Theorem dp20u 32031

Description: Add a zero in the tenths (lower) place. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dp20u.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
dp20u	⊢ _𝐴0 = 𝐴

Proof of Theorem dp20u

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32025	. 2 ⊢ _𝐴0 = (𝐴 + (0 / ;10))
2		10nn0 12691	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12479	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 11224	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5		0re 11212	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		10pos 12690	. . . . 5 ⊢ 0 < ;10
7	5, 6	gtneii 11322	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
8		div0 11898	. . . 4 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0) → (0 / ;10) = 0)
9	4, 7, 8	mp2an 690	. . 3 ⊢ (0 / ;10) = 0
10	9	oveq2i 7416	. 2 ⊢ (𝐴 + (0 / ;10)) = (𝐴 + 0)
11		dp20u.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12480	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
13	12	addridi 11397	. 2 ⊢ (𝐴 + 0) = 𝐴
14	1, 10, 13	3eqtri 2764	1 ⊢ _𝐴0 = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   / cdiv 11867  ℕ₀cn0 12468  ;cdc 12673  _cdp2 32024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-dec 12674  df-dp2 32025

This theorem is referenced by:  rpdp2cl2  32036  dp0u  32054  1mhdrd  32069  hgt750lem2  33652