MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd2 14292
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘))

Proof of Theorem faclbnd2
StepHypRef Expression
1 sq2 14202 . . . . . 6 (2โ†‘2) = 4
2 2t2e4 12416 . . . . . 6 (2 ยท 2) = 4
31, 2eqtr4i 2759 . . . . 5 (2โ†‘2) = (2 ยท 2)
43oveq2i 7437 . . . 4 ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) = ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2 ยท 2))
5 2cn 12327 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
6 expp1 14075 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
75, 6mpan 688 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
87oveq1d 7441 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2 ยท 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
94, 8eqtrid 2780 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
10 expcl 14086 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
115, 10mpan 688 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
12 2cnne0 12462 . . . . 5 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
13 divmuldiv 11954 . . . . 5 ((((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โˆง ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))) โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
1412, 12, 13mpanr12 703 . . . 4 (((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
1511, 5, 14sylancl 584 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
16 2div2e1 12393 . . . . 5 (2 / 2) = 1
1716oveq2i 7437 . . . 4 (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท 1)
1811halfcld 12497 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โˆˆ โ„‚)
1918mulridd 11271 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท 1) = ((2โ†‘๐‘) / 2))
2017, 19eqtrid 2780 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = ((2โ†‘๐‘) / 2))
219, 15, 203eqtr2rd 2775 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) = ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)))
22 2nn0 12529 . . . 4 2 โˆˆ โ„•0
23 faclbnd 14291 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘)))
2422, 23mpan 688 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘)))
25 2re 12326 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
26 peano2nn0 12552 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
27 reexpcl 14085 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
2825, 26, 27sylancr 585 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
29 faccl 14284 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
3029nnred 12267 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
31 4re 12336 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„
321, 31eqeltri 2825 . . . . . 6 (2โ†‘2) โˆˆ โ„
33 4pos 12359 . . . . . . 7 0 < 4
3433, 1breqtrri 5179 . . . . . 6 0 < (2โ†‘2)
3532, 34pm3.2i 469 . . . . 5 ((2โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘2))
36 ledivmul 12130 . . . . 5 (((2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘2))) โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3735, 36mp3an3 1446 . . . 4 (((2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3828, 30, 37syl2anc 582 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3924, 38mpbird 256 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
4021, 39eqbrtrd 5174 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   / cdiv 11911  2c2 12307  4c4 12309  โ„•0cn0 12512  โ†‘cexp 14068  !cfa 14274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275
This theorem is referenced by:  ege2le3  16076
  Copyright terms: Public domain W3C validator