Theorem dmgmaddnn0 27091

Description: If 𝐴 is not a nonpositive integer and 𝑁 is a nonnegative integer, then 𝐴 + 𝑁 is also not a nonpositive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmgmn0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
dmgmaddnn0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
dmgmaddnn0	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Proof of Theorem dmgmaddnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmgmn0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2	1	eldifad 3916	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		dmgmaddnn0.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 12544	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
5	2, 4	addcld 11201	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ)
6		eldmgm 27086	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
7	1, 6	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
8	7	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
9	2, 4	negdi2d 11556	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 + 𝑁) = (-𝐴 − 𝑁))
10	9	oveq1d 7411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝐴 − 𝑁) + 𝑁))
11	2	negcld 11529	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
12	11, 4	npcand 11546	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-𝐴 − 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
13	10, 12	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
14	13	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
15		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
16	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17	15, 16	nn0addcld 12546	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ0)
18	14, 17	eqeltrrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
19	8, 18	mtand 825	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
20		eldmgm 27086	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ ((𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0))
21	5, 19, 20	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901  (class class class)co 7396  ℂcc 11071   + caddc 11076   − cmin 11414  -cneg 11415  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569

This theorem is referenced by:  lgamcvg2  27119  gamp1  27122