Theorem 1mhdrd 32857

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12399	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 12408	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12400	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 12613	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 12598	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 12613	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 12598	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 12228	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addridi 11303	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7359	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 12593	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12646	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 32853	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 32819	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7360	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 32842	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2756	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  9c9 12190  ;cdc 12591  _cdp2 32812  .cdp 32829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-dec 12592  df-dp2 32813  df-dp 32830

This theorem is referenced by: (None)