Theorem nn0addcld 12227

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255   + caddc 10805  ℕ₀cn0 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-nn 11904  df-n0 12164

This theorem is referenced by:  expaddz  13755  bccl  13964  splval2  14398  relexpaddg  14692  rtrclreclem3  14699  mertenslem1  15524  bitsmod  16071  bitsinv1lem  16076  sadcaddlem  16092  sadadd2lem  16094  sadadd  16102  sadass  16106  smupp1  16115  smumul  16128  pcpremul  16472  gzabssqcl  16570  mul4sq  16583  4sqlem12  16585  4sqlem14  16587  4sqlem16  16589  cycsubm  18736  sylow1lem1  19118  efgcpbllemb  19276  mhpmulcl  21249  coe1tmmul2fv  21359  coe1pwmulfv  21361  chfacfscmulgsum  21917  chfacfpmmulfsupp  21920  chfacfpmmulgsum  21921  cpmadugsumlemF  21933  itgpowd  25119  mdegmullem  25148  coe1mul3  25169  deg1mul2  25184  ply1domn  25193  ply1divex  25206  plymullem  25282  coeeulem  25290  dgrmul  25336  dvntaylp  25435  taylthlem2  25438  dmgmaddnn0  26081  mumullem2  26234  lgseisenlem2  26429  2sqlem8  26479  vtxdgfisnn0  27745  crctcshwlkn0lem5  28080  crctcshwlkn0  28087  eucrctshift  28508  omndmul2  31240  madjusmdetlem4  31682  oddpwdc  32221  iwrdsplit  32254  fiblem  32265  fibp1  32268  signshlen  32469  fsum2dsub  32487  reprsuc  32495  breprexplemc  32512  subfacp1lem6  33047  faclim2  33620  lcmineqlem3  39967  lcmineqlem11  39975  lcmineqlem18  39982  lcmineqlem21  39985  lcmineqlem22  39986  2np3bcnp1  40028  2ap1caineq  40029  sticksstones6  40035  sticksstones7  40036  sticksstones12a  40041  sticksstones14  40044  sticksstones22  40052  frlmfzoccat  40162  3cubeslem3l  40424  3cubeslem3r  40425  mon1psubm  40947  radcnvrat  41821  binomcxplemnn0  41856  binomcxplemfrat  41858  itgsinexp  43386  wallispilem5  43500  wallispi2lem2  43503  stirlinglem5  43509  stirlinglem7  43511  fourierdlem48  43585  elaa2lem  43664  etransclem32  43697  etransclem46  43711  sqrtpwpw2p  44878  fmtnofac2lem  44908  fmtnofac2  44909  dignn0flhalflem2  45850  itcovalpclem2  45905  itcovalt2lem2lem1  45907  itcovalt2lem2lem2  45908  itcovalt2lem1  45909