Theorem dpltc 32887

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpltc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpltc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dpltc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dpltc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
dpltc.1	⊢ 𝐴 < 𝐶
dpltc.2	⊢ 𝐵 < ;10

Assertion

Ref	Expression
dpltc	⊢ (𝐴.𝐵) < (𝐶.𝐷)

Proof of Theorem dpltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpltc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dpltc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3		dpltc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		dpltc.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
5		dpltc.2	. . 3 ⊢ 𝐵 < ;10
6		dpltc.1	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐶
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dp2ltc 32867	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 < _𝐶𝐷
8	1, 2	dpval3rp 32880	. 2 ⊢ (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵
9	3, 4	dpval3rp 32880	. 2 ⊢ (𝐶.𝐷) = _𝐶𝐷
10	7, 8, 9	3brtr4i 5179	1 ⊢ (𝐴.𝐵) < (𝐶.𝐷)

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7435  0cc0 11159  1c1 11160   < clt 11299  ℕ₀cn0 12530  ;cdc 12737  ℝ⁺crp 13038  _cdp2 32851  .cdp 32868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-er 8750  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11925  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-4 12335  df-5 12336  df-6 12337  df-7 12338  df-8 12339  df-9 12340  df-n0 12531  df-z 12618  df-dec 12738  df-rp 13039  df-dp2 32852  df-dp 32869

This theorem is referenced by: (None)