Theorem 1mhdrd 33244

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12523	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 12532	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 12524	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 12742	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 12722	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 12742	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 12722	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 12345	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addridi 11401	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 12717	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 12775	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 33240	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 33206	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 7421	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 33229	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2790	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7410  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107  9c9 12306  ;cdc 12715  _cdp2 33199  .cdp 33216

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-dec 12716  df-dp2 33200  df-dp 33217

This theorem is used by: (None)