Theorem 1mhdrd 33549

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12645	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 12654	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12646	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 12865	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 12845	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 12865	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 12845	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 12467	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addridi 11521	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7450	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 12840	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12898	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 33545	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 33511	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7451	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 33534	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2790	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227  9c9 12428  ;cdc 12838  _cdp2 33504  .cdp 33521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-dec 12839  df-dp2 33505  df-dp 33522

This theorem is used by: (None)