MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0addcld 12478
Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0red.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0addcld (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0addcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
3 nn0addcl 12449 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
41, 2, 3syl2anc 585 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7358   + caddc 11055  0cn0 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-nn 12155  df-n0 12415
This theorem is referenced by:  expaddz  14013  bccl  14223  splval2  14646  relexpaddg  14939  rtrclreclem3  14946  mertenslem1  15770  bitsmod  16317  bitsinv1lem  16322  sadcaddlem  16338  sadadd2lem  16340  sadadd  16348  sadass  16352  smupp1  16361  smumul  16374  pcpremul  16716  gzabssqcl  16814  mul4sq  16827  4sqlem12  16829  4sqlem14  16831  4sqlem16  16833  cycsubm  18996  sylow1lem1  19381  efgcpbllemb  19538  mhpmulcl  21542  coe1tmmul2fv  21652  coe1pwmulfv  21654  chfacfscmulgsum  22212  chfacfpmmulfsupp  22215  chfacfpmmulgsum  22216  cpmadugsumlemF  22228  itgpowd  25417  mdegmullem  25446  coe1mul3  25467  deg1mul2  25482  ply1domn  25491  ply1divex  25504  plymullem  25580  coeeulem  25588  dgrmul  25634  dvntaylp  25733  taylthlem2  25736  dmgmaddnn0  26379  mumullem2  26532  lgseisenlem2  26727  2sqlem8  26777  vtxdgfisnn0  28426  crctcshwlkn0lem5  28762  crctcshwlkn0  28769  eucrctshift  29190  omndmul2  31923  madjusmdetlem4  32414  oddpwdc  32957  iwrdsplit  32990  fiblem  33001  fibp1  33004  signshlen  33205  fsum2dsub  33223  reprsuc  33231  breprexplemc  33248  subfacp1lem6  33782  faclim2  34324  lcmineqlem3  40491  lcmineqlem11  40499  lcmineqlem18  40506  lcmineqlem21  40509  lcmineqlem22  40510  2np3bcnp1  40555  2ap1caineq  40556  sticksstones6  40562  sticksstones7  40563  sticksstones12a  40568  sticksstones14  40571  sticksstones22  40579  frlmfzoccat  40683  3cubeslem3l  41012  3cubeslem3r  41013  mon1psubm  41536  radcnvrat  42601  binomcxplemnn0  42636  binomcxplemfrat  42638  itgsinexp  44203  wallispilem5  44317  wallispi2lem2  44320  stirlinglem5  44326  stirlinglem7  44328  fourierdlem48  44402  elaa2lem  44481  etransclem32  44514  etransclem46  44528  sqrtpwpw2p  45737  fmtnofac2lem  45767  fmtnofac2  45768  dignn0flhalflem2  46709  itcovalpclem2  46764  itcovalt2lem2lem1  46766  itcovalt2lem2lem2  46767  itcovalt2lem1  46768
  Copyright terms: Public domain W3C validator