Theorem 1mhdrd 33482

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12621	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 12630	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12622	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 12841	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 12821	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 12841	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 12821	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 12443	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addridi 11497	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 12816	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12874	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 33478	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 33444	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7431	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 33467	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2787	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  9c9 12404  ;cdc 12814  _cdp2 33437  .cdp 33454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-dec 12815  df-dp2 33438  df-dp 33455

This theorem is used by: (None)