MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qmulcl 13007
Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qmulcl ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qmulcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12990 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2 elq 12990 . 2 (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
3 zmulcl 12664 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ)
4 nnmulcl 12288 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
53, 4anim12i 613 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ))
65an4s 660 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ))
7 oveq12 7440 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)))
8 zcn 12616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 zcn 12616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
108, 9anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
1110ad2ant2r 747 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
12 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 nnne0 12298 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
1412, 13jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
15 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
16 nnne0 12298 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ≠ 0)
1715, 16jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
1814, 17anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)))
1918ad2ant2l 746 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)))
20 divmuldiv 11965 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))) → ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤)))
2111, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤)))
227, 21sylan9eqr 2797 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤)))
23 rspceov 7480 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
24233expa 1117 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
25 elq 12990 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ↔ ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
2624, 25sylibr 234 . . . . . . . 8 ((((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
276, 22, 26syl2an2r 685 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
2827an4s 660 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
2928exp43 436 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))))
3029rexlimivv 3199 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
3130rexlimdvv 3210 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
3231imp 406 . 2 ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
331, 2, 32syl2anb 598 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158   / cdiv 11918  cn 12264  cz 12611  cq 12988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-q 12989
This theorem is referenced by:  qdivcl  13010  qexpcl  14115  qexpclz  14119  qsqcl  14167  pcaddlem  16922  qsubdrg  21455  qaa  26380  padicabv  27689  ostth2lem2  27693  ostth3  27697  zringfrac  33562  3cubeslem2  42673  3cubes  42678  rmxyadd  42910  mpaaeu  43139  aacllem  49032
  Copyright terms: Public domain W3C validator