Theorem nn0addcld 12480

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370   + caddc 11043  ℕ₀cn0 12415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-ltxr 11185  df-nn 12160  df-n0 12416

This theorem is referenced by:  expaddz  14043  bccl  14259  splval2  14694  relexpaddg  14990  rtrclreclem3  14997  mertenslem1  15821  bitsmod  16377  bitsinv1lem  16382  sadcaddlem  16398  sadadd2lem  16400  sadadd  16408  sadass  16412  smupp1  16421  smumul  16434  pcpremul  16785  gzabssqcl  16883  mul4sq  16896  4sqlem12  16898  4sqlem14  16900  4sqlem16  16902  cycsubm  19148  sylow1lem1  19544  efgcpbllemb  19701  omndmul2  20079  mhpmulcl  22109  psdmvr  22129  coe1tmmul2fv  22237  coe1pwmulfv  22239  chfacfscmulgsum  22821  chfacfpmmulfsupp  22824  chfacfpmmulgsum  22825  cpmadugsumlemF  22837  itgpowd  26030  mdegmullem  26056  coe1mul3  26077  deg1mul2  26092  ply1domn  26102  ply1divex  26115  plymullem  26194  coeeulem  26202  dgrmul  26249  dvntaylp  26352  taylthlem2  26355  taylthlem2OLD  26356  dmgmaddnn0  27010  mumullem2  27163  lgseisenlem2  27360  2sqlem8  27410  vtxdgfisnn0  29567  crctcshwlkn0lem5  29905  crctcshwlkn0  29912  eucrctshift  30336  fldext2chn  33912  madjusmdetlem4  34014  oddpwdc  34538  iwrdsplit  34571  fiblem  34582  fibp1  34585  signshlen  34774  fsum2dsub  34791  reprsuc  34799  breprexplemc  34816  subfacp1lem6  35407  faclim2  35970  lcmineqlem3  42430  lcmineqlem11  42438  lcmineqlem18  42445  lcmineqlem21  42448  lcmineqlem22  42449  2np3bcnp1  42543  2ap1caineq  42544  sticksstones6  42550  sticksstones7  42551  sticksstones12a  42556  sticksstones14  42559  sticksstones22  42567  aks6d1c6lem3  42571  bcle2d  42578  aks6d1c7lem1  42579  aks6d1c7lem2  42580  frlmfzoccat  42904  3cubeslem3l  43072  3cubeslem3r  43073  mon1psubm  43585  radcnvrat  44699  binomcxplemnn0  44734  binomcxplemfrat  44736  itgsinexp  46342  wallispilem5  46456  wallispi2lem2  46459  stirlinglem5  46465  stirlinglem7  46467  fourierdlem48  46541  elaa2lem  46620  etransclem32  46653  etransclem46  46667  ormkglobd  47262  sqrtpwpw2p  47927  fmtnofac2lem  47957  fmtnofac2  47958  dignn0flhalflem2  49005  itcovalpclem2  49060  itcovalt2lem2lem1  49062  itcovalt2lem2lem2  49063  itcovalt2lem1  49064