Theorem qmulcl 12636

Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qmulcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12619	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		elq 12619	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
3		zmulcl 12299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ)
4		nnmulcl 11927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
5	3, 4	anim12i 612	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ))
6	5	an4s 656	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ))
7		oveq12 7264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)))
8		zcn 12254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		zcn 12254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
10	8, 9	anim12i 612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
11	10	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
12		nncn 11911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		nnne0 11937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
14	12, 13	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
15		nncn 11911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
16		nnne0 11937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ≠ 0)
17	15, 16	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
18	14, 17	anim12i 612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)))
19	18	ad2ant2l 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)))
20		divmuldiv 11605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))) → ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤)))
21	11, 19, 20	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤)))
22	7, 21	sylan9eqr 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤)))
23		rspceov 7302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
24	23	3expa 1116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
25		elq 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ↔ ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
26	24, 25	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
27	6, 22, 26	syl2an2r 681	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
28	27	an4s 656	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
29	28	exp43 436	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))))
30	29	rexlimivv 3220	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
31	30	rexlimdvv 3221	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
32	31	imp 406	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
33	1, 2, 32	syl2anb 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℚcq 12617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-q 12618

This theorem is referenced by:  qdivcl  12639  qexpcl  13726  qexpclz  13731  qsqcl  13777  pcaddlem  16517  qsubdrg  20562  qaa  25388  padicabv  26683  ostth2lem2  26687  ostth3  26691  3cubeslem2  40423  3cubes  40428  rmxyadd  40659  mpaaeu  40891  aacllem  46391