Theorem nn0addcld 12575

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12545	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-nn 12240  df-n0 12511

This theorem is used by:  expaddz  14149  bccl  14365  splval2  14801  relexpaddg  15097  rtrclreclem3  15104  mertenslem1  15945  bitsmod  16500  bitsinv1lem  16505  sadcaddlem  16521  sadadd2lem  16523  sadadd  16531  sadass  16535  smupp1  16544  smumul  16557  pcpremul  16909  gzabssqcl  17007  mul4sq  17020  4sqlem12  17022  4sqlem14  17024  4sqlem16  17026  cycsubm  19279  sylow1lem1  19674  efgcpbllemb  19831  omndmul2  20209  mhpmulcl  22323  psdmvr  22343  coe1tmmul2fv  22450  coe1pwmulfv  22452  chfacfscmulgsum  23028  chfacfpmmulfsupp  23031  chfacfpmmulgsum  23032  cpmadugsumlemF  23044  itgpowd  26220  mdegmullem  26246  coe1mul3  26267  deg1mul2  26282  ply1domn  26292  ply1divex  26305  plymullem  26384  coeeulem  26392  dgrmul  26438  dvntaylp  26545  taylthlem2  26548  dmgmaddnn0  27202  mumullem2  27355  lgseisenlem2  27551  2sqlem8  27601  vtxdgfisnn0  29836  crctcshwlkn0lem5  30174  crctcshwlkn0  30181  eucrctshift  30605  fldext2chn  34127  madjusmdetlem4  34229  oddpwdc  34753  iwrdsplit  34786  fiblem  34797  fibp1  34800  signshlen  34986  fsum2dsub  35003  reprsuc  35011  breprexplemc  35028  subfacp1lem6  35685  faclim2  36248  lcmineqlem3  42826  lcmineqlem11  42834  lcmineqlem18  42841  lcmineqlem21  42844  lcmineqlem22  42845  2np3bcnp1  42939  2ap1caineq  42940  sticksstones6  42946  sticksstones7  42947  sticksstones12a  42952  sticksstones14  42955  sticksstones22  42963  aks6d1c6lem3  42967  bcle2d  42974  aks6d1c7lem1  42975  aks6d1c7lem2  42976  frlmfzoccat  43307  3cubeslem3l  43445  3cubeslem3r  43446  mon1psubm  43954  radcnvrat  45052  binomcxplemnn0  45087  binomcxplemfrat  45089  itgsinexp  46697  wallispilem5  46811  wallispi2lem2  46814  stirlinglem5  46820  stirlinglem7  46822  fourierdlem48  46896  elaa2lem  46975  etransclem32  47008  etransclem46  47022  ormkglobd  47619  sqrtpwpw2p  48318  fmtnofac2lem  48348  fmtnofac2  48349  dignn0flhalflem2  49424  itcovalpclem2  49479  itcovalt2lem2lem1  49481  itcovalt2lem2lem2  49482  itcovalt2lem1  49483