| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | elq 12993 | . 2
⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔
∃𝑥 ∈ ℤ
∃𝑦 ∈ ℕ
𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) | 
| 2 |  | elq 12993 | . 2
⊢ (𝐵 ∈ ℚ ↔
∃𝑧 ∈ ℤ
∃𝑤 ∈ ℕ
𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) | 
| 3 |  | zmulcl 12668 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ) | 
| 4 |  | nnmulcl 12291 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ) | 
| 5 | 3, 4 | anim12i 613 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)) | 
| 6 | 5 | an4s 660 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)) | 
| 7 |  | oveq12 7441 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤))) | 
| 8 |  | zcn 12620 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈
ℂ) | 
| 9 |  | zcn 12620 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈
ℂ) | 
| 10 | 8, 9 | anim12i 613 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈
ℂ)) | 
| 11 | 10 | ad2ant2r 747 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈
ℂ)) | 
| 12 |  | nncn 12275 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈
ℂ) | 
| 13 |  | nnne0 12301 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0) | 
| 14 | 12, 13 | jca 511 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) | 
| 15 |  | nncn 12275 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈
ℂ) | 
| 16 |  | nnne0 12301 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ≠ 0) | 
| 17 | 15, 16 | jca 511 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) | 
| 18 | 14, 17 | anim12i 613 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))) | 
| 19 | 18 | ad2ant2l 746 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))) | 
| 20 |  | divmuldiv 11968 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))) → ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) | 
| 21 | 11, 19, 20 | syl2anc 584 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) | 
| 22 | 7, 21 | sylan9eqr 2798 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) | 
| 23 |  | rspceov 7481 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢)) | 
| 24 | 23 | 3expa 1118 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢)) | 
| 25 |  | elq 12993 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ↔ ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢)) | 
| 26 | 24, 25 | sylibr 234 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ) | 
| 27 | 6, 22, 26 | syl2an2r 685 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ) | 
| 28 | 27 | an4s 660 | . . . . . 6
⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ) | 
| 29 | 28 | exp43 436 | . . . . 5
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))) | 
| 30 | 29 | rexlimivv 3200 | . . . 4
⊢
(∃𝑥 ∈
ℤ ∃𝑦 ∈
ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))) | 
| 31 | 30 | rexlimdvv 3211 | . . 3
⊢
(∃𝑥 ∈
ℤ ∃𝑦 ∈
ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)) | 
| 32 | 31 | imp 406 | . 2
⊢
((∃𝑥 ∈
ℤ ∃𝑦 ∈
ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ) | 
| 33 | 1, 2, 32 | syl2anb 598 | 1
⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ) |