MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmgmaddnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmgmaddnn0 27070
Description: If 𝐴 is not a nonpositive integer and 𝑁 is a nonnegative integer, then 𝐴 + 𝑁 is also not a nonpositive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dmgmn0.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
dmgmaddnn0.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
dmgmaddnn0 (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Proof of Theorem dmgmaddnn0
StepHypRef Expression
1 dmgmn0.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
21eldifad 3963 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 dmgmaddnn0.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
43nn0cnd 12589 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
52, 4addcld 11280 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ)
6 eldmgm 27065 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
71, 6sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
87simprd 495 . . 3 (𝜑 → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
92, 4negdi2d 11634 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐴 + 𝑁) = (-𝐴𝑁))
109oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝐴𝑁) + 𝑁))
112negcld 11607 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
1211, 4npcand 11624 . . . . . 6 (𝜑 → ((-𝐴𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
1310, 12eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
15 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
163adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1715, 16nn0addcld 12591 . . . 4 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ0)
1814, 17eqeltrrd 2842 . . 3 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
198, 18mtand 816 . 2 (𝜑 → ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
20 eldmgm 27065 . 2 ((𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ ((𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0))
215, 19, 20sylanbrc 583 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  (class class class)co 7431  cc 11153   + caddc 11158  cmin 11492  -cneg 11493  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614
This theorem is referenced by:  lgamcvg2  27098  gamp1  27101
  Copyright terms: Public domain W3C validator