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Theorem dquartlem1 24992
Description: Lemma for dquart 24994. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
dquart.i (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
Assertion
Ref Expression
dquartlem1 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼))))

Proof of Theorem dquartlem1
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
21sqcld 13301 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
3 dquart.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
4 2cn 11427 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
5 dquart.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
6 mulcl 10337 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
87sqcld 13301 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
93, 8eqeltrd 2907 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
10 dquart.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
119, 10addcld 10377 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
1211halfcld 11604 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
132, 12addcld 10377 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
149halfcld 11604 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
1514, 1mulcld 10378 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
16 dquart.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
17 4cn 11438 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
19 4ne0 11467 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ≠ 0)
2116, 18, 20divcld 11128 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 4) ∈ ℂ)
2215, 21subcld 10714 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) ∈ ℂ)
23 dquart.m0 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≠ 0)
243, 23eqnetrrd 3068 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0)
25 sqne0 13225 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑆) ∈ ℂ → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
267, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
2724, 26mpbid 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝑆) ≠ 0)
28 mulne0b 10994 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
294, 5, 28sylancr 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
3027, 29mpbird 249 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
3130simprd 491 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ≠ 0)
3222, 5, 31divcld 11128 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) ∈ ℂ)
3313, 32addcld 10377 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
344a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
35 2ne0 11463 . . . . 5 2 ≠ 0
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
3733, 34, 36diveq0ad 11138 . . 3 (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = 0 ↔ (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0))
382, 12, 32addassd 10380 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = ((𝑋↑2) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))))
3938oveq1d 6921 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = (((𝑋↑2) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) / 2))
4012, 32addcld 10377 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
412, 40, 34, 36divdird 11166 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) / 2) = (((𝑋↑2) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2)))
422, 34, 36divrec2d 11132 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋↑2) / 2) = ((1 / 2) · (𝑋↑2)))
4315, 21, 5, 31divsubdird 11167 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = ((((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
4414, 1, 5, 31div23d 11165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) = (((𝑀 / 2) / 𝑆) · 𝑋))
455sqvald 13300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑆↑2) = (𝑆 · 𝑆))
4645oveq2d 6922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑆↑2)) = (2 · (𝑆 · 𝑆)))
47 sqmul 13221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑆)↑2) = ((2↑2) · (𝑆↑2)))
484, 5, 47sylancr 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) = ((2↑2) · (𝑆↑2)))
494sqvali 13238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑2) = (2 · 2)
5049oveq1i 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2↑2) · (𝑆↑2)) = ((2 · 2) · (𝑆↑2))
5148, 50syl6eq 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) = ((2 · 2) · (𝑆↑2)))
525sqcld 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
5334, 34, 52mulassd 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑆↑2)) = (2 · (2 · (𝑆↑2))))
543, 51, 533eqtrd 2866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 = (2 · (2 · (𝑆↑2))))
5554oveq1d 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((2 · (2 · (𝑆↑2))) / 2))
56 mulcl 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℂ) → (2 · (𝑆↑2)) ∈ ℂ)
574, 52, 56sylancr 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (2 · (𝑆↑2)) ∈ ℂ)
5857, 34, 36divcan3d 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · (2 · (𝑆↑2))) / 2) = (2 · (𝑆↑2)))
5955, 58eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 / 2) = (2 · (𝑆↑2)))
6034, 5, 5mulassd 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · 𝑆) = (2 · (𝑆 · 𝑆)))
6146, 59, 603eqtr4d 2872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((2 · 𝑆) · 𝑆))
6261oveq1d 6921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 / 2) / 𝑆) = (((2 · 𝑆) · 𝑆) / 𝑆))
637, 5, 31divcan4d 11134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑆) · 𝑆) / 𝑆) = (2 · 𝑆))
6462, 63eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀 / 2) / 𝑆) = (2 · 𝑆))
6564oveq1d 6921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀 / 2) / 𝑆) · 𝑋) = ((2 · 𝑆) · 𝑋))
6644, 65eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) = ((2 · 𝑆) · 𝑋))
6766oveq1d 6921 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) / 𝑆) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
6843, 67eqtrd 2862 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
6968oveq2d 6922 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((𝑀 + 𝐵) / 2) + (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
707, 1mulcld 10378 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · 𝑋) ∈ ℂ)
7121, 5, 31divcld 11128 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 / 4) / 𝑆) ∈ ℂ)
7212, 70, 71addsub12d 10737 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + (((2 · 𝑆) · 𝑋) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
7369, 72eqtrd 2862 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
7473oveq1d 6921 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = ((((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))) / 2))
7512, 71subcld 10714 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) ∈ ℂ)
7670, 75, 34, 36divdird 11166 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝑆) · 𝑋) + (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆))) / 2) = ((((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) / 2)))
7734, 5, 1mulassd 10381 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · 𝑋) = (2 · (𝑆 · 𝑋)))
7877oveq1d 6921 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) = ((2 · (𝑆 · 𝑋)) / 2))
795, 1mulcld 10378 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 · 𝑋) ∈ ℂ)
8079, 34, 36divcan3d 11133 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (𝑆 · 𝑋)) / 2) = (𝑆 · 𝑋))
8178, 80eqtrd 2862 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) = (𝑆 · 𝑋))
8252negcld 10701 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -(𝑆↑2) ∈ ℂ)
8310halfcld 11604 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℂ)
8482, 83subcld 10714 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
