Theorem nn0addcld 12548

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12518	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-nn 12213  df-n0 12484

This theorem is referenced by:  expaddz  14121  bccl  14337  splval2  14772  relexpaddg  15068  rtrclreclem3  15075  mertenslem1  15916  bitsmod  16472  bitsinv1lem  16477  sadcaddlem  16493  sadadd2lem  16495  sadadd  16503  sadass  16507  smupp1  16516  smumul  16529  pcpremul  16881  gzabssqcl  16979  mul4sq  16992  4sqlem12  16994  4sqlem14  16996  4sqlem16  16998  cycsubm  19245  sylow1lem1  19640  efgcpbllemb  19797  omndmul2  20175  mhpmulcl  22216  psdmvr  22236  coe1tmmul2fv  22343  coe1pwmulfv  22345  chfacfscmulgsum  22922  chfacfpmmulfsupp  22925  chfacfpmmulgsum  22926  cpmadugsumlemF  22938  itgpowd  26114  mdegmullem  26140  coe1mul3  26161  deg1mul2  26176  ply1domn  26186  ply1divex  26199  plymullem  26278  coeeulem  26286  dgrmul  26332  dvntaylp  26436  taylthlem2  26439  dmgmaddnn0  27093  mumullem2  27246  lgseisenlem2  27442  2sqlem8  27492  vtxdgfisnn0  29678  crctcshwlkn0lem5  30016  crctcshwlkn0  30023  eucrctshift  30447  fldext2chn  34027  madjusmdetlem4  34129  oddpwdc  34653  iwrdsplit  34686  fiblem  34697  fibp1  34700  signshlen  34886  fsum2dsub  34903  reprsuc  34911  breprexplemc  34928  subfacp1lem6  35540  faclim2  36103  lcmineqlem3  42653  lcmineqlem11  42661  lcmineqlem18  42668  lcmineqlem21  42671  lcmineqlem22  42672  2np3bcnp1  42766  2ap1caineq  42767  sticksstones6  42773  sticksstones7  42774  sticksstones12a  42779  sticksstones14  42782  sticksstones22  42790  aks6d1c6lem3  42794  bcle2d  42801  aks6d1c7lem1  42802  aks6d1c7lem2  42803  frlmfzoccat  43132  3cubeslem3l  43272  3cubeslem3r  43273  mon1psubm  43781  radcnvrat  44895  binomcxplemnn0  44930  binomcxplemfrat  44932  itgsinexp  46534  wallispilem5  46648  wallispi2lem2  46651  stirlinglem5  46657  stirlinglem7  46659  fourierdlem48  46733  elaa2lem  46812  etransclem32  46845  etransclem46  46859  ormkglobd  47456  sqrtpwpw2p  48152  fmtnofac2lem  48182  fmtnofac2  48183  dignn0flhalflem2  49243  itcovalpclem2  49298  itcovalt2lem2lem1  49300  itcovalt2lem2lem2  49301  itcovalt2lem1  49302