Theorem nn0addcld 11711

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 11684	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 579	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6924   + caddc 10277  ℕ₀cn0 11647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-ltxr 10418  df-nn 11380  df-n0 11648

This theorem is referenced by:  expaddz  13227  bccl  13433  ccatrn  13685  swrdccat2  13784  splval2  13908  splval2OLD  13909  relexpaddg  14206  rtrclreclem3  14213  mertenslem1  15028  bitsmod  15574  bitsinv1lem  15579  sadcaddlem  15595  sadadd2lem  15597  sadadd  15605  sadass  15609  smupp1  15618  smumul  15631  pcpremul  15963  gzabssqcl  16060  mul4sq  16073  4sqlem12  16075  4sqlem14  16077  4sqlem16  16079  sylow1lem1  18408  efgcpbllemb  18565  coe1tmmul2fv  20055  coe1pwmulfv  20057  chfacfscmulgsum  21083  chfacfpmmulfsupp  21086  chfacfpmmulgsum  21087  cpmadugsumlemF  21099  mdegmullem  24286  coe1mul3  24307  deg1mul2  24322  ply1domn  24331  ply1divex  24344  plymullem  24420  coeeulem  24428  dgrmul  24474  dvntaylp  24573  taylthlem2  24576  dmgmaddnn0  25216  mumullem2  25369  lgseisenlem2  25564  2sqlem8  25614  vtxdgfisnn0  26840  crctcshwlkn0lem5  27180  crctcshwlkn0  27187  eucrctshift  27664  omndmul2  30282  madjusmdetlem4  30502  oddpwdc  31022  iwrdsplit  31055  iwrdsplitOLD  31056  fiblem  31067  fibp1  31070  signshlen  31277  fsum2dsub  31295  reprsuc  31303  breprexplemc  31320  subfacp1lem6  31774  faclim2  32236  mon1psubm  38757  itgpowd  38772  radcnvrat  39483  binomcxplemnn0  39518  binomcxplemfrat  39520  itgsinexp  41112  wallispilem5  41227  wallispi2lem2  41230  stirlinglem5  41236  stirlinglem7  41238  fourierdlem48  41312  elaa2lem  41391  etransclem32  41424  etransclem46  41438  sqrtpwpw2p  42485  fmtnofac2lem  42515  fmtnofac2  42516  dignn0flhalflem2  43439