Theorem nn0addcld 11958

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 11931	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7155   + caddc 10539  ℕ₀cn0 11896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-nn 11638  df-n0 11897

This theorem is referenced by:  expaddz  13472  bccl  13681  splval2  14118  relexpaddg  14411  rtrclreclem3  14418  mertenslem1  15239  bitsmod  15784  bitsinv1lem  15789  sadcaddlem  15805  sadadd2lem  15807  sadadd  15815  sadass  15819  smupp1  15828  smumul  15841  pcpremul  16179  gzabssqcl  16276  mul4sq  16289  4sqlem12  16291  4sqlem14  16293  4sqlem16  16295  cycsubm  18344  sylow1lem1  18722  efgcpbllemb  18880  coe1tmmul2fv  20445  coe1pwmulfv  20447  chfacfscmulgsum  21467  chfacfpmmulfsupp  21470  chfacfpmmulgsum  21471  cpmadugsumlemF  21483  mdegmullem  24671  coe1mul3  24692  deg1mul2  24707  ply1domn  24716  ply1divex  24729  plymullem  24805  coeeulem  24813  dgrmul  24859  dvntaylp  24958  taylthlem2  24961  dmgmaddnn0  25603  mumullem2  25756  lgseisenlem2  25951  2sqlem8  26001  vtxdgfisnn0  27256  crctcshwlkn0lem5  27591  crctcshwlkn0  27598  eucrctshift  28021  omndmul2  30713  madjusmdetlem4  31095  oddpwdc  31612  iwrdsplit  31645  fiblem  31656  fibp1  31659  signshlen  31860  fsum2dsub  31878  reprsuc  31886  breprexplemc  31903  subfacp1lem6  32432  faclim2  32980  frlmfzoccat  39142  3cubeslem3l  39281  3cubeslem3r  39282  mon1psubm  39804  itgpowd  39819  radcnvrat  40644  binomcxplemnn0  40679  binomcxplemfrat  40681  itgsinexp  42238  wallispilem5  42353  wallispi2lem2  42356  stirlinglem5  42362  stirlinglem7  42364  fourierdlem48  42438  elaa2lem  42517  etransclem32  42550  etransclem46  42564  sqrtpwpw2p  43699  fmtnofac2lem  43729  fmtnofac2  43730  dignn0flhalflem2  44675