Theorem nn0addcld 11947

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 11920	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135   + caddc 10529  ℕ₀cn0 11885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-nn 11626  df-n0 11886

This theorem is referenced by:  expaddz  13469  bccl  13678  splval2  14110  relexpaddg  14404  rtrclreclem3  14411  mertenslem1  15232  bitsmod  15775  bitsinv1lem  15780  sadcaddlem  15796  sadadd2lem  15798  sadadd  15806  sadass  15810  smupp1  15819  smumul  15832  pcpremul  16170  gzabssqcl  16267  mul4sq  16280  4sqlem12  16282  4sqlem14  16284  4sqlem16  16286  cycsubm  18337  sylow1lem1  18715  efgcpbllemb  18873  coe1tmmul2fv  20907  coe1pwmulfv  20909  chfacfscmulgsum  21465  chfacfpmmulfsupp  21468  chfacfpmmulgsum  21469  cpmadugsumlemF  21481  itgpowd  24653  mdegmullem  24679  coe1mul3  24700  deg1mul2  24715  ply1domn  24724  ply1divex  24737  plymullem  24813  coeeulem  24821  dgrmul  24867  dvntaylp  24966  taylthlem2  24969  dmgmaddnn0  25612  mumullem2  25765  lgseisenlem2  25960  2sqlem8  26010  vtxdgfisnn0  27265  crctcshwlkn0lem5  27600  crctcshwlkn0  27607  eucrctshift  28028  omndmul2  30763  madjusmdetlem4  31183  oddpwdc  31722  iwrdsplit  31755  fiblem  31766  fibp1  31769  signshlen  31970  fsum2dsub  31988  reprsuc  31996  breprexplemc  32013  subfacp1lem6  32545  faclim2  33093  lcmineqlem3  39319  lcmineqlem11  39327  lcmineqlem18  39334  lcmineqlem21  39337  lcmineqlem22  39338  2np3bcnp1  39348  2ap1caineq  39349  frlmfzoccat  39439  3cubeslem3l  39627  3cubeslem3r  39628  mon1psubm  40150  radcnvrat  41018  binomcxplemnn0  41053  binomcxplemfrat  41055  itgsinexp  42597  wallispilem5  42711  wallispi2lem2  42714  stirlinglem5  42720  stirlinglem7  42722  fourierdlem48  42796  elaa2lem  42875  etransclem32  42908  etransclem46  42922  sqrtpwpw2p  44055  fmtnofac2lem  44085  fmtnofac2  44086  dignn0flhalflem2  45030  itcovalpclem2  45085  itcovalt2lem2lem1  45087  itcovalt2lem2lem2  45088  itcovalt2lem1  45089