Theorem nn0addcld 12493

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360   + caddc 11032  ℕ₀cn0 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-nn 12166  df-n0 12429

This theorem is referenced by:  expaddz  14059  bccl  14275  splval2  14710  relexpaddg  15006  rtrclreclem3  15013  mertenslem1  15840  bitsmod  16396  bitsinv1lem  16401  sadcaddlem  16417  sadadd2lem  16419  sadadd  16427  sadass  16431  smupp1  16440  smumul  16453  pcpremul  16805  gzabssqcl  16903  mul4sq  16916  4sqlem12  16918  4sqlem14  16920  4sqlem16  16922  cycsubm  19168  sylow1lem1  19564  efgcpbllemb  19721  omndmul2  20099  mhpmulcl  22125  psdmvr  22145  coe1tmmul2fv  22253  coe1pwmulfv  22255  chfacfscmulgsum  22835  chfacfpmmulfsupp  22838  chfacfpmmulgsum  22839  cpmadugsumlemF  22851  itgpowd  26027  mdegmullem  26053  coe1mul3  26074  deg1mul2  26089  ply1domn  26099  ply1divex  26112  plymullem  26191  coeeulem  26199  dgrmul  26245  dvntaylp  26348  taylthlem2  26351  taylthlem2OLD  26352  dmgmaddnn0  27004  mumullem2  27157  lgseisenlem2  27353  2sqlem8  27403  vtxdgfisnn0  29559  crctcshwlkn0lem5  29897  crctcshwlkn0  29904  eucrctshift  30328  fldext2chn  33888  madjusmdetlem4  33990  oddpwdc  34514  iwrdsplit  34547  fiblem  34558  fibp1  34561  signshlen  34750  fsum2dsub  34767  reprsuc  34775  breprexplemc  34792  subfacp1lem6  35383  faclim2  35946  lcmineqlem3  42484  lcmineqlem11  42492  lcmineqlem18  42499  lcmineqlem21  42502  lcmineqlem22  42503  2np3bcnp1  42597  2ap1caineq  42598  sticksstones6  42604  sticksstones7  42605  sticksstones12a  42610  sticksstones14  42613  sticksstones22  42621  aks6d1c6lem3  42625  bcle2d  42632  aks6d1c7lem1  42633  aks6d1c7lem2  42634  frlmfzoccat  42964  3cubeslem3l  43132  3cubeslem3r  43133  mon1psubm  43645  radcnvrat  44759  binomcxplemnn0  44794  binomcxplemfrat  44796  itgsinexp  46401  wallispilem5  46515  wallispi2lem2  46518  stirlinglem5  46524  stirlinglem7  46526  fourierdlem48  46600  elaa2lem  46679  etransclem32  46712  etransclem46  46726  ormkglobd  47321  sqrtpwpw2p  48013  fmtnofac2lem  48043  fmtnofac2  48044  dignn0flhalflem2  49104  itcovalpclem2  49159  itcovalt2lem2lem1  49161  itcovalt2lem2lem2  49162  itcovalt2lem1  49163