Theorem gamp1 25755

Description: The functional equation of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
gamp1	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (Γ‘(𝐴 + 1)) = ((Γ‘𝐴) · 𝐴))

Proof of Theorem gamp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgamp1 25754	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘(𝐴 + 1)) = ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
2	1	fveq2d 6667	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘(𝐴 + 1))) = (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))
3		lgamcl 25738	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
4		eldifi 4034	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
6	5	dmgmn0 25723	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → 𝐴 ≠ 0)
7	4, 6	logcld 25274	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
8		efadd 15508	. . . 4 ⊢ (((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))))
9	3, 7, 8	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))))
10		eflog 25280	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11	4, 6, 10	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
12	11	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · 𝐴))
13	2, 9, 12	3eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘(𝐴 + 1))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · 𝐴))
14		1nn0 11963	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → 1 ∈ ℕ0)
16	5, 15	dmgmaddnn0 25724	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (𝐴 + 1) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
17		eflgam 25742	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘(𝐴 + 1))) = (Γ‘(𝐴 + 1)))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘(𝐴 + 1))) = (Γ‘(𝐴 + 1)))
19		eflgam 25742	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
20	19	oveq1d 7171	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · 𝐴) = ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
21	13, 18, 20	3eqtr3d 2801	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (Γ‘(𝐴 + 1)) = ((Γ‘𝐴) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∖ cdif 3857  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593  ℕcn 11687  ℕ₀cn0 11947  ℤcz 12033  expce 15476  logclog 25258  log Γclgam 25713  Γcgam 25714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-oadd 8122  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-dju 9376  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ioc 12797  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-bc 13726  df-hash 13754  df-shft 14487  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-limsup 14889  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-ef 15482  df-sin 15484  df-cos 15485  df-tan 15486  df-pi 15487  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-rest 16767  df-topn 16768  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-topgen 16788  df-pt 16789  df-prds 16792  df-xrs 16846  df-qtop 16851  df-imas 16852  df-xps 16854  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-mulg 18305  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-fbas 20176  df-fg 20177  df-cnfld 20180  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-nei 21811  df-lp 21849  df-perf 21850  df-cn 21940  df-cnp 21941  df-haus 22028  df-cmp 22100  df-tx 22275  df-hmeo 22468  df-fil 22559  df-fm 22651  df-flim 22652  df-flf 22653  df-xms 23035  df-ms 23036  df-tms 23037  df-cncf 23592  df-limc 24578  df-dv 24579  df-ulm 25084  df-log 25260  df-cxp 25261  df-lgam 25716  df-gam 25717

This theorem is referenced by:  facgam  25763