MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phisum 16487
Description: The divisor sum identity of the totient function. Theorem 2.2 in [ApostolNT] p. 26. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
phisum (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘𝑑) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑑

Proof of Theorem phisum
Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5082 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑁𝑦𝑁))
21elrab 3626 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁))
3 hashgcdeq 16486 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = if(𝑦𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0))
43adantrr 714 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = if(𝑦𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0))
5 iftrue 4471 . . . . . . 7 (𝑦𝑁 → if(𝑦𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
65ad2antll 726 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)) → if(𝑦𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
74, 6eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
82, 7sylan2b 594 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
98sumeq2dv 15411 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
10 fzfi 13688 . . . . 5 (1...𝑁) ∈ Fin
11 dvdsssfz1 16023 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
12 ssfi 8936 . . . . 5 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
1310, 11, 12sylancr 587 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
14 fzofi 13690 . . . . . 6 (0..^𝑁) ∈ Fin
15 ssrab2 4018 . . . . . 6 {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ⊆ (0..^𝑁)
16 ssfi 8936 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin)
1714, 15, 16mp2an 689 . . . . 5 {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin
1817a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin)
19 oveq1 7276 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 gcd 𝑁) = (𝑤 gcd 𝑁))
2019eqeq1d 2742 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦 ↔ (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦))
2120elrab 3626 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ↔ (𝑤 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦))
2221simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} → (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦)
2322rgen 3076 . . . . . 6 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦
2423rgenw 3078 . . . . 5 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦
25 invdisj 5063 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
2624, 25mp1i 13 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
2713, 18, 26hashiun 15530 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}))
28 fveq2 6769 . . . 4 (𝑑 = (𝑁 / 𝑦) → (ϕ‘𝑑) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
29 eqid 2740 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
30 eqid 2740 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))
3129, 30dvdsflip 16022 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
32 oveq2 7277 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝑁 / 𝑧) = (𝑁 / 𝑦))
33 ovex 7302 . . . . . 6 (𝑁 / 𝑦) ∈ V
3432, 30, 33fvmpt 6870 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑦) = (𝑁 / 𝑦))
3534adantl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑦) = (𝑁 / 𝑦))
36 elrabi 3620 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → 𝑑 ∈ ℕ)
3736adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑑 ∈ ℕ)
3837phicld 16469 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (ϕ‘𝑑) ∈ ℕ)
3938nncnd 11987 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (ϕ‘𝑑) ∈ ℂ)
4028, 13, 31, 35, 39fsumf1o 15431 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘𝑑) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
419, 27, 403eqtr4rd 2791 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘𝑑) = (♯‘ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}))
42 iunrab 4987 . . . . 5 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}
43 breq1 5082 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧 gcd 𝑁) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
44 elfzoelz 13384 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0..^𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
4544adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑧 ∈ ℤ)
46 nnz 12340 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4746adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
48 nnne0 12005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
4948neneqd 2950 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
5049intnand 489 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
5150adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
52 gcdn0cl 16205 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
5345, 47, 51, 52syl21anc 835 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
54 gcddvds 16206 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑧 ∧ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5545, 47, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑧 ∧ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5655simprd 496 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
5743, 53, 56elrabd 3628 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
58 clel5 3598 . . . . . . . 8 ((𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
5957, 58sylib 217 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
6059ralrimiva 3110 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ (0..^𝑁)∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
61 rabid2 3313 . . . . . 6 ((0..^𝑁) = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ↔ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑁)∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
6260, 61sylibr 233 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
6342, 62eqtr4id 2799 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} = (0..^𝑁))
6463fveq2d 6773 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (♯‘(0..^𝑁)))
65 nnnn0 12238 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
66 hashfzo0 14141 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
6765, 66syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
6864, 67eqtrd 2780 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = 𝑁)
6941, 68eqtrd 2780 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘𝑑) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  wrex 3067  {crab 3070  wss 3892  ifcif 4465   ciun 4930  Disj wdisj 5044   class class class wbr 5079  cmpt 5162  cfv 6431  (class class class)co 7269  Fincfn 8714  0cc0 10870  1c1 10871   / cdiv 11630  cn 11971  0cn0 12231  cz 12317  ...cfz 13236  ..^cfzo 13379  chash 14040  Σcsu 15393  cdvds 15959   gcd cgcd 16197  ϕcphi 16461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-oadd 8290  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-sup 9177  df-inf 9178  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-uz 12580  df-rp 12728  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-fl 13508  df-mod 13586  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-clim 15193  df-sum 15394  df-dvds 15960  df-gcd 16198  df-phi 16463
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator