Theorem 1mhdrd 31239

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12298	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 12307	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12299	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 12509	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 12494	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 12509	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 12494	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 12123	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addid1i 11212	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7317	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 12489	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12542	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 31235	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 31201	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7318	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 31224	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2768	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7307  0cc0 10921  1c1 10922   + caddc 10924  9c9 12085  ;cdc 12487  _cdp2 31194  .cdp 31211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-dec 12488  df-dp2 31195  df-dp 31212

This theorem is referenced by: (None)