Theorem nn0addcld 12589

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431   + caddc 11156  ℕ₀cn0 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-n0 12525

This theorem is referenced by:  expaddz  14144  bccl  14358  splval2  14792  relexpaddg  15089  rtrclreclem3  15096  mertenslem1  15917  bitsmod  16470  bitsinv1lem  16475  sadcaddlem  16491  sadadd2lem  16493  sadadd  16501  sadass  16505  smupp1  16514  smumul  16527  pcpremul  16877  gzabssqcl  16975  mul4sq  16988  4sqlem12  16990  4sqlem14  16992  4sqlem16  16994  cycsubm  19233  sylow1lem1  19631  efgcpbllemb  19788  mhpmulcl  22171  coe1tmmul2fv  22297  coe1pwmulfv  22299  chfacfscmulgsum  22882  chfacfpmmulfsupp  22885  chfacfpmmulgsum  22886  cpmadugsumlemF  22898  itgpowd  26106  mdegmullem  26132  coe1mul3  26153  deg1mul2  26168  ply1domn  26178  ply1divex  26191  plymullem  26270  coeeulem  26278  dgrmul  26325  dvntaylp  26428  taylthlem2  26431  taylthlem2OLD  26432  dmgmaddnn0  27085  mumullem2  27238  lgseisenlem2  27435  2sqlem8  27485  vtxdgfisnn0  29508  crctcshwlkn0lem5  29844  crctcshwlkn0  29851  eucrctshift  30272  omndmul2  33072  fldext2chn  33734  madjusmdetlem4  33791  oddpwdc  34336  iwrdsplit  34369  fiblem  34380  fibp1  34383  signshlen  34584  fsum2dsub  34601  reprsuc  34609  breprexplemc  34626  subfacp1lem6  35170  faclim2  35728  lcmineqlem3  42013  lcmineqlem11  42021  lcmineqlem18  42028  lcmineqlem21  42031  lcmineqlem22  42032  2np3bcnp1  42126  2ap1caineq  42127  sticksstones6  42133  sticksstones7  42134  sticksstones12a  42139  sticksstones14  42142  sticksstones22  42150  aks6d1c6lem3  42154  bcle2d  42161  aks6d1c7lem1  42162  aks6d1c7lem2  42163  frlmfzoccat  42492  3cubeslem3l  42674  3cubeslem3r  42675  mon1psubm  43188  radcnvrat  44310  binomcxplemnn0  44345  binomcxplemfrat  44347  itgsinexp  45911  wallispilem5  46025  wallispi2lem2  46028  stirlinglem5  46034  stirlinglem7  46036  fourierdlem48  46110  elaa2lem  46189  etransclem32  46222  etransclem46  46236  sqrtpwpw2p  47463  fmtnofac2lem  47493  fmtnofac2  47494  dignn0flhalflem2  48466  itcovalpclem2  48521  itcovalt2lem2lem1  48523  itcovalt2lem2lem2  48524  itcovalt2lem1  48525