Theorem phisum 16817

Description: The divisor sum identity of the totient function. Theorem 2.2 in [ApostolNT] p. 26. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phisum	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘𝑑) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑑

Proof of Theorem phisum

Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5100	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑦 ∥ 𝑁))
2	1	elrab 3649	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
3		hashgcdeq 16816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = if(𝑦 ∥ 𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0))
4	3	adantrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁)) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = if(𝑦 ∥ 𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0))
5		iftrue 4483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∥ 𝑁 → if(𝑦 ∥ 𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
6	5	ad2antll 739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁)) → if(𝑦 ∥ 𝑁, (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)), 0) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
7	4, 6	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁)) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
8	2, 7	sylan2b 603	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
9	8	sumeq2dv 15720	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
10		dvdsfi 16815	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
11		fzofi 13981	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
12		ssrab2 4031	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ⊆ (0..^𝑁)
13		ssfi 9135	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin)
14	11, 12, 13	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ∈ Fin)
16		oveq1 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 gcd 𝑁) = (𝑤 gcd 𝑁))
17	16	eqeq1d 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦 ↔ (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦))
18	17	elrab 3649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ↔ (𝑤 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦))
19	18	simprbi 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} → (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦)
20	19	rgen 3077	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦
21	20	rgenw 3079	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦
22		invdisj 5083	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} (𝑤 gcd 𝑁) = 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
23	21, 22	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
24	10, 15, 23	hashiun 15841	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (♯‘{𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}))
25		fveq2 6862	. . . 4 ⊢ (𝑑 = (𝑁 / 𝑦) → (ϕ‘𝑑) = (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
26		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
27		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))
28	26, 27	dvdsflip 16342	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
29		oveq2 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑁 / 𝑧) = (𝑁 / 𝑦))
30		ovex 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 / 𝑦) ∈ V
31	29, 27, 30	fvmpt 6970	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑦) = (𝑁 / 𝑦))
32	31	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑦) = (𝑁 / 𝑦))
33		elrabi 3645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → 𝑑 ∈ ℕ)
34	33	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑑 ∈ ℕ)
35	34	phicld 16798	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (ϕ‘𝑑) ∈ ℕ)
36	35	nncnd 12220	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (ϕ‘𝑑) ∈ ℂ)
37	25, 10, 28, 32, 36	fsumf1o 15741	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘𝑑) = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘(𝑁 / 𝑦)))
38	9, 24, 37	3eqtr4rd 2807	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘𝑑) = (♯‘∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}))
39		iunrab 5007	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}
40		breq1 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧 gcd 𝑁) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
41		elfzoelz 13658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
42	41	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑧 ∈ ℤ)
43		nnz 12583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
44	43	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
45		nnne0 12241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
46	45	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
47	46	intnand 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
48	47	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
49		gcdn0cl 16527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑧 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
50	42, 44, 48, 49	syl21anc 848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
51		gcddvds 16528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑧 ∧ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
52	42, 44, 51	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑧 ∧ (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
53	52	simprd 499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
54	40, 50, 53	elrabd 3651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
55		clel5 3623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 gcd 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
56	54, 55	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
57	56	ralrimiva 3153	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ (0..^𝑁)∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
58		rabid2 3446	. . . . . