Theorem nn0addcld 12532

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12503	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-nn 12209  df-n0 12469

This theorem is referenced by:  expaddz  14068  bccl  14278  splval2  14703  relexpaddg  14996  rtrclreclem3  15003  mertenslem1  15826  bitsmod  16373  bitsinv1lem  16378  sadcaddlem  16394  sadadd2lem  16396  sadadd  16404  sadass  16408  smupp1  16417  smumul  16430  pcpremul  16772  gzabssqcl  16870  mul4sq  16883  4sqlem12  16885  4sqlem14  16887  4sqlem16  16889  cycsubm  19073  sylow1lem1  19460  efgcpbllemb  19617  mhpmulcl  21683  coe1tmmul2fv  21791  coe1pwmulfv  21793  chfacfscmulgsum  22353  chfacfpmmulfsupp  22356  chfacfpmmulgsum  22357  cpmadugsumlemF  22369  itgpowd  25558  mdegmullem  25587  coe1mul3  25608  deg1mul2  25623  ply1domn  25632  ply1divex  25645  plymullem  25721  coeeulem  25729  dgrmul  25775  dvntaylp  25874  taylthlem2  25877  dmgmaddnn0  26520  mumullem2  26673  lgseisenlem2  26868  2sqlem8  26918  vtxdgfisnn0  28721  crctcshwlkn0lem5  29057  crctcshwlkn0  29064  eucrctshift  29485  omndmul2  32217  madjusmdetlem4  32798  oddpwdc  33341  iwrdsplit  33374  fiblem  33385  fibp1  33388  signshlen  33589  fsum2dsub  33607  reprsuc  33615  breprexplemc  33632  subfacp1lem6  34164  faclim2  34706  lcmineqlem3  40884  lcmineqlem11  40892  lcmineqlem18  40899  lcmineqlem21  40902  lcmineqlem22  40903  2np3bcnp1  40948  2ap1caineq  40949  sticksstones6  40955  sticksstones7  40956  sticksstones12a  40961  sticksstones14  40964  sticksstones22  40972  frlmfzoccat  41076  3cubeslem3l  41409  3cubeslem3r  41410  mon1psubm  41933  radcnvrat  43058  binomcxplemnn0  43093  binomcxplemfrat  43095  itgsinexp  44657  wallispilem5  44771  wallispi2lem2  44774  stirlinglem5  44780  stirlinglem7  44782  fourierdlem48  44856  elaa2lem  44935  etransclem32  44968  etransclem46  44982  sqrtpwpw2p  46192  fmtnofac2lem  46222  fmtnofac2  46223  dignn0flhalflem2  47255  itcovalpclem2  47310  itcovalt2lem2lem1  47312  itcovalt2lem2lem2  47313  itcovalt2lem1  47314