Theorem dmgmaddnn0 26991

Description: If 𝐴 is not a nonpositive integer and 𝑁 is a nonnegative integer, then 𝐴 + 𝑁 is also not a nonpositive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmgmn0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
dmgmaddnn0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
dmgmaddnn0	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Proof of Theorem dmgmaddnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmgmn0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2	1	eldifad 3911	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		dmgmaddnn0.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 12462	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
5	2, 4	addcld 11149	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ)
6		eldmgm 26986	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
7	1, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
8	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
9	2, 4	negdi2d 11504	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 + 𝑁) = (-𝐴 − 𝑁))
10	9	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝐴 − 𝑁) + 𝑁))
11	2	negcld 11477	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
12	11, 4	npcand 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-𝐴 − 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
13	10, 12	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
16	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17	15, 16	nn0addcld 12464	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ0)
18	14, 17	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
19	8, 18	mtand 815	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
20		eldmgm 26986	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ ((𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0))
21	5, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3896  (class class class)co 7356  ℂcc 11022   + caddc 11027   − cmin 11362  -cneg 11363  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487

This theorem is referenced by:  lgamcvg2  27019  gamp1  27022