Theorem 1mhdrd 31948

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12466	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 12475	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12467	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 12678	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 12663	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 12678	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 12663	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 12291	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addridi 11380	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 12658	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12711	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 31944	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 31910	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7401	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 31933	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2763	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7390  0cc0 11089  1c1 11090   + caddc 11092  9c9 12253  ;cdc 12656  _cdp2 31903  .cdp 31920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-7 12259  df-8 12260  df-9 12261  df-n0 12452  df-dec 12657  df-dp2 31904  df-dp 31921

This theorem is referenced by: (None)