Theorem nn0addcld 12569

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12539	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411   + caddc 11103  ℕ₀cn0 12504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-nn 12234  df-n0 12505

This theorem is referenced by:  expaddz  14142  bccl  14358  splval2  14794  relexpaddg  15090  rtrclreclem3  15097  mertenslem1  15938  bitsmod  16494  bitsinv1lem  16499  sadcaddlem  16515  sadadd2lem  16517  sadadd  16525  sadass  16529  smupp1  16538  smumul  16551  pcpremul  16903  gzabssqcl  17001  mul4sq  17014  4sqlem12  17016  4sqlem14  17018  4sqlem16  17020  cycsubm  19273  sylow1lem1  19668  efgcpbllemb  19825  omndmul2  20203  mhpmulcl  22281  psdmvr  22301  coe1tmmul2fv  22408  coe1pwmulfv  22410  chfacfscmulgsum  22986  chfacfpmmulfsupp  22989  chfacfpmmulgsum  22990  cpmadugsumlemF  23002  itgpowd  26178  mdegmullem  26204  coe1mul3  26225  deg1mul2  26240  ply1domn  26250  ply1divex  26263  plymullem  26342  coeeulem  26350  dgrmul  26396  dvntaylp  26500  taylthlem2  26503  dmgmaddnn0  27157  mumullem2  27310  lgseisenlem2  27506  2sqlem8  27556  vtxdgfisnn0  29766  crctcshwlkn0lem5  30104  crctcshwlkn0  30111  eucrctshift  30535  fldext2chn  34063  madjusmdetlem4  34165  oddpwdc  34689  iwrdsplit  34722  fiblem  34733  fibp1  34736  signshlen  34922  fsum2dsub  34939  reprsuc  34947  breprexplemc  34964  subfacp1lem6  35610  faclim2  36173  lcmineqlem3  42723  lcmineqlem11  42731  lcmineqlem18  42738  lcmineqlem21  42741  lcmineqlem22  42742  2np3bcnp1  42836  2ap1caineq  42837  sticksstones6  42843  sticksstones7  42844  sticksstones12a  42849  sticksstones14  42852  sticksstones22  42860  aks6d1c6lem3  42864  bcle2d  42871  aks6d1c7lem1  42872  aks6d1c7lem2  42873  frlmfzoccat  43204  3cubeslem3l  43344  3cubeslem3r  43345  mon1psubm  43853  radcnvrat  44951  binomcxplemnn0  44986  binomcxplemfrat  44988  itgsinexp  46596  wallispilem5  46710  wallispi2lem2  46713  stirlinglem5  46719  stirlinglem7  46721  fourierdlem48  46795  elaa2lem  46874  etransclem32  46907  etransclem46  46921  ormkglobd  47518  sqrtpwpw2p  48214  fmtnofac2lem  48244  fmtnofac2  48245  dignn0flhalflem2  49316  itcovalpclem2  49371  itcovalt2lem2lem1  49373  itcovalt2lem2lem2  49374  itcovalt2lem1  49375