Theorem nn0addcld 12591

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12561	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431   + caddc 11158  ℕ₀cn0 12526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-nn 12267  df-n0 12527

This theorem is referenced by:  expaddz  14147  bccl  14361  splval2  14795  relexpaddg  15092  rtrclreclem3  15099  mertenslem1  15920  bitsmod  16473  bitsinv1lem  16478  sadcaddlem  16494  sadadd2lem  16496  sadadd  16504  sadass  16508  smupp1  16517  smumul  16530  pcpremul  16881  gzabssqcl  16979  mul4sq  16992  4sqlem12  16994  4sqlem14  16996  4sqlem16  16998  cycsubm  19220  sylow1lem1  19616  efgcpbllemb  19773  mhpmulcl  22153  psdmvr  22173  coe1tmmul2fv  22281  coe1pwmulfv  22283  chfacfscmulgsum  22866  chfacfpmmulfsupp  22869  chfacfpmmulgsum  22870  cpmadugsumlemF  22882  itgpowd  26091  mdegmullem  26117  coe1mul3  26138  deg1mul2  26153  ply1domn  26163  ply1divex  26176  plymullem  26255  coeeulem  26263  dgrmul  26310  dvntaylp  26413  taylthlem2  26416  taylthlem2OLD  26417  dmgmaddnn0  27070  mumullem2  27223  lgseisenlem2  27420  2sqlem8  27470  vtxdgfisnn0  29493  crctcshwlkn0lem5  29834  crctcshwlkn0  29841  eucrctshift  30262  omndmul2  33089  fldext2chn  33769  madjusmdetlem4  33829  oddpwdc  34356  iwrdsplit  34389  fiblem  34400  fibp1  34403  signshlen  34605  fsum2dsub  34622  reprsuc  34630  breprexplemc  34647  subfacp1lem6  35190  faclim2  35748  lcmineqlem3  42032  lcmineqlem11  42040  lcmineqlem18  42047  lcmineqlem21  42050  lcmineqlem22  42051  2np3bcnp1  42145  2ap1caineq  42146  sticksstones6  42152  sticksstones7  42153  sticksstones12a  42158  sticksstones14  42161  sticksstones22  42169  aks6d1c6lem3  42173  bcle2d  42180  aks6d1c7lem1  42181  aks6d1c7lem2  42182  frlmfzoccat  42515  3cubeslem3l  42697  3cubeslem3r  42698  mon1psubm  43211  radcnvrat  44333  binomcxplemnn0  44368  binomcxplemfrat  44370  itgsinexp  45970  wallispilem5  46084  wallispi2lem2  46087  stirlinglem5  46093  stirlinglem7  46095  fourierdlem48  46169  elaa2lem  46248  etransclem32  46281  etransclem46  46295  ormkglobd  46890  sqrtpwpw2p  47525  fmtnofac2lem  47555  fmtnofac2  47556  dignn0flhalflem2  48537  itcovalpclem2  48592  itcovalt2lem2lem1  48594  itcovalt2lem2lem2  48595  itcovalt2lem1  48596