Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd2 13651
 Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem faclbnd2
StepHypRef Expression
1 sq2 13560 . . . . . 6 (2↑2) = 4
2 2t2e4 11793 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
31, 2eqtr4i 2827 . . . . 5 (2↑2) = (2 · 2)
43oveq2i 7150 . . . 4 ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2))
5 2cn 11704 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
6 expp1 13436 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
75, 6mpan 689 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
87oveq1d 7154 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2 · 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
94, 8syl5eq 2848 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
10 expcl 13447 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
115, 10mpan 689 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
12 2cnne0 11839 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
13 divmuldiv 11333 . . . . 5 ((((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))) → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
1412, 12, 13mpanr12 704 . . . 4 (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
1511, 5, 14sylancl 589 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) · 2) / (2 · 2)))
16 2div2e1 11770 . . . . 5 (2 / 2) = 1
1716oveq2i 7150 . . . 4 (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = (((2↑𝑁) / 2) · 1)
1811halfcld 11874 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ∈ ℂ)
1918mulid1d 10651 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · 1) = ((2↑𝑁) / 2))
2017, 19syl5eq 2848 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) / 2) · (2 / 2)) = ((2↑𝑁) / 2))
219, 15, 203eqtr2rd 2843 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)))
22 2nn0 11906 . . . 4 2 ∈ ℕ0
23 faclbnd 13650 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
2422, 23mpan 689 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁)))
25 2re 11703 . . . . 5 2 ∈ ℝ
26 peano2nn0 11929 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
27 reexpcl 13446 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2825, 26, 27sylancr 590 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 faccl 13643 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3029nnred 11644 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
31 4re 11713 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
321, 31eqeltri 2889 . . . . . 6 (2↑2) ∈ ℝ
33 4pos 11736 . . . . . . 7 0 < 4
3433, 1breqtrri 5060 . . . . . 6 0 < (2↑2)
3532, 34pm3.2i 474 . . . . 5 ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))
36 ledivmul 11509 . . . . 5 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑2))) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
3735, 36mp3an3 1447 . . . 4 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
3828, 30, 37syl2anc 587 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((2↑2) · (!‘𝑁))))
3924, 38mpbird 260 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑2)) ≤ (!‘𝑁))
4021, 39eqbrtrd 5055 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) / 2) ≤ (!‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668   ≤ cle 10669   / cdiv 11290  2c2 11684  4c4 11686  ℕ0cn0 11889  ↑cexp 13429  !cfa 13633 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634 This theorem is referenced by:  ege2le3  15439
 Copyright terms: Public domain W3C validator