MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd2 14098
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem faclbnd2
StepHypRef Expression
1 sq2 14007 . . . . . 6 (2↑2) = 4
2 2t2e4 12230 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
31, 2eqtr4i 2767 . . . . 5 (2↑2) = (2 · 2)
43oveq2i 7340 . . . 4 ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2))
5 2cn 12141 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
6 expp1 13882 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
75, 6mpan 687 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
87oveq1d 7344 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
94, 8eqtrid 2788 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
10 expcl 13893 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
115, 10mpan 687 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
12 2cnne0 12276 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
13 divmuldiv 11768 . . . . 5 ((((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
1412, 12, 13mpanr12 702 . . . 4 (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
1511, 5, 14sylancl 586 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
16 2div2e1 12207 . . . . 5 (2 / 2) = 1
1716oveq2i 7340 . . . 4 (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) / 2) · 1)
1811halfcld 12311 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ∈ ℂ)
1918mulid1d 11085 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · 1) = ((2↑𝑁) / 2))
2017, 19eqtrid 2788 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = ((2↑𝑁) / 2))
219, 15, 203eqtr2rd 2783 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)))
22 2nn0 12343 . . . 4 2 ∈ ℕ0
23 faclbnd 14097 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
2422, 23mpan 687 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
25 2re 12140 . . . . 5 2 ∈ ℝ
26 peano2nn0 12366 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
27 reexpcl 13892 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2825, 26, 27sylancr 587 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 faccl 14090 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3029nnred 12081 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
31 4re 12150 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
321, 31eqeltri 2833 . . . . . 6 (2↑2) ∈ ℝ
33 4pos 12173 . . . . . . 7 0 < 4
3433, 1breqtrri 5116 . . . . . 6 0 < (2↑2)
3532, 34pm3.2i 471 . . . . 5 ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))
36 ledivmul 11944 . . . . 5 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
3735, 36mp3an3 1449 . . . 4 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
3828, 30, 37syl2anc 584 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
3924, 38mpbird 256 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁))
4021, 39eqbrtrd 5111 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940   class class class wbr 5089  cfv 6473  (class class class)co 7329  cc 10962  cr 10963  0cc0 10964  1c1 10965   + caddc 10967   · cmul 10969   < clt 11102  cle 11103   / cdiv 11725  2c2 12121  4c4 12123  0cn0 12326  cexp 13875  !cfa 14080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-rp 12824  df-seq 13815  df-exp 13876  df-fac 14081
This theorem is referenced by:  ege2le3  15890
  Copyright terms: Public domain W3C validator