8552, 84, 71subsub4d 10745 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((𝑆↑2) − ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
869, 10, 34, 36divdird 11166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) = ((𝑀 / 2) + (𝐵 / 2)))
87522timesd 11602 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆↑2)) = ((𝑆↑2) + (𝑆↑2)))
8859, 87eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((𝑆↑2) + (𝑆↑2)))
8988oveq1d 6921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 / 2) + (𝐵 / 2)) = (((𝑆↑2) + (𝑆↑2)) + (𝐵 / 2)))
9086, 89eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) = (((𝑆↑2) + (𝑆↑2)) + (𝐵 / 2)))
9152, 52, 83addassd 10380 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆↑2) + (𝑆↑2)) + (𝐵 / 2)) = ((𝑆↑2) + ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))))
9252, 83addcld 10377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
9352, 92subnegd 10721 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆↑2) − -((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))) = ((𝑆↑2) + ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))))
9452, 83negdi2d 10728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -((𝑆↑2) + (𝐵 / 2)) = (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)))
9594oveq2d 6922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆↑2) − -((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))) = ((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))))
9693, 95eqtr3d 2864 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆↑2) + ((𝑆↑2) + (𝐵 / 2))) = ((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))))
9790, 91, 963eqtrd 2866 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) = ((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))))
9897oveq1d 6921 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = (((𝑆↑2) − (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2))) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
99 dquart.i2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
10099oveq2d 6922 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) = ((𝑆↑2) − ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆))))
10185, 98, 1003eqtr4d 2872 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
102101oveq1d 6921 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) / 2) = (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))
10381, 102oveq12d 6924 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝑆) · 𝑋) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)) / 2)) = ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))
10474, 76, 1033eqtrd 2866 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))
10542, 104oveq12d 6924 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋↑2) / 2) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2)) = (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))))
10639, 41, 1053eqtrd 2866 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))))
107106eqeq1d 2828 . . 3 (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) / 2) = 0 ↔ (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = 0))
10837, 107bitr3d 273 . 2 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = 0))
109 ax-1cn 10311 . . . 4 1 ∈ ℂ
110 halfcl 11584 . . . 4 (1 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
111109, 110mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
112 ax-1ne0 10322 . . . . 5 1 ≠ 0
113109, 4, 112, 35divne0i 11100 . . . 4 (1 / 2) ≠ 0
114113a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1 / 2) ≠ 0)
115 dquart.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
116115sqcld 13301 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼↑2) ∈ ℂ)
11752, 116subcld 10714 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) ∈ ℂ)
118117halfcld 11604 . . 3 (𝜑 → (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2) ∈ ℂ)
119109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
120 2cnne0 11569 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
122 divmuldiv 11052 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℂ ∧ ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) → ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)) = ((1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) / (2 · 2)))
123119, 117, 121, 121, 122syl22anc 874 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)) = ((1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) / (2 · 2)))
124117mulid2d 10376 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
125 2t2e4 11523 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 2) = 4)
127124, 126oveq12d 6924 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 · ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) / (2 · 2)) = (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4))
128123, 127eqtrd 2862 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)) = (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4))
129128oveq2d 6922 . . . . . 6 (𝜑 → (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = (4 · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4)))
130117, 18, 20divcan2d 11130 . . . . . 6 (𝜑 → (4 · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 4)) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
131129, 130eqtrd 2862 . . . . 5 (𝜑 → (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = ((𝑆↑2) − (𝐼↑2)))
132131oveq2d 6922 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆↑2) − (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))) = ((𝑆↑2) − ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))))
13352, 116nncand 10719 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆↑2) − ((𝑆↑2) − (𝐼↑2))) = (𝐼↑2))
134132, 133eqtr2d 2863 . . 3 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((𝑆↑2) − (4 · ((1 / 2) · (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2)))))
135111, 114, 5, 118, 1, 115, 134quad2 24980 . 2 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋↑2)) + ((𝑆 · 𝑋) + (((𝑆↑2) − (𝐼↑2)) / 2))) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) ∨ 𝑋 = ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2))))))
1364, 35recidi 11083 . . . . . 6 (2 · (1 / 2)) = 1
137136oveq2i 6917 . . . . 5 ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) = ((-𝑆 + 𝐼) / 1)
1385negcld 10701 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
139138, 115addcld 10377 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝑆 + 𝐼) ∈ ℂ)
140139div1d 11120 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝑆 + 𝐼) / 1) = (-𝑆 + 𝐼))
141137, 140syl5eq 2874 . . . 4 (𝜑 → ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) = (-𝑆 + 𝐼))
142141eqeq2d 2836 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) ↔ 𝑋 = (-𝑆 + 𝐼)))
143136oveq2i 6917 . . . . 5 ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2))) = ((-𝑆𝐼) / 1)
144138, 115subcld 10714 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝑆𝐼) ∈ ℂ)
145144div1d 11120 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝑆𝐼) / 1) = (-𝑆𝐼))
146143, 145syl5eq 2874 . . . 4 (𝜑 → ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2))) = (-𝑆𝐼))
147146eqeq2d 2836 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2))) ↔ 𝑋 = (-𝑆𝐼)))
148142, 147orbi12d 949 . 2 (𝜑 → ((𝑋 = ((-𝑆 + 𝐼) / (2 · (1 / 2))) ∨ 𝑋 = ((-𝑆𝐼) / (2 · (1 / 2)))) ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼))))
149108, 135, 1483bitrd 297 1 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 880   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  (class class class)co 6906  cc 10251  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258  cmin 10586  -cneg 10587   / cdiv 11010  2c2 11407  4c4 11409  cexp 13155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-seq 13097  df-exp 13156
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