Theorem 1mhdrd 32998

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12447	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 12456	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12448	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 12661	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2750	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 12646	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 12661	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2750	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 12646	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 12276	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addridi 11328	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 12641	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12694	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 32994	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 32960	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7371	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 32983	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2768	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1548  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036  9c9 12238  ;cdc 12639  _cdp2 32953  .cdp 32970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-dec 12640  df-dp2 32954  df-dp 32971

This theorem is referenced by: (None)