Theorem 1mhdrd 33346

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12544	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 12553	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12545	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 12764	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2771	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 12744	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 12764	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2771	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 12744	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 12366	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addridi 11422	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 12739	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12797	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 33342	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 33308	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7427	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 33331	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2789	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7416  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128  9c9 12327  ;cdc 12737  _cdp2 33301  .cdp 33318

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-dec 12738  df-dp2 33302  df-dp 33319

This theorem is used by: (None)