MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmgmaddnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmgmaddnn0 25318
Description: If 𝐴 is not a nonpositive integer and 𝑁 is a nonnegative integer, then 𝐴 + 𝑁 is also not a nonpositive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dmgmn0.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
dmgmaddnn0.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
dmgmaddnn0 (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Proof of Theorem dmgmaddnn0
StepHypRef Expression
1 dmgmn0.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
21eldifad 3835 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 dmgmaddnn0.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
43nn0cnd 11767 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
52, 4addcld 10457 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ)
6 eldmgm 25313 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
71, 6sylib 210 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
87simprd 488 . . 3 (𝜑 → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
92, 4negdi2d 10810 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐴 + 𝑁) = (-𝐴𝑁))
109oveq1d 6989 . . . . . 6 (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝐴𝑁) + 𝑁))
112negcld 10783 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
1211, 4npcand 10800 . . . . . 6 (𝜑 → ((-𝐴𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
1310, 12eqtrd 2808 . . . . 5 (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
1413adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
15 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
163adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1715, 16nn0addcld 11769 . . . 4 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ0)
1814, 17eqeltrrd 2861 . . 3 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
198, 18mtand 803 . 2 (𝜑 → ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
20 eldmgm 25313 . 2 ((𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ ((𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0))
215, 19, 20sylanbrc 575 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  cdif 3820  (class class class)co 6974  cc 10331   + caddc 10336  cmin 10668  -cneg 10669  cn 11437  0cn0 11705  cz 11791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792
This theorem is referenced by:  lgamcvg2  25346  gamp1  25349
  Copyright terms: Public domain W3C validator