Theorem nn0addcld 12538

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12509	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411   + caddc 11115  ℕ₀cn0 12474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255  df-nn 12215  df-n0 12475

This theorem is referenced by:  expaddz  14074  bccl  14284  splval2  14709  relexpaddg  15002  rtrclreclem3  15009  mertenslem1  15832  bitsmod  16379  bitsinv1lem  16384  sadcaddlem  16400  sadadd2lem  16402  sadadd  16410  sadass  16414  smupp1  16423  smumul  16436  pcpremul  16778  gzabssqcl  16876  mul4sq  16889  4sqlem12  16891  4sqlem14  16893  4sqlem16  16895  cycsubm  19081  sylow1lem1  19468  efgcpbllemb  19625  mhpmulcl  21698  coe1tmmul2fv  21807  coe1pwmulfv  21809  chfacfscmulgsum  22369  chfacfpmmulfsupp  22372  chfacfpmmulgsum  22373  cpmadugsumlemF  22385  itgpowd  25574  mdegmullem  25603  coe1mul3  25624  deg1mul2  25639  ply1domn  25648  ply1divex  25661  plymullem  25737  coeeulem  25745  dgrmul  25791  dvntaylp  25890  taylthlem2  25893  dmgmaddnn0  26538  mumullem2  26691  lgseisenlem2  26886  2sqlem8  26936  vtxdgfisnn0  28770  crctcshwlkn0lem5  29106  crctcshwlkn0  29113  eucrctshift  29534  omndmul2  32271  madjusmdetlem4  32879  oddpwdc  33422  iwrdsplit  33455  fiblem  33466  fibp1  33469  signshlen  33670  fsum2dsub  33688  reprsuc  33696  breprexplemc  33713  subfacp1lem6  34245  faclim2  34787  lcmineqlem3  40982  lcmineqlem11  40990  lcmineqlem18  40997  lcmineqlem21  41000  lcmineqlem22  41001  2np3bcnp1  41046  2ap1caineq  41047  sticksstones6  41053  sticksstones7  41054  sticksstones12a  41059  sticksstones14  41062  sticksstones22  41070  frlmfzoccat  41165  3cubeslem3l  41506  3cubeslem3r  41507  mon1psubm  42030  radcnvrat  43155  binomcxplemnn0  43190  binomcxplemfrat  43192  itgsinexp  44750  wallispilem5  44864  wallispi2lem2  44867  stirlinglem5  44873  stirlinglem7  44875  fourierdlem48  44949  elaa2lem  45028  etransclem32  45061  etransclem46  45075  sqrtpwpw2p  46285  fmtnofac2lem  46315  fmtnofac2  46316  dignn0flhalflem2  47380  itcovalpclem2  47435  itcovalt2lem2lem1  47437  itcovalt2lem2lem2  47438  itcovalt2lem1  47439