Theorem nn0addcld 12626

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7409   + caddc 11160  ℕ₀cn0 12561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-ltxr 11305  df-nn 12291  df-n0 12562

This theorem is used by:  expaddz  14203  bccl  14419  splval2  14859  relexpaddg  15159  rtrclreclem3  15166  mertenslem1  16006  bitsmod  16559  bitsinv1lem  16564  sadcaddlem  16580  sadadd2lem  16582  sadadd  16590  sadass  16594  smupp1  16603  smumul  16616  pcpremul  16968  gzabssqcl  17066  mul4sq  17079  4sqlem12  17081  4sqlem14  17083  4sqlem16  17085  cycsubm  19364  sylow1lem1  19759  efgcpbllemb  19916  omndmul2  20294  mhpmulcl  22417  psdmvr  22437  coe1tmmul2fv  22544  coe1pwmulfv  22546  chfacfscmulgsum  23125  chfacfpmmulfsupp  23128  chfacfpmmulgsum  23129  cpmadugsumlemF  23141  itgpowd  26317  mdegmullem  26343  coe1mul3  26364  deg1mul2  26379  ply1domn  26389  ply1divex  26402  plymullem  26482  coeeulem  26490  dgrmul  26536  dvntaylp  26647  taylthlem2  26650  dmgmaddnn0  27303  mumullem2  27456  lgseisenlem2  27652  2sqlem8  27702  vtxdgfisnn0  29975  crctcshwlkn0lem5  30322  crctcshwlkn0  30329  eucrctshift  30763  fldext2chn  34279  madjusmdetlem4  34381  oddpwdc  34906  iwrdsplit  34939  fiblem  34950  fibp1  34953  signshlen  35139  fsum2dsub  35156  reprsuc  35164  breprexplemc  35181  subfacp1lem6  35865  faclim2  36428  lcmineqlem3  42995  lcmineqlem11  43003  lcmineqlem18  43010  lcmineqlem21  43013  lcmineqlem22  43014  2np3bcnp1  43108  2ap1caineq  43109  sticksstones6  43115  sticksstones7  43116  sticksstones12a  43121  sticksstones14  43124  sticksstones22  43132  aks6d1c6lem3  43136  bcle2d  43143  aks6d1c7lem1  43144  aks6d1c7lem2  43145  frlmfzoccat  43491  3cubeslem3l  43629  3cubeslem3r  43630  mon1psubm  44138  radcnvrat  45236  binomcxplemnn0  45271  binomcxplemfrat  45273  itgsinexp  46881  wallispilem5  46995  wallispi2lem2  46998  stirlinglem5  47004  stirlinglem7  47006  fourierdlem48  47080  elaa2lem  47159  etransclem32  47192  etransclem46  47206  ormkglobd  47803  sqrtpwpw2p  48539  fmtnofac2lem  48569  fmtnofac2  48570  dignn0flhalflem2  49644  itcovalpclem2  49699  itcovalt2lem2lem1  49701  itcovalt2lem2lem2  49702  itcovalt2lem1  49703