MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phisum 15828
Description: The divisor sum identity of the totient function. Theorem 2.2 in [ApostolNT] p. 26. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
phisum (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘𝑑) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑑

Proof of Theorem phisum
Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4846 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑁𝑦𝑁))
21elrab 3556 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁))
3 hashgcdeq 15827 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = if(𝑦𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0))
43adantrr 709 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = if(𝑦𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0))
5 iftrue 4283 . . . . . . 7 (𝑦𝑁 → if(𝑦𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
65ad2antll 721 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)) → if(𝑦𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
74, 6eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
82, 7sylan2b 588 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
98sumeq2dv 14774 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
10 fzfi 13026 . . . . 5 (1...𝑁) ∈ Fin
11 dvdsssfz1 15379 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
12 ssfi 8422 . . . . 5 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
1310, 11, 12sylancr 582 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
14 fzofi 13028 . . . . . 6 (0..^𝑁) ∈ Fin
15 ssrab2 3883 . . . . . 6 {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ⊆ (0..^𝑁)
16 ssfi 8422 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin)
1714, 15, 16mp2an 684 . . . . 5 {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin
1817a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin)
19 oveq1 6885 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 gcd 𝑁) = (𝑤 gcd 𝑁))
2019eqeq1d 2801 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦 ↔ (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦))
2120elrab 3556 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ↔ (𝑤 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦))
2221simprbi 491 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} → (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦)
2322rgen 3103 . . . . . 6 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦
2423rgenw 3105 . . . . 5 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦
25 invdisj 4829 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
2624, 25mp1i 13 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
2713, 18, 26hashiun 14892 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}))
28 fveq2 6411 . . . 4 (𝑑 = (𝑁 / 𝑦) → (ϕ‘𝑑) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
29 eqid 2799 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
30 eqid 2799 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))
3129, 30dvdsflip 15378 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
32 oveq2 6886 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝑁 / 𝑧) = (𝑁 / 𝑦))
33 ovex 6910 . . . . . 6 (𝑁 / 𝑦) ∈ V
3432, 30, 33fvmpt 6507 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑦) = (𝑁 / 𝑦))
3534adantl 474 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑦) = (𝑁 / 𝑦))
36 elrabi 3551 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → 𝑑 ∈ ℕ)
3736adantl 474 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑑 ∈ ℕ)
3837phicld 15810 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (ϕ‘𝑑) ∈ ℕ)
3938nncnd 11330 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (ϕ‘𝑑) ∈ ℂ)
4028, 13, 31, 35, 39fsumf1o 14795 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘𝑑) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
419, 27, 403eqtr4rd 2844 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘𝑑) = (♯‘ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}))
42 elfzoelz 12725 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0..^𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
4342adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑧 ∈ ℤ)
44 nnz 11689 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4544adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
46 nnne0 11348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
4746neneqd 2976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
4847intnand 483 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
4948adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
50 gcdn0cl 15559 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
5143, 45, 49, 50syl21anc 867 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
52 gcddvds 15560 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑧 ∧ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5343, 45, 52syl2anc 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑧 ∧ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5453simprd 490 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
55 breq1 4846 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 gcd 𝑁) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5655elrab 3556 . . . . . . . . 9 ((𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ ((𝑧 gcd 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5751, 54, 56sylanbrc 579 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
58 risset 3243 . . . . . . . . 9 ((𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}𝑦 = (𝑧 gcd 𝑁))
59 eqcom 2806 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑧 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
6059rexbii 3222 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}𝑦 = (𝑧 gcd 𝑁) ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
6158, 60bitri 267 . . . . . . . 8 ((𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
6257, 61sylib 210 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
6362ralrimiva 3147 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ (0..^𝑁)∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
64 rabid2 3300 . . . . . 6 ((0..^𝑁) = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ↔ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑁)∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
6563, 64sylibr 226 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
66 iunrab 4757 . . . . 5 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}
6765, 66syl6reqr 2852 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} = (0..^𝑁))
6867fveq2d 6415 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (♯‘(0..^𝑁)))
69 nnnn0 11588 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
70 hashfzo0 13466 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
7169, 70syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
7268, 71eqtrd 2833 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = 𝑁)
7341, 72eqtrd 2833 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘𝑑) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  {crab 3093  wss 3769  ifcif 4277   ciun 4710  Disj wdisj 4811   class class class wbr 4843  cmpt 4922  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  0cc0 10224  1c1 10225   / cdiv 10976  cn 11312  0cn0 11580  cz 11666  ...cfz 12580  ..^cfzo 12720  chash 13370  Σcsu 14757  cdvds 15319   gcd cgcd 15551  ϕcphi 15802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-disj 4812  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-sum 14758  df-dvds 15320  df-gcd 15552  df-phi 15804
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator