Theorem nn0addcld 12596

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12566	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416   + caddc 11130  ℕ₀cn0 12531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-nn 12261  df-n0 12532

This theorem is used by:  expaddz  14172  bccl  14388  splval2  14828  relexpaddg  15128  rtrclreclem3  15135  mertenslem1  15975  bitsmod  16530  bitsinv1lem  16535  sadcaddlem  16551  sadadd2lem  16553  sadadd  16561  sadass  16565  smupp1  16574  smumul  16587  pcpremul  16939  gzabssqcl  17037  mul4sq  17050  4sqlem12  17052  4sqlem14  17054  4sqlem16  17056  cycsubm  19331  sylow1lem1  19726  efgcpbllemb  19883  omndmul2  20261  mhpmulcl  22378  psdmvr  22398  coe1tmmul2fv  22505  coe1pwmulfv  22507  chfacfscmulgsum  23086  chfacfpmmulfsupp  23089  chfacfpmmulgsum  23090  cpmadugsumlemF  23102  itgpowd  26279  mdegmullem  26305  coe1mul3  26326  deg1mul2  26341  ply1domn  26351  ply1divex  26364  plymullem  26443  coeeulem  26451  dgrmul  26497  dvntaylp  26604  taylthlem2  26607  dmgmaddnn0  27261  mumullem2  27414  lgseisenlem2  27610  2sqlem8  27660  vtxdgfisnn0  29921  crctcshwlkn0lem5  30268  crctcshwlkn0  30275  eucrctshift  30709  fldext2chn  34225  madjusmdetlem4  34327  oddpwdc  34852  iwrdsplit  34885  fiblem  34896  fibp1  34899  signshlen  35085  fsum2dsub  35102  reprsuc  35110  breprexplemc  35127  subfacp1lem6  35751  faclim2  36314  lcmineqlem3  42884  lcmineqlem11  42892  lcmineqlem18  42899  lcmineqlem21  42902  lcmineqlem22  42903  2np3bcnp1  42997  2ap1caineq  42998  sticksstones6  43004  sticksstones7  43005  sticksstones12a  43010  sticksstones14  43013  sticksstones22  43021  aks6d1c6lem3  43025  bcle2d  43032  aks6d1c7lem1  43033  aks6d1c7lem2  43034  frlmfzoccat  43380  3cubeslem3l  43518  3cubeslem3r  43519  mon1psubm  44027  radcnvrat  45125  binomcxplemnn0  45160  binomcxplemfrat  45162  itgsinexp  46770  wallispilem5  46884  wallispi2lem2  46887  stirlinglem5  46893  stirlinglem7  46895  fourierdlem48  46969  elaa2lem  47048  etransclem32  47081  etransclem46  47095  ormkglobd  47692  sqrtpwpw2p  48428  fmtnofac2lem  48458  fmtnofac2  48459  dignn0flhalflem2  49533  itcovalpclem2  49588  itcovalt2lem2lem1  49590  itcovalt2lem2lem2  49591  itcovalt2lem1  49592