Theorem faclbnd2 14327

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem faclbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq2 14233	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
2		2t2e4 12404	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
3	1, 2	eqtr4i 2795	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
4	3	oveq2i 7422	. . . 4 ⊢ ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2))
5		2cn 12316	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		expp1 14104	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
7	5, 6	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
8	7	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
9	4, 8	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
10		expcl 14115	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
11	5, 10	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
12		2cnne0 12453	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
13		divmuldiv 11915	. . . . 5 ⊢ ((((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
14	12, 12, 13	mpanr12 717	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
15	11, 5, 14	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
16		2div2e1 12381	. . . . 5 ⊢ (2 / 2) = 1
17	16	oveq2i 7422	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) / 2) · 1)
18	11	halfcld 12489	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ∈ ℂ)
19	18	mulridd 11226	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · 1) = ((2↑𝑁) / 2))
20	17, 19	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = ((2↑𝑁) / 2))
21	9, 15, 20	3eqtr2rd 2811	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)))
22		2nn0 12521	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		faclbnd 14326	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
24	22, 23	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
25		2re 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
26		peano2nn0 12544	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
27		reexpcl 14114	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29		faccl 14319	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
30	29	nnred 12248	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
31		4re 12325	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
32	1, 31	eqeltri 2865	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
33		4pos 12351	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
34	33, 1	breqtrri 5142	. . . . . 6 ⊢ 0 < (2↑2)
35	32, 34	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))
36		ledivmul 12091	. . . . 5 ⊢ (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
37	35, 36	mp3an3 1476	. . . 4 ⊢ (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
38	28, 30, 37	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
39	24, 38	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁))
40	21, 39	eqbrtrd 5137	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244   / cdiv 11871  2c2 12295  4c4 12297  ℕ₀cn0 12504  ↑cexp 14097  !cfa 14309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310

This theorem is referenced by:  ege2le3  16144