MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd2 14256
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘))

Proof of Theorem faclbnd2
StepHypRef Expression
1 sq2 14166 . . . . . 6 (2โ†‘2) = 4
2 2t2e4 12380 . . . . . 6 (2 ยท 2) = 4
31, 2eqtr4i 2757 . . . . 5 (2โ†‘2) = (2 ยท 2)
43oveq2i 7416 . . . 4 ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) = ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2 ยท 2))
5 2cn 12291 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
6 expp1 14039 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
75, 6mpan 687 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
87oveq1d 7420 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2 ยท 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
94, 8eqtrid 2778 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
10 expcl 14050 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
115, 10mpan 687 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
12 2cnne0 12426 . . . . 5 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
13 divmuldiv 11918 . . . . 5 ((((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โˆง ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))) โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
1412, 12, 13mpanr12 702 . . . 4 (((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
1511, 5, 14sylancl 585 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
16 2div2e1 12357 . . . . 5 (2 / 2) = 1
1716oveq2i 7416 . . . 4 (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท 1)
1811halfcld 12461 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โˆˆ โ„‚)
1918mulridd 11235 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท 1) = ((2โ†‘๐‘) / 2))
2017, 19eqtrid 2778 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = ((2โ†‘๐‘) / 2))
219, 15, 203eqtr2rd 2773 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) = ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)))
22 2nn0 12493 . . . 4 2 โˆˆ โ„•0
23 faclbnd 14255 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘)))
2422, 23mpan 687 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘)))
25 2re 12290 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
26 peano2nn0 12516 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
27 reexpcl 14049 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
2825, 26, 27sylancr 586 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
29 faccl 14248 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
3029nnred 12231 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
31 4re 12300 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„
321, 31eqeltri 2823 . . . . . 6 (2โ†‘2) โˆˆ โ„
33 4pos 12323 . . . . . . 7 0 < 4
3433, 1breqtrri 5168 . . . . . 6 0 < (2โ†‘2)
3532, 34pm3.2i 470 . . . . 5 ((2โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘2))
36 ledivmul 12094 . . . . 5 (((2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘2))) โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3735, 36mp3an3 1446 . . . 4 (((2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3828, 30, 37syl2anc 583 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3924, 38mpbird 257 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
4021, 39eqbrtrd 5163 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  4c4 12273  โ„•0cn0 12476  โ†‘cexp 14032  !cfa 14238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239
This theorem is referenced by:  ege2le3  16040
  Copyright terms: Public domain W3C validator