Theorem 1mhdrd 33178

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12521	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 12530	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12522	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 12740	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2778	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 12720	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 12740	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2778	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 12720	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 12343	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addridi 11399	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 12715	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12773	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 33174	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 33140	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7424	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 33163	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2796	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1567  (class class class)co 7413  0cc0 11102  1c1 11103   + caddc 11105  9c9 12304  ;cdc 12713  _cdp2 33133  .cdp 33150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-dec 12714  df-dp2 33134  df-dp 33151

This theorem is referenced by: (None)