Theorem faclbnd2 14340

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem faclbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq2 14246	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
2		2t2e4 12457	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
3	1, 2	eqtr4i 2771	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
4	3	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2))
5		2cn 12368	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		expp1 14119	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
7	5, 6	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
8	7	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
9	4, 8	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
10		expcl 14130	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
11	5, 10	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
12		2cnne0 12503	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
13		divmuldiv 11994	. . . . 5 ⊢ ((((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
14	12, 12, 13	mpanr12 704	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
15	11, 5, 14	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
16		2div2e1 12434	. . . . 5 ⊢ (2 / 2) = 1
17	16	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) / 2) · 1)
18	11	halfcld 12538	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ∈ ℂ)
19	18	mulridd 11307	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · 1) = ((2↑𝑁) / 2))
20	17, 19	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = ((2↑𝑁) / 2))
21	9, 15, 20	3eqtr2rd 2787	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)))
22		2nn0 12570	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		faclbnd 14339	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
24	22, 23	mpan 689	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
25		2re 12367	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
26		peano2nn0 12593	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
27		reexpcl 14129	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29		faccl 14332	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
30	29	nnred 12308	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
31		4re 12377	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
32	1, 31	eqeltri 2840	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
33		4pos 12400	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
34	33, 1	breqtrri 5193	. . . . . 6 ⊢ 0 < (2↑2)
35	32, 34	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))
36		ledivmul 12171	. . . . 5 ⊢ (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
37	35, 36	mp3an3 1450	. . . 4 ⊢ (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
38	28, 30, 37	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
39	24, 38	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁))
40	21, 39	eqbrtrd 5188	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  2c2 12348  4c4 12350  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112  !cfa 14322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323

This theorem is referenced by:  ege2le3  16138