MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd2 14255
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘))

Proof of Theorem faclbnd2
StepHypRef Expression
1 sq2 14165 . . . . . 6 (2โ†‘2) = 4
2 2t2e4 12380 . . . . . 6 (2 ยท 2) = 4
31, 2eqtr4i 2761 . . . . 5 (2โ†‘2) = (2 ยท 2)
43oveq2i 7422 . . . 4 ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) = ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2 ยท 2))
5 2cn 12291 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
6 expp1 14038 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
75, 6mpan 686 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
87oveq1d 7426 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2 ยท 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
94, 8eqtrid 2782 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
10 expcl 14049 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
115, 10mpan 686 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
12 2cnne0 12426 . . . . 5 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
13 divmuldiv 11918 . . . . 5 ((((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โˆง ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))) โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
1412, 12, 13mpanr12 701 . . . 4 (((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
1511, 5, 14sylancl 584 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
16 2div2e1 12357 . . . . 5 (2 / 2) = 1
1716oveq2i 7422 . . . 4 (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท 1)
1811halfcld 12461 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โˆˆ โ„‚)
1918mulridd 11235 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท 1) = ((2โ†‘๐‘) / 2))
2017, 19eqtrid 2782 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = ((2โ†‘๐‘) / 2))
219, 15, 203eqtr2rd 2777 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) = ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)))
22 2nn0 12493 . . . 4 2 โˆˆ โ„•0
23 faclbnd 14254 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘)))
2422, 23mpan 686 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘)))
25 2re 12290 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
26 peano2nn0 12516 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
27 reexpcl 14048 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
2825, 26, 27sylancr 585 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
29 faccl 14247 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
3029nnred 12231 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
31 4re 12300 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„
321, 31eqeltri 2827 . . . . . 6 (2โ†‘2) โˆˆ โ„
33 4pos 12323 . . . . . . 7 0 < 4
3433, 1breqtrri 5174 . . . . . 6 0 < (2โ†‘2)
3532, 34pm3.2i 469 . . . . 5 ((2โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘2))
36 ledivmul 12094 . . . . 5 (((2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘2))) โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3735, 36mp3an3 1448 . . . 4 (((2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3828, 30, 37syl2anc 582 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3924, 38mpbird 256 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
4021, 39eqbrtrd 5169 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  4c4 12273  โ„•0cn0 12476  โ†‘cexp 14031  !cfa 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238
This theorem is referenced by:  ege2le3  16037
  Copyright terms: Public domain W3C validator