Theorem phisum 16761

Description: The divisor sum identity of the totient function. Theorem 2.2 in [ApostolNT] p. 26. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phisum	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘𝑑) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑑

Proof of Theorem phisum

Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑦 ∥ 𝑁))
2	1	elrab 3659	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
3		hashgcdeq 16760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = if(𝑦 ∥ 𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0))
4	3	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁)) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = if(𝑦 ∥ 𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0))
5		iftrue 4494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∥ 𝑁 → if(𝑦 ∥ 𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
6	5	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁)) → if(𝑦 ∥ 𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
7	4, 6	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁)) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
8	2, 7	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
9	8	sumeq2dv 15668	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
10		dvdsfi 16759	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
11		fzofi 13939	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
12		ssrab2 4043	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ⊆ (0..^𝑁)
13		ssfi 9137	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin)
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin)
16		oveq1 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 gcd 𝑁) = (𝑤 gcd 𝑁))
17	16	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦 ↔ (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦))
18	17	elrab 3659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ↔ (𝑤 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦))
19	18	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} → (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦)
20	19	rgen 3046	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦
21	20	rgenw 3048	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦
22		invdisj 5093	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
23	21, 22	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
24	10, 15, 23	hashiun 15788	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}))
25		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑑 = (𝑁 / 𝑦) → (ϕ‘𝑑) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
26		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
27		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))
28	26, 27	dvdsflip 16287	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
29		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑁 / 𝑧) = (𝑁 / 𝑦))
30		ovex 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 / 𝑦) ∈ V
31	29, 27, 30	fvmpt 6968	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑦) = (𝑁 / 𝑦))
32	31	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑦) = (𝑁 / 𝑦))
33		elrabi 3654	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → 𝑑 ∈ ℕ)
34	33	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑑 ∈ ℕ)
35	34	phicld 16742	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (ϕ‘𝑑) ∈ ℕ)
36	35	nncnd 12202	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (ϕ‘𝑑) ∈ ℂ)
37	25, 10, 28, 32, 36	fsumf1o 15689	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘𝑑) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
38	9, 24, 37	3eqtr4rd 2775	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘𝑑) = (♯‘∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}))
39		iunrab 5016	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}
40		breq1 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧 gcd 𝑁) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
41		elfzoelz 13620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑧 ∈ ℤ)
43		nnz 12550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
45		nnne0 12220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
46	45	neneqd 2930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
47	46	intnand 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
49		gcdn0cl 16472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
50	42, 44, 48, 49	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
51		gcddvds 16473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑧 ∧ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
52	42, 44, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑧 ∧ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
53	52	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
54	40, 50, 53	elrabd 3661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
55		clel5 3631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
56	54, 55	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
57	56	ralrimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ (0..^𝑁)∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
58		rabid2 3439	. . . . . 6 ⊢ ((0..^𝑁) = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ↔ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑁)∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
59	57, 58	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
60	39, 59	eqtr4id 2783	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} = (0..^𝑁))
61	60	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (♯‘(0..^𝑁)))
62		nnnn0 12449	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
63		hashfzo0 14395	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
64	62, 63	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
65	61, 64	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = 𝑁)
66	38, 65	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘𝑑) = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405   ⊆ wss 3914  ifcif 4488  ∪ ciun 4955  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  0cc0 11068   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Σcsu 15652   ∥ cdvds 16222   gcd cgcd 16464  ϕcphi 16734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-phi 16736

This theorem is referenced by:  unitscyglem2  42184  unitscyglem4  42186