MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0addcld 11956
Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0red.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0addcld (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0addcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
3 nn0addcl 11929 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  (class class class)co 7149   + caddc 10538  0cn0 11894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-ltxr 10678  df-nn 11635  df-n0 11895
This theorem is referenced by:  expaddz  13478  bccl  13687  splval2  14119  relexpaddg  14412  rtrclreclem3  14419  mertenslem1  15240  bitsmod  15783  bitsinv1lem  15788  sadcaddlem  15804  sadadd2lem  15806  sadadd  15814  sadass  15818  smupp1  15827  smumul  15840  pcpremul  16178  gzabssqcl  16275  mul4sq  16288  4sqlem12  16290  4sqlem14  16292  4sqlem16  16294  cycsubm  18345  sylow1lem1  18723  efgcpbllemb  18881  coe1tmmul2fv  20446  coe1pwmulfv  20448  chfacfscmulgsum  21468  chfacfpmmulfsupp  21471  chfacfpmmulgsum  21472  cpmadugsumlemF  21484  itgpowd  24656  mdegmullem  24682  coe1mul3  24703  deg1mul2  24718  ply1domn  24727  ply1divex  24740  plymullem  24816  coeeulem  24824  dgrmul  24870  dvntaylp  24969  taylthlem2  24972  dmgmaddnn0  25615  mumullem2  25768  lgseisenlem2  25963  2sqlem8  26013  vtxdgfisnn0  27268  crctcshwlkn0lem5  27603  crctcshwlkn0  27610  eucrctshift  28031  omndmul2  30745  madjusmdetlem4  31155  oddpwdc  31669  iwrdsplit  31702  fiblem  31713  fibp1  31716  signshlen  31917  fsum2dsub  31935  reprsuc  31943  breprexplemc  31960  subfacp1lem6  32489  faclim2  33037  lcmineqlem3  39267  lcmineqlem11  39275  lcmineqlem18  39282  lcmineqlem21  39285  lcmineqlem22  39286  2np3bcnp1  39294  2ap1caineq  39295  frlmfzoccat  39372  3cubeslem3l  39543  3cubeslem3r  39544  mon1psubm  40066  radcnvrat  40938  binomcxplemnn0  40973  binomcxplemfrat  40975  itgsinexp  42523  wallispilem5  42637  wallispi2lem2  42640  stirlinglem5  42646  stirlinglem7  42648  fourierdlem48  42722  elaa2lem  42801  etransclem32  42834  etransclem46  42848  sqrtpwpw2p  43981  fmtnofac2lem  44011  fmtnofac2  44012  dignn0flhalflem2  44956  itcovalpclem2  45011  itcovalt2lem2lem1  45013  itcovalt2lem2lem2  45014  itcovalt2lem1  45015
  Copyright terms: Public domain W3C validator