MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd2 14197
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘))

Proof of Theorem faclbnd2
StepHypRef Expression
1 sq2 14107 . . . . . 6 (2โ†‘2) = 4
2 2t2e4 12322 . . . . . 6 (2 ยท 2) = 4
31, 2eqtr4i 2764 . . . . 5 (2โ†‘2) = (2 ยท 2)
43oveq2i 7369 . . . 4 ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) = ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2 ยท 2))
5 2cn 12233 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
6 expp1 13980 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
75, 6mpan 689 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
87oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2 ยท 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
94, 8eqtrid 2785 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
10 expcl 13991 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
115, 10mpan 689 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
12 2cnne0 12368 . . . . 5 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
13 divmuldiv 11860 . . . . 5 ((((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โˆง ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))) โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
1412, 12, 13mpanr12 704 . . . 4 (((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
1511, 5, 14sylancl 587 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
16 2div2e1 12299 . . . . 5 (2 / 2) = 1
1716oveq2i 7369 . . . 4 (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท 1)
1811halfcld 12403 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โˆˆ โ„‚)
1918mulid1d 11177 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท 1) = ((2โ†‘๐‘) / 2))
2017, 19eqtrid 2785 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = ((2โ†‘๐‘) / 2))
219, 15, 203eqtr2rd 2780 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) = ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)))
22 2nn0 12435 . . . 4 2 โˆˆ โ„•0
23 faclbnd 14196 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘)))
2422, 23mpan 689 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘)))
25 2re 12232 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
26 peano2nn0 12458 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
27 reexpcl 13990 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
2825, 26, 27sylancr 588 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
29 faccl 14189 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
3029nnred 12173 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
31 4re 12242 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„
321, 31eqeltri 2830 . . . . . 6 (2โ†‘2) โˆˆ โ„
33 4pos 12265 . . . . . . 7 0 < 4
3433, 1breqtrri 5133 . . . . . 6 0 < (2โ†‘2)
3532, 34pm3.2i 472 . . . . 5 ((2โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘2))
36 ledivmul 12036 . . . . 5 (((2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘2))) โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3735, 36mp3an3 1451 . . . 4 (((2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3828, 30, 37syl2anc 585 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3924, 38mpbird 257 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
4021, 39eqbrtrd 5128 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   / cdiv 11817  2c2 12213  4c4 12215  โ„•0cn0 12418  โ†‘cexp 13973  !cfa 14179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180
This theorem is referenced by:  ege2le3  15977
  Copyright terms: Public domain W3C validator