Theorem dmgmaddnn0 26157

Description: If 𝐴 is not a nonpositive integer and 𝑁 is a nonnegative integer, then 𝐴 + 𝑁 is also not a nonpositive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmgmn0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
dmgmaddnn0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
dmgmaddnn0	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Proof of Theorem dmgmaddnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmgmn0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2	1	eldifad 3903	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		dmgmaddnn0.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 12278	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
5	2, 4	addcld 10978	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ)
6		eldmgm 26152	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
7	1, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
8	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
9	2, 4	negdi2d 11329	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 + 𝑁) = (-𝐴 − 𝑁))
10	9	oveq1d 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝐴 − 𝑁) + 𝑁))
11	2	negcld 11302	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
12	11, 4	npcand 11319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-𝐴 − 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
13	10, 12	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
16	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17	15, 16	nn0addcld 12280	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ0)
18	14, 17	eqeltrrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
19	8, 18	mtand 812	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
20		eldmgm 26152	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ ((𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0))
21	5, 19, 20	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3888  (class class class)co 7268  ℂcc 10853   + caddc 10858   − cmin 11188  -cneg 11189  ℕcn 11956  ℕ₀cn0 12216  ℤcz 12302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303

This theorem is referenced by:  lgamcvg2  26185  gamp1  26188