Theorem nn0addcld 12507

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387   + caddc 11071  ℕ₀cn0 12442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-nn 12187  df-n0 12443

This theorem is referenced by:  expaddz  14071  bccl  14287  splval2  14722  relexpaddg  15019  rtrclreclem3  15026  mertenslem1  15850  bitsmod  16406  bitsinv1lem  16411  sadcaddlem  16427  sadadd2lem  16429  sadadd  16437  sadass  16441  smupp1  16450  smumul  16463  pcpremul  16814  gzabssqcl  16912  mul4sq  16925  4sqlem12  16927  4sqlem14  16929  4sqlem16  16931  cycsubm  19134  sylow1lem1  19528  efgcpbllemb  19685  mhpmulcl  22036  psdmvr  22056  coe1tmmul2fv  22164  coe1pwmulfv  22166  chfacfscmulgsum  22747  chfacfpmmulfsupp  22750  chfacfpmmulgsum  22751  cpmadugsumlemF  22763  itgpowd  25957  mdegmullem  25983  coe1mul3  26004  deg1mul2  26019  ply1domn  26029  ply1divex  26042  plymullem  26121  coeeulem  26129  dgrmul  26176  dvntaylp  26279  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  dmgmaddnn0  26937  mumullem2  27090  lgseisenlem2  27287  2sqlem8  27337  vtxdgfisnn0  29403  crctcshwlkn0lem5  29744  crctcshwlkn0  29751  eucrctshift  30172  omndmul2  33026  fldext2chn  33718  madjusmdetlem4  33820  oddpwdc  34345  iwrdsplit  34378  fiblem  34389  fibp1  34392  signshlen  34581  fsum2dsub  34598  reprsuc  34606  breprexplemc  34623  subfacp1lem6  35172  faclim2  35735  lcmineqlem3  42019  lcmineqlem11  42027  lcmineqlem18  42034  lcmineqlem21  42037  lcmineqlem22  42038  2np3bcnp1  42132  2ap1caineq  42133  sticksstones6  42139  sticksstones7  42140  sticksstones12a  42145  sticksstones14  42148  sticksstones22  42156  aks6d1c6lem3  42160  bcle2d  42167  aks6d1c7lem1  42168  aks6d1c7lem2  42169  frlmfzoccat  42493  3cubeslem3l  42674  3cubeslem3r  42675  mon1psubm  43188  radcnvrat  44303  binomcxplemnn0  44338  binomcxplemfrat  44340  itgsinexp  45953  wallispilem5  46067  wallispi2lem2  46070  stirlinglem5  46076  stirlinglem7  46078  fourierdlem48  46152  elaa2lem  46231  etransclem32  46264  etransclem46  46278  ormkglobd  46873  sqrtpwpw2p  47539  fmtnofac2lem  47569  fmtnofac2  47570  dignn0flhalflem2  48605  itcovalpclem2  48660  itcovalt2lem2lem1  48662  itcovalt2lem2lem2  48663  itcovalt2lem1  48664