Theorem nn0addcld 12698

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12668	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443   + caddc 11230  ℕ₀cn0 12633

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-nn 12363  df-n0 12634

This theorem is used by:  expaddz  14276  bccl  14493  splval2  14934  relexpaddg  15235  rtrclreclem3  15242  mertenslem1  16082  bitsmod  16635  bitsinv1lem  16640  sadcaddlem  16656  sadadd2lem  16658  sadadd  16666  sadass  16670  smupp1  16679  smumul  16692  pcpremul  17050  gzabssqcl  17148  mul4sq  17161  4sqlem12  17163  4sqlem14  17165  4sqlem16  17167  cycsubm  19446  sylow1lem1  19842  efgcpbllemb  19999  omndmul2  20377  mhpmulcl  22500  psdmvr  22520  coe1tmmul2fv  22627  coe1pwmulfv  22629  chfacfscmulgsum  23208  chfacfpmmulfsupp  23211  chfacfpmmulgsum  23212  cpmadugsumlemF  23224  itgpowd  26400  mdegmullem  26426  coe1mul3  26447  deg1mul2  26462  ply1domn  26472  ply1divex  26485  plymullem  26565  coeeulem  26573  dgrmul  26619  dvntaylp  26728  taylthlem2  26731  dmgmaddnn0  27384  mumullem2  27537  lgseisenlem2  27733  2sqlem8  27783  vtxdgfisnn0  30086  crctcshwlkn0lem5  30433  crctcshwlkn0  30440  eucrctshift  30874  fldext2chn  34430  madjusmdetlem4  34532  oddpwdc  35056  iwrdsplit  35089  fiblem  35100  fibp1  35103  signshlen  35289  fsum2dsub  35306  reprsuc  35314  breprexplemc  35331  subfacp1lem6  36117  faclim2  36691  lcmineqlem3  43273  lcmineqlem11  43281  lcmineqlem18  43288  lcmineqlem21  43291  lcmineqlem22  43292  2np3bcnp1  43386  2ap1caineq  43387  sticksstones6  43393  sticksstones7  43394  sticksstones12a  43399  sticksstones14  43402  sticksstones22  43410  aks6d1c6lem3  43414  bcle2d  43421  aks6d1c7lem1  43422  aks6d1c7lem2  43423  frlmfzoccat  43765  3cubeslem3l  43889  3cubeslem3r  43890  mon1psubm  44393  radcnvrat  45490  binomcxplemnn0  45525  binomcxplemfrat  45527  itgsinexp  47170  wallispilem5  47284  wallispi2lem2  47287  stirlinglem5  47293  stirlinglem7  47295  fourierdlem48  47369  elaa2lem  47448  etransclem32  47481  etransclem46  47495  ormkglobd  48092  sqrtpwpw2p  48828  fmtnofac2lem  48858  fmtnofac2  48859  dignn0flhalflem2  49933  itcovalpclem2  49988  itcovalt2lem2lem1  49990  itcovalt2lem2lem2  49991  itcovalt2lem1  49992