MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phisum 16723
Description: The divisor sum identity of the totient function. Theorem 2.2 in [ApostolNT] p. 26. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
phisum (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘𝑑) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑑

Proof of Theorem phisum
Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑁𝑦𝑁))
21elrab 3684 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁))
3 hashgcdeq 16722 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = if(𝑦𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0))
43adantrr 716 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = if(𝑦𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0))
5 iftrue 4535 . . . . . . 7 (𝑦𝑁 → if(𝑦𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
65ad2antll 728 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)) → if(𝑦𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
74, 6eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
82, 7sylan2b 595 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
98sumeq2dv 15649 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
10 fzfi 13937 . . . . 5 (1...𝑁) ∈ Fin
11 dvdsssfz1 16261 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
12 ssfi 9173 . . . . 5 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
1310, 11, 12sylancr 588 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
14 fzofi 13939 . . . . . 6 (0..^𝑁) ∈ Fin
15 ssrab2 4078 . . . . . 6 {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ⊆ (0..^𝑁)
16 ssfi 9173 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin)
1714, 15, 16mp2an 691 . . . . 5 {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin
1817a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin)
19 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 gcd 𝑁) = (𝑤 gcd 𝑁))
2019eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦 ↔ (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦))
2120elrab 3684 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ↔ (𝑤 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦))
2221simprbi 498 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} → (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦)
2322rgen 3064 . . . . . 6 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦
2423rgenw 3066 . . . . 5 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦
25 invdisj 5133 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
2624, 25mp1i 13 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
2713, 18, 26hashiun 15768 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}))
28 fveq2 6892 . . . 4 (𝑑 = (𝑁 / 𝑦) → (ϕ‘𝑑) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
29 eqid 2733 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
30 eqid 2733 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))
3129, 30dvdsflip 16260 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
32 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝑁 / 𝑧) = (𝑁 / 𝑦))
33 ovex 7442 . . . . . 6 (𝑁 / 𝑦) ∈ V
3432, 30, 33fvmpt 6999 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑦) = (𝑁 / 𝑦))
3534adantl 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑦) = (𝑁 / 𝑦))
36 elrabi 3678 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → 𝑑 ∈ ℕ)
3736adantl 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑑 ∈ ℕ)
3837phicld 16705 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (ϕ‘𝑑) ∈ ℕ)
3938nncnd 12228 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (ϕ‘𝑑) ∈ ℂ)
4028, 13, 31, 35, 39fsumf1o 15669 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘𝑑) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
419, 27, 403eqtr4rd 2784 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘𝑑) = (♯‘ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}))
42 iunrab 5056 . . . . 5 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}
43 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧 gcd 𝑁) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
44 elfzoelz 13632 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0..^𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
4544adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑧 ∈ ℤ)
46 nnz 12579 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4746adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
48 nnne0 12246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
4948neneqd 2946 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
5049intnand 490 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
5150adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
52 gcdn0cl 16443 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
5345, 47, 51, 52syl21anc 837 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
54 gcddvds 16444 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑧 ∧ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5545, 47, 54syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑧 ∧ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5655simprd 497 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
5743, 53, 56elrabd 3686 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
58 clel5 3656 . . . . . . . 8 ((𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
5957, 58sylib 217 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
6059ralrimiva 3147 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ (0..^𝑁)∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
61 rabid2 3465 . . . . . 6 ((0..^𝑁) = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ↔ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑁)∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
6260, 61sylibr 233 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
6342, 62eqtr4id 2792 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} = (0..^𝑁))
6463fveq2d 6896 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (♯‘(0..^𝑁)))
65 nnnn0 12479 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
66 hashfzo0 14390 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
6765, 66syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
6864, 67eqtrd 2773 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = 𝑁)
6941, 68eqtrd 2773 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (ϕ‘𝑑) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  wss 3949  ifcif 4529   ciun 4998  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   / cdiv 11871  cn 12212  0cn0 12472  cz 12558  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  chash 14290  Σcsu 15632  cdvds 16197   gcd cgcd 16435  ϕcphi 16697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-phi 16699
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator