 32	addassd 10997	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = ((𝑋↑2) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))))
39	38	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = (((𝑋↑2) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) / 2))
40	12, 32	addcld 10994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
41	2, 40, 34, 36	divdird 11789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) / 2) = (((𝑋↑2) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2)))
42	2, 34, 36	divrec2d 11755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) / 2) = ((1 / 2) · (𝑋↑2)))
43	15, 21, 5, 31	divsubdird 11790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = ((((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
44	14, 1, 5, 31	div23d 11788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) = (((𝑀 / 2) / 𝑆) · 𝑋))
45	5	sqvald 13861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) = (𝑆 · 𝑆))
46	45	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑆↑2)) = (2 · (𝑆 · 𝑆)))
47		sqmul 13839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑆)↑2) = ((2↑2) · (𝑆↑2)))
48	4, 5, 47	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) = ((2↑2) · (𝑆↑2)))
49	4	sqvali 13897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
50	49	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2↑2) · (𝑆↑2)) = ((2 · 2) · (𝑆↑2))
51	48, 50	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) = ((2 · 2) · (𝑆↑2)))
52	5	sqcld 13862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
53	34, 34, 52	mulassd 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑆↑2)) = (2 · (2 · (𝑆↑2))))
54	3, 51, 53	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (2 · (2 · (𝑆↑2))))
55	54	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((2 · (2 · (𝑆↑2))) / 2))
56		mulcl 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℂ) → (2 · (𝑆↑2)) ∈ ℂ)
57	4, 52, 56	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑆↑2)) ∈ ℂ)
58	57, 34, 36	divcan3d 11756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2 · (2 · (𝑆↑2))) / 2) = (2 · (𝑆↑2)))
59	55, 58	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) = (2 · (𝑆↑2)))
60	34, 5, 5	mulassd 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) · 𝑆) = (2 · (𝑆 · 𝑆)))
61	46, 59, 60	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((2 · 𝑆) · 𝑆))
62	61	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) / 𝑆) = (((2 · 𝑆) · 𝑆) / 𝑆))
63	7, 5, 31	divcan4d 11757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑆) · 𝑆) / 𝑆) = (2 · 𝑆))
64	62, 63	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) / 𝑆) = (2 · 𝑆))
65	64	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 / 2) / 𝑆) · 𝑋) = ((2 · 𝑆) · 𝑋))
66	44, 65	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) = ((2 · 𝑆) · 𝑋))
67	66	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
68	43, 67	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
69	68	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((𝑀 + 𝐵) / 2) + (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
70	7, 1	mulcld 10995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) · 𝑋) ∈ ℂ)
71	21, 5, 31	divcld 11751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 4) / 𝑆) ∈ ℂ)
72	12, 70, 71	addsub12d 11355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
73	69, 72	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
74	73	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = ((((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))) / 2))
75	12, 71	subcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) ∈ ℂ)
76	70, 75, 34, 36	divdird 11789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))) / 2) = ((((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) / 2)))
77	34, 5, 1	mulassd 10998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) · 𝑋) = (2 · (𝑆 · 𝑋)))
78	77	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) = ((2 · (𝑆 · 𝑋)) / 2))
79	5, 1	mulcld 10995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑋) ∈ ℂ)
80	79, 34, 36	divcan3d 11756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑆 · 𝑋)) / 2) = (𝑆 · 𝑋))
81	78, 80	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) = (𝑆 · 𝑋))
82	52	negcld 11319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -(𝑆↑2) ∈ ℂ)
83	10	halfcld 12218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℂ)
84	82, 83	subcld 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
85	52, 84, 71	subsub4d 11363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((𝑆↑2) − ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
86	9, 10, 34, 36	divdird 11789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) = ((𝑀 / 2) + (𝐵 / 2)))
87	52	2timesd 12216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑆↑2)) = ((𝑆↑2) + (𝑆↑2)))
88	59, 87	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((𝑆↑2) + (𝑆↑2)))
89	88	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) + (𝐵 / 2)) = (((𝑆↑2) + (𝑆↑2)) + (𝐵 / 2)))
90	86, 89	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) = (((𝑆↑2) + (𝑆↑2)) + (𝐵 / 2)))
91	52, 52, 83	addassd 10997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆↑2) + (𝑆↑2)) + (𝐵 / 2)) = ((𝑆↑2) + ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))))
92	52, 83	addcld 10994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
93	52, 92	subnegd 11339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) − -((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))) = ((𝑆↑2) + ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))))
94	52, 83	negdi2d 11346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -((𝑆↑2) + (𝐵 / 2)) = (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)))
95	94	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) − -((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))) = ((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))))
