Theorem nn0addcld 12483

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369   + caddc 11047  ℕ₀cn0 12418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-nn 12163  df-n0 12419

This theorem is referenced by:  expaddz  14047  bccl  14263  splval2  14698  relexpaddg  14995  rtrclreclem3  15002  mertenslem1  15826  bitsmod  16382  bitsinv1lem  16387  sadcaddlem  16403  sadadd2lem  16405  sadadd  16413  sadass  16417  smupp1  16426  smumul  16439  pcpremul  16790  gzabssqcl  16888  mul4sq  16901  4sqlem12  16903  4sqlem14  16905  4sqlem16  16907  cycsubm  19116  sylow1lem1  19512  efgcpbllemb  19669  omndmul2  20047  mhpmulcl  22069  psdmvr  22089  coe1tmmul2fv  22197  coe1pwmulfv  22199  chfacfscmulgsum  22780  chfacfpmmulfsupp  22783  chfacfpmmulgsum  22784  cpmadugsumlemF  22796  itgpowd  25990  mdegmullem  26016  coe1mul3  26037  deg1mul2  26052  ply1domn  26062  ply1divex  26075  plymullem  26154  coeeulem  26162  dgrmul  26209  dvntaylp  26312  taylthlem2  26315  taylthlem2OLD  26316  dmgmaddnn0  26970  mumullem2  27123  lgseisenlem2  27320  2sqlem8  27370  vtxdgfisnn0  29456  crctcshwlkn0lem5  29794  crctcshwlkn0  29801  eucrctshift  30222  fldext2chn  33711  madjusmdetlem4  33813  oddpwdc  34338  iwrdsplit  34371  fiblem  34382  fibp1  34385  signshlen  34574  fsum2dsub  34591  reprsuc  34599  breprexplemc  34616  subfacp1lem6  35165  faclim2  35728  lcmineqlem3  42012  lcmineqlem11  42020  lcmineqlem18  42027  lcmineqlem21  42030  lcmineqlem22  42031  2np3bcnp1  42125  2ap1caineq  42126  sticksstones6  42132  sticksstones7  42133  sticksstones12a  42138  sticksstones14  42141  sticksstones22  42149  aks6d1c6lem3  42153  bcle2d  42160  aks6d1c7lem1  42161  aks6d1c7lem2  42162  frlmfzoccat  42486  3cubeslem3l  42667  3cubeslem3r  42668  mon1psubm  43181  radcnvrat  44296  binomcxplemnn0  44331  binomcxplemfrat  44333  itgsinexp  45946  wallispilem5  46060  wallispi2lem2  46063  stirlinglem5  46069  stirlinglem7  46071  fourierdlem48  46145  elaa2lem  46224  etransclem32  46257  etransclem46  46271  ormkglobd  46866  sqrtpwpw2p  47532  fmtnofac2lem  47562  fmtnofac2  47563  dignn0flhalflem2  48598  itcovalpclem2  48653  itcovalt2lem2lem1  48655  itcovalt2lem2lem2  48656  itcovalt2lem1  48657