Theorem 1mhdrd 30276

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11760	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 11769	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 11761	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 11969	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2804	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 11954	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 11969	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2804	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 11954	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 11585	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addid1i 10674	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7026	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 11949	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12002	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 30272	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 30238	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7027	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 30261	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2823	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1522  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386  9c9 11547  ;cdc 11947  _cdp2 30231  .cdp 30248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-dec 11948  df-dp2 30232  df-dp 30249

This theorem is referenced by: (None)