Theorem 1mhdrd 32890

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12516	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 12525	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12517	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 12730	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 12715	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 12730	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 12715	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 12340	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addridi 11422	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 12710	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12763	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 32886	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 32852	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7416	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 32875	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2762	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132  9c9 12302  ;cdc 12708  _cdp2 32845  .cdp 32862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-dec 12709  df-dp2 32846  df-dp 32863

This theorem is referenced by: (None)