Theorem 1mhdrd 32516

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12494	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 12503	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12495	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 12706	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 12691	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 12706	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 12691	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 12319	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addridi 11408	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 12686	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12739	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 32512	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 32478	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7423	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 32501	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2763	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119  9c9 12281  ;cdc 12684  _cdp2 32471  .cdp 32488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-dec 12685  df-dp2 32472  df-dp 32489

This theorem is referenced by: (None)