Theorem nn0addcld 12497

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12467	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 591	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360   + caddc 11036  ℕ₀cn0 12432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-nn 12170  df-n0 12433

This theorem is referenced by:  expaddz  14063  bccl  14279  splval2  14714  relexpaddg  15010  rtrclreclem3  15017  mertenslem1  15844  bitsmod  16400  bitsinv1lem  16405  sadcaddlem  16421  sadadd2lem  16423  sadadd  16431  sadass  16435  smupp1  16444  smumul  16457  pcpremul  16809  gzabssqcl  16907  mul4sq  16920  4sqlem12  16922  4sqlem14  16924  4sqlem16  16926  cycsubm  19172  sylow1lem1  19568  efgcpbllemb  19725  omndmul2  20103  mhpmulcl  22141  psdmvr  22161  coe1tmmul2fv  22268  coe1pwmulfv  22270  chfacfscmulgsum  22847  chfacfpmmulfsupp  22850  chfacfpmmulgsum  22851  cpmadugsumlemF  22863  itgpowd  26039  mdegmullem  26065  coe1mul3  26086  deg1mul2  26101  ply1domn  26111  ply1divex  26124  plymullem  26203  coeeulem  26211  dgrmul  26257  dvntaylp  26358  taylthlem2  26361  dmgmaddnn0  27012  mumullem2  27165  lgseisenlem2  27361  2sqlem8  27411  vtxdgfisnn0  29566  crctcshwlkn0lem5  29904  crctcshwlkn0  29911  eucrctshift  30335  fldext2chn  33924  madjusmdetlem4  34026  oddpwdc  34550  iwrdsplit  34583  fiblem  34594  fibp1  34597  signshlen  34786  fsum2dsub  34803  reprsuc  34811  breprexplemc  34828  subfacp1lem6  35428  faclim2  35991  lcmineqlem3  42531  lcmineqlem11  42539  lcmineqlem18  42546  lcmineqlem21  42549  lcmineqlem22  42550  2np3bcnp1  42644  2ap1caineq  42645  sticksstones6  42651  sticksstones7  42652  sticksstones12a  42657  sticksstones14  42660  sticksstones22  42668  aks6d1c6lem3  42672  bcle2d  42679  aks6d1c7lem1  42680  aks6d1c7lem2  42681  frlmfzoccat  43010  3cubeslem3l  43150  3cubeslem3r  43151  mon1psubm  43659  radcnvrat  44773  binomcxplemnn0  44808  binomcxplemfrat  44810  itgsinexp  46412  wallispilem5  46526  wallispi2lem2  46529  stirlinglem5  46535  stirlinglem7  46537  fourierdlem48  46611  elaa2lem  46690  etransclem32  46723  etransclem46  46737  ormkglobd  47334  sqrtpwpw2p  48030  fmtnofac2lem  48060  fmtnofac2  48061  dignn0flhalflem2  49121  itcovalpclem2  49176  itcovalt2lem2lem1  49178  itcovalt2lem2lem2  49179  itcovalt2lem1  49180