96	93, 95	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) + ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))) = ((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))))
97	90, 91, 96	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) = ((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))))
98	97	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = (((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
99		dquart.i2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
100	99	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) = ((𝑆↑2) − ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
101	85, 98, 100	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
102	101	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) / 2) = (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))
103	81, 102	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) / 2)) = ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))
104	74, 76, 103	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))
105	42, 104	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2)) = (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))))
106	39, 41, 105	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))))
107	106	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = 0 ↔ (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = 0))
108	37, 107	bitr3d 280	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = 0))
109		ax-1cn 10929	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
110		halfcl 12198	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
111	109, 110	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
112		ax-1ne0 10940	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
113	109, 4, 112, 35	divne0i 11723	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ≠ 0
114	113	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ≠ 0)
115		dquart.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
116	115	sqcld 13862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼↑2) ∈ ℂ)
117	52, 116	subcld 11332	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) ∈ ℂ)
118	117	halfcld 12218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2) ∈ ℂ)
119	109	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
120		2cnne0 12183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
121	120	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
122		divmuldiv 11675	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) → ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)) = ((1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) / (2 · 2)))
123	119, 117, 121, 121, 122	syl22anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)) = ((1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) / (2 · 2)))
124	117	mulid2d 10993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
125		2t2e4 12137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
126	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 2) = 4)
127	124, 126	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) / (2 · 2)) = (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4))
128	123, 127	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)) = (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4))
129	128	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = (4 · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4)))
130	117, 18, 20	divcan2d 11753	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4 · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4)) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
131	129, 130	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
132	131	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) − (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))) = ((𝑆↑2) − ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))))
133	52, 116	nncand 11337	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) − ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) = (𝐼↑2))
134	132, 133	eqtr2d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼↑2) = ((𝑆↑2) − (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))))
135	111, 114, 5, 118, 1, 115, 134	quad2 25989	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) ∨ 𝑋 = ((-𝑆 − 𝐼) / (2 · (1 / 2))))))
136	4, 35	recidi 11706	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
137	136	oveq2i 7286	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) = ((-𝑆 + 𝐼) / 1)
138	5	negcld 11319	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
139	138, 115	addcld 10994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝑆 + 𝐼) ∈ ℂ)
140	139	div1d 11743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝑆 + 𝐼) / 1) = (-𝑆 + 𝐼))
141	137, 140	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) = (-𝑆 + 𝐼))
142	141	eqeq2d 2749	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) ↔ 𝑋 = (-𝑆 + 𝐼)))
143	136	oveq2i 7286	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 − 𝐼) / (2 · (1 / 2))) = ((-𝑆 − 𝐼) / 1)
144	138, 115	subcld 11332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝑆 − 𝐼) ∈ ℂ)
145	144	div1d 11743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝑆 − 𝐼) / 1) = (-𝑆 − 𝐼))
146	143, 145	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-𝑆 − 𝐼) / (2 · (1 / 2))) = (-𝑆 − 𝐼))
147	146	eqeq2d 2749	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((-𝑆 − 𝐼) / (2 · (1 / 2))) ↔ 𝑋 = (-𝑆 − 𝐼)))
148	142, 147	orbi12d 916	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) ∨ 𝑋 = ((-𝑆 − 𝐼) / (2 · (1 / 2)))) ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆 − 𝐼))))
149	108, 135, 148	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆 − 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  4c4 12030  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  dquart  26003