Theorem nn0addcld 12306

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284   + caddc 10883  ℕ₀cn0 12242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-nn 11983  df-n0 12243

This theorem is referenced by:  expaddz  13836  bccl  14045  splval2  14479  relexpaddg  14773  rtrclreclem3  14780  mertenslem1  15605  bitsmod  16152  bitsinv1lem  16157  sadcaddlem  16173  sadadd2lem  16175  sadadd  16183  sadass  16187  smupp1  16196  smumul  16209  pcpremul  16553  gzabssqcl  16651  mul4sq  16664  4sqlem12  16666  4sqlem14  16668  4sqlem16  16670  cycsubm  18830  sylow1lem1  19212  efgcpbllemb  19370  mhpmulcl  21348  coe1tmmul2fv  21458  coe1pwmulfv  21460  chfacfscmulgsum  22018  chfacfpmmulfsupp  22021  chfacfpmmulgsum  22022  cpmadugsumlemF  22034  itgpowd  25223  mdegmullem  25252  coe1mul3  25273  deg1mul2  25288  ply1domn  25297  ply1divex  25310  plymullem  25386  coeeulem  25394  dgrmul  25440  dvntaylp  25539  taylthlem2  25542  dmgmaddnn0  26185  mumullem2  26338  lgseisenlem2  26533  2sqlem8  26583  vtxdgfisnn0  27851  crctcshwlkn0lem5  28188  crctcshwlkn0  28195  eucrctshift  28616  omndmul2  31347  madjusmdetlem4  31789  oddpwdc  32330  iwrdsplit  32363  fiblem  32374  fibp1  32377  signshlen  32578  fsum2dsub  32596  reprsuc  32604  breprexplemc  32621  subfacp1lem6  33156  faclim2  33723  lcmineqlem3  40046  lcmineqlem11  40054  lcmineqlem18  40061  lcmineqlem21  40064  lcmineqlem22  40065  2np3bcnp1  40107  2ap1caineq  40108  sticksstones6  40114  sticksstones7  40115  sticksstones12a  40120  sticksstones14  40123  sticksstones22  40131  frlmfzoccat  40243  3cubeslem3l  40515  3cubeslem3r  40516  mon1psubm  41038  radcnvrat  41939  binomcxplemnn0  41974  binomcxplemfrat  41976  itgsinexp  43503  wallispilem5  43617  wallispi2lem2  43620  stirlinglem5  43626  stirlinglem7  43628  fourierdlem48  43702  elaa2lem  43781  etransclem32  43814  etransclem46  43828  sqrtpwpw2p  45001  fmtnofac2lem  45031  fmtnofac2  45032  dignn0flhalflem2  45973  itcovalpclem2  46028  itcovalt2lem2lem1  46030  itcovalt2lem2lem2  46031  itcovalt2lem1  46032