Theorem nn0addcld 12502

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-nn 12175  df-n0 12438

This theorem is referenced by:  expaddz  14068  bccl  14284  splval2  14719  relexpaddg  15015  rtrclreclem3  15022  mertenslem1  15849  bitsmod  16405  bitsinv1lem  16410  sadcaddlem  16426  sadadd2lem  16428  sadadd  16436  sadass  16440  smupp1  16449  smumul  16462  pcpremul  16814  gzabssqcl  16912  mul4sq  16925  4sqlem12  16927  4sqlem14  16929  4sqlem16  16931  cycsubm  19177  sylow1lem1  19573  efgcpbllemb  19730  omndmul2  20108  mhpmulcl  22115  psdmvr  22135  coe1tmmul2fv  22243  coe1pwmulfv  22245  chfacfscmulgsum  22825  chfacfpmmulfsupp  22828  chfacfpmmulgsum  22829  cpmadugsumlemF  22841  itgpowd  26017  mdegmullem  26043  coe1mul3  26064  deg1mul2  26079  ply1domn  26089  ply1divex  26102  plymullem  26181  coeeulem  26189  dgrmul  26235  dvntaylp  26336  taylthlem2  26339  dmgmaddnn0  26990  mumullem2  27143  lgseisenlem2  27339  2sqlem8  27389  vtxdgfisnn0  29544  crctcshwlkn0lem5  29882  crctcshwlkn0  29889  eucrctshift  30313  fldext2chn  33872  madjusmdetlem4  33974  oddpwdc  34498  iwrdsplit  34531  fiblem  34542  fibp1  34545  signshlen  34734  fsum2dsub  34751  reprsuc  34759  breprexplemc  34776  subfacp1lem6  35367  faclim2  35930  lcmineqlem3  42470  lcmineqlem11  42478  lcmineqlem18  42485  lcmineqlem21  42488  lcmineqlem22  42489  2np3bcnp1  42583  2ap1caineq  42584  sticksstones6  42590  sticksstones7  42591  sticksstones12a  42596  sticksstones14  42599  sticksstones22  42607  aks6d1c6lem3  42611  bcle2d  42618  aks6d1c7lem1  42619  aks6d1c7lem2  42620  frlmfzoccat  42950  3cubeslem3l  43118  3cubeslem3r  43119  mon1psubm  43627  radcnvrat  44741  binomcxplemnn0  44776  binomcxplemfrat  44778  itgsinexp  46383  wallispilem5  46497  wallispi2lem2  46500  stirlinglem5  46506  stirlinglem7  46508  fourierdlem48  46582  elaa2lem  46661  etransclem32  46694  etransclem46  46708  ormkglobd  47305  sqrtpwpw2p  48001  fmtnofac2lem  48031  fmtnofac2  48032  dignn0flhalflem2  49092  itcovalpclem2  49147  itcovalt2lem2lem1  49149  itcovalt2lem2lem2  49150  itcovalt2lem1  49151