MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd2 14250
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘))

Proof of Theorem faclbnd2
StepHypRef Expression
1 sq2 14160 . . . . . 6 (2โ†‘2) = 4
2 2t2e4 12375 . . . . . 6 (2 ยท 2) = 4
31, 2eqtr4i 2763 . . . . 5 (2โ†‘2) = (2 ยท 2)
43oveq2i 7419 . . . 4 ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) = ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2 ยท 2))
5 2cn 12286 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
6 expp1 14033 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
75, 6mpan 688 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) = ((2โ†‘๐‘) ยท 2))
87oveq1d 7423 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2 ยท 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
94, 8eqtrid 2784 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
10 expcl 14044 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
115, 10mpan 688 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
12 2cnne0 12421 . . . . 5 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
13 divmuldiv 11913 . . . . 5 ((((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โˆง ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))) โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
1412, 12, 13mpanr12 703 . . . 4 (((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
1511, 5, 14sylancl 586 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) ยท 2) / (2 ยท 2)))
16 2div2e1 12352 . . . . 5 (2 / 2) = 1
1716oveq2i 7419 . . . 4 (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท 1)
1811halfcld 12456 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โˆˆ โ„‚)
1918mulridd 11230 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท 1) = ((2โ†‘๐‘) / 2))
2017, 19eqtrid 2784 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘๐‘) / 2) ยท (2 / 2)) = ((2โ†‘๐‘) / 2))
219, 15, 203eqtr2rd 2779 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) = ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)))
22 2nn0 12488 . . . 4 2 โˆˆ โ„•0
23 faclbnd 14249 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘)))
2422, 23mpan 688 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘)))
25 2re 12285 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
26 peano2nn0 12511 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
27 reexpcl 14043 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
2825, 26, 27sylancr 587 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
29 faccl 14242 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
3029nnred 12226 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
31 4re 12295 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„
321, 31eqeltri 2829 . . . . . 6 (2โ†‘2) โˆˆ โ„
33 4pos 12318 . . . . . . 7 0 < 4
3433, 1breqtrri 5175 . . . . . 6 0 < (2โ†‘2)
3532, 34pm3.2i 471 . . . . 5 ((2โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘2))
36 ledivmul 12089 . . . . 5 (((2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (2โ†‘2))) โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3735, 36mp3an3 1450 . . . 4 (((2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3828, 30, 37syl2anc 584 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†” (2โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((2โ†‘2) ยท (!โ€˜๐‘))))
3924, 38mpbird 256 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ + 1)) / (2โ†‘2)) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
4021, 39eqbrtrd 5170 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   / cdiv 11870  2c2 12266  4c4 12268  โ„•0cn0 12471  โ†‘cexp 14026  !cfa 14232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233
This theorem is referenced by:  ege2le3  16032
  Copyright terms: Public domain W3C validator