Theorem nn0addcld 12514

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 12484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-nn 12194  df-n0 12450

This theorem is referenced by:  expaddz  14078  bccl  14294  splval2  14729  relexpaddg  15026  rtrclreclem3  15033  mertenslem1  15857  bitsmod  16413  bitsinv1lem  16418  sadcaddlem  16434  sadadd2lem  16436  sadadd  16444  sadass  16448  smupp1  16457  smumul  16470  pcpremul  16821  gzabssqcl  16919  mul4sq  16932  4sqlem12  16934  4sqlem14  16936  4sqlem16  16938  cycsubm  19141  sylow1lem1  19535  efgcpbllemb  19692  mhpmulcl  22043  psdmvr  22063  coe1tmmul2fv  22171  coe1pwmulfv  22173  chfacfscmulgsum  22754  chfacfpmmulfsupp  22757  chfacfpmmulgsum  22758  cpmadugsumlemF  22770  itgpowd  25964  mdegmullem  25990  coe1mul3  26011  deg1mul2  26026  ply1domn  26036  ply1divex  26049  plymullem  26128  coeeulem  26136  dgrmul  26183  dvntaylp  26286  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  dmgmaddnn0  26944  mumullem2  27097  lgseisenlem2  27294  2sqlem8  27344  vtxdgfisnn0  29410  crctcshwlkn0lem5  29751  crctcshwlkn0  29758  eucrctshift  30179  omndmul2  33033  fldext2chn  33725  madjusmdetlem4  33827  oddpwdc  34352  iwrdsplit  34385  fiblem  34396  fibp1  34399  signshlen  34588  fsum2dsub  34605  reprsuc  34613  breprexplemc  34630  subfacp1lem6  35179  faclim2  35742  lcmineqlem3  42026  lcmineqlem11  42034  lcmineqlem18  42041  lcmineqlem21  42044  lcmineqlem22  42045  2np3bcnp1  42139  2ap1caineq  42140  sticksstones6  42146  sticksstones7  42147  sticksstones12a  42152  sticksstones14  42155  sticksstones22  42163  aks6d1c6lem3  42167  bcle2d  42174  aks6d1c7lem1  42175  aks6d1c7lem2  42176  frlmfzoccat  42500  3cubeslem3l  42681  3cubeslem3r  42682  mon1psubm  43195  radcnvrat  44310  binomcxplemnn0  44345  binomcxplemfrat  44347  itgsinexp  45960  wallispilem5  46074  wallispi2lem2  46077  stirlinglem5  46083  stirlinglem7  46085  fourierdlem48  46159  elaa2lem  46238  etransclem32  46271  etransclem46  46285  ormkglobd  46880  sqrtpwpw2p  47543  fmtnofac2lem  47573  fmtnofac2  47574  dignn0flhalflem2  48609  itcovalpclem2  48664  itcovalt2lem2lem1  48666  itcovalt2lem2lem2  48667  itcovalt2lem1  48668