Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmgmaddnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: If 𝐴 is not a nonpositive integer and 𝑁 is a nonnegative integer, then 𝐴 + 𝑁 is also not a nonpositive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dmgmn0.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
Assertion
Ref Expression
dmgmaddnn0 (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

StepHypRef Expression
1 dmgmn0.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
21eldifad 3896 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 dmgmaddnn0.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
43nn0cnd 11949 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
52, 4addcld 10653 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ)
6 eldmgm 25610 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
71, 6sylib 221 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
87simprd 499 . . 3 (𝜑 → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
92, 4negdi2d 11004 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐴 + 𝑁) = (-𝐴𝑁))
109oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝐴𝑁) + 𝑁))
112negcld 10977 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
1211, 4npcand 10994 . . . . . 6 (𝜑 → ((-𝐴𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
1310, 12eqtrd 2836 . . . . 5 (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
1413adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
15 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
163adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1715, 16nn0addcld 11951 . . . 4 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ0)
1814, 17eqeltrrd 2894 . . 3 ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
198, 18mtand 815 . 2 (𝜑 → ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
20 eldmgm 25610 . 2 ((𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ ((𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0))
215, 19, 20sylanbrc 586 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∖ cdif 3881  (class class class)co 7139  ℂcc 10528   + caddc 10533   − cmin 10863  -cneg 10864  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974 This theorem is referenced by:  lgamcvg2  25643  gamp1  25646
 Copyright terms: Public domain W3C validator