Theorem 1mhdrd 33401

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12576	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 12585	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12577	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 12796	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 12776	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 12796	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 12776	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 12398	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addridi 11454	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 12771	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12829	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 33397	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 33363	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7420	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 33386	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2787	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7409  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160  9c9 12359  ;cdc 12769  _cdp2 33356  .cdp 33373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-dec 12770  df-dp2 33357  df-dp 33374

This theorem is used by: (None)