Theorem nn0addcld 12543

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12514	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412   + caddc 11119  ℕ₀cn0 12479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-nn 12220  df-n0 12480

This theorem is referenced by:  expaddz  14079  bccl  14289  splval2  14714  relexpaddg  15007  rtrclreclem3  15014  mertenslem1  15837  bitsmod  16384  bitsinv1lem  16389  sadcaddlem  16405  sadadd2lem  16407  sadadd  16415  sadass  16419  smupp1  16428  smumul  16441  pcpremul  16783  gzabssqcl  16881  mul4sq  16894  4sqlem12  16896  4sqlem14  16898  4sqlem16  16900  cycsubm  19124  sylow1lem1  19514  efgcpbllemb  19671  mhpmulcl  22002  coe1tmmul2fv  22121  coe1pwmulfv  22123  chfacfscmulgsum  22683  chfacfpmmulfsupp  22686  chfacfpmmulgsum  22687  cpmadugsumlemF  22699  itgpowd  25906  mdegmullem  25935  coe1mul3  25956  deg1mul2  25971  ply1domn  25980  ply1divex  25993  plymullem  26069  coeeulem  26077  dgrmul  26124  dvntaylp  26223  taylthlem2  26226  dmgmaddnn0  26874  mumullem2  27027  lgseisenlem2  27224  2sqlem8  27274  vtxdgfisnn0  29167  crctcshwlkn0lem5  29503  crctcshwlkn0  29510  eucrctshift  29931  omndmul2  32668  madjusmdetlem4  33276  oddpwdc  33819  iwrdsplit  33852  fiblem  33863  fibp1  33866  signshlen  34067  fsum2dsub  34085  reprsuc  34093  breprexplemc  34110  subfacp1lem6  34642  faclim2  35190  gg-taylthlem2  35634  lcmineqlem3  41366  lcmineqlem11  41374  lcmineqlem18  41381  lcmineqlem21  41384  lcmineqlem22  41385  2np3bcnp1  41430  2ap1caineq  41431  sticksstones6  41437  sticksstones7  41438  sticksstones12a  41443  sticksstones14  41446  sticksstones22  41454  frlmfzoccat  41549  3cubeslem3l  41890  3cubeslem3r  41891  mon1psubm  42414  radcnvrat  43539  binomcxplemnn0  43574  binomcxplemfrat  43576  itgsinexp  45133  wallispilem5  45247  wallispi2lem2  45250  stirlinglem5  45256  stirlinglem7  45258  fourierdlem48  45332  elaa2lem  45411  etransclem32  45444  etransclem46  45458  sqrtpwpw2p  46668  fmtnofac2lem  46698  fmtnofac2  46699  dignn0flhalflem2  47467  itcovalpclem2  47522  itcovalt2lem2lem1  47524  itcovalt2lem2lem2  47525  itcovalt2lem1  47526