Theorem phisum 16752

Description: The divisor sum identity of the totient function. Theorem 2.2 in [ApostolNT] p. 26. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phisum	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘𝑑) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑑

Proof of Theorem phisum

Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5075	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑦 ∥ 𝑁))
2	1	elrab 3629	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
3		hashgcdeq 16751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = if(𝑦 ∥ 𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0))
4	3	adantrr 723	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁)) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = if(𝑦 ∥ 𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0))
5		iftrue 4460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∥ 𝑁 → if(𝑦 ∥ 𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
6	5	ad2antll 735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁)) → if(𝑦 ∥ 𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
7	4, 6	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁)) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
8	2, 7	sylan2b 600	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
9	8	sumeq2dv 15655	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
10		dvdsfi 16750	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
11		fzofi 13927	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
12		ssrab2 4011	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ⊆ (0..^𝑁)
13		ssfi 9097	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin)
14	11, 12, 13	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin)
16		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 gcd 𝑁) = (𝑤 gcd 𝑁))
17	16	eqeq1d 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦 ↔ (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦))
18	17	elrab 3629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ↔ (𝑤 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦))
19	18	simprbi 498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} → (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦)
20	19	rgen 3055	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦
21	20	rgenw 3057	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦
22		invdisj 5058	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
23	21, 22	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
24	10, 15, 23	hashiun 15776	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}))
25		fveq2 6827	. . . 4 ⊢ (𝑑 = (𝑁 / 𝑦) → (ϕ‘𝑑) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
26		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
27		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))
28	26, 27	dvdsflip 16277	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
29		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑁 / 𝑧) = (𝑁 / 𝑦))
30		ovex 7389	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 / 𝑦) ∈ V
31	29, 27, 30	fvmpt 6935	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑦) = (𝑁 / 𝑦))
32	31	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑦) = (𝑁 / 𝑦))
33		elrabi 3625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → 𝑑 ∈ ℕ)
34	33	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑑 ∈ ℕ)
35	34	phicld 16733	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (ϕ‘𝑑) ∈ ℕ)
36	35	nncnd 12181	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (ϕ‘𝑑) ∈ ℂ)
37	25, 10, 28, 32, 36	fsumf1o 15676	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘𝑑) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
38	9, 24, 37	3eqtr4rd 2785	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘𝑑) = (♯‘∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}))
39		iunrab 4982	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}
40		breq1 5075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧 gcd 𝑁) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
41		elfzoelz 13604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑧 ∈ ℤ)
43		nnz 12536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
45		nnne0 12202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
46	45	neneqd 2939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
47	46	intnand 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
49		gcdn0cl 16462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
50	42, 44, 48, 49	syl21anc 843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
51		gcddvds 16463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑧 ∧ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
52	42, 44, 51	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑧 ∧ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
53	52	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
54	40, 50, 53	elrabd 3631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
55		clel5 3603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
56	54, 55	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
57	56	ralrimiva 3131	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ (0..^𝑁)∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
58		rabid2 3424	. . . . . 6 ⊢ ((0..^𝑁) = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ↔ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑁)∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
59	57, 58	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
60	39, 59	eqtr4id 2793	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} = (0..^𝑁))
61	60	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (♯‘(0..^𝑁)))
62		nnnn0 12435	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
63		hashfzo0 14383	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
64	62, 63	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
65	61, 64	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = 𝑁)
66	38, 65	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘𝑑) = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391   ⊆ wss 3883  ifcif 4454  ∪ ciun 4921  Disj wdisj 5039   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  0cc0 11029   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Σcsu 15639   ∥ cdvds 16212   gcd cgcd 16454  ϕcphi 16725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-disj 5040  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-phi 16727

This theorem is referenced by:  unitscyglem2  42681  unitscyglem4  42683