Theorem nn0addcld 12470

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12440	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360   + caddc 11033  ℕ₀cn0 12405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-nn 12150  df-n0 12406

This theorem is referenced by:  expaddz  14033  bccl  14249  splval2  14684  relexpaddg  14980  rtrclreclem3  14987  mertenslem1  15811  bitsmod  16367  bitsinv1lem  16372  sadcaddlem  16388  sadadd2lem  16390  sadadd  16398  sadass  16402  smupp1  16411  smumul  16424  pcpremul  16775  gzabssqcl  16873  mul4sq  16886  4sqlem12  16888  4sqlem14  16890  4sqlem16  16892  cycsubm  19135  sylow1lem1  19531  efgcpbllemb  19688  omndmul2  20066  mhpmulcl  22096  psdmvr  22116  coe1tmmul2fv  22224  coe1pwmulfv  22226  chfacfscmulgsum  22808  chfacfpmmulfsupp  22811  chfacfpmmulgsum  22812  cpmadugsumlemF  22824  itgpowd  26017  mdegmullem  26043  coe1mul3  26064  deg1mul2  26079  ply1domn  26089  ply1divex  26102  plymullem  26181  coeeulem  26189  dgrmul  26236  dvntaylp  26339  taylthlem2  26342  taylthlem2OLD  26343  dmgmaddnn0  26997  mumullem2  27150  lgseisenlem2  27347  2sqlem8  27397  vtxdgfisnn0  29553  crctcshwlkn0lem5  29891  crctcshwlkn0  29898  eucrctshift  30322  fldext2chn  33887  madjusmdetlem4  33989  oddpwdc  34513  iwrdsplit  34546  fiblem  34557  fibp1  34560  signshlen  34749  fsum2dsub  34766  reprsuc  34774  breprexplemc  34791  subfacp1lem6  35381  faclim2  35944  lcmineqlem3  42353  lcmineqlem11  42361  lcmineqlem18  42368  lcmineqlem21  42371  lcmineqlem22  42372  2np3bcnp1  42466  2ap1caineq  42467  sticksstones6  42473  sticksstones7  42474  sticksstones12a  42479  sticksstones14  42482  sticksstones22  42490  aks6d1c6lem3  42494  bcle2d  42501  aks6d1c7lem1  42502  aks6d1c7lem2  42503  frlmfzoccat  42827  3cubeslem3l  42995  3cubeslem3r  42996  mon1psubm  43508  radcnvrat  44622  binomcxplemnn0  44657  binomcxplemfrat  44659  itgsinexp  46266  wallispilem5  46380  wallispi2lem2  46383  stirlinglem5  46389  stirlinglem7  46391  fourierdlem48  46465  elaa2lem  46544  etransclem32  46577  etransclem46  46591  ormkglobd  47186  sqrtpwpw2p  47851  fmtnofac2lem  47881  fmtnofac2  47882  dignn0flhalflem2  48929  itcovalpclem2  48984  itcovalt2lem2lem1  48986  itcovalt2lem2lem2  48987  itcovalt2lem1  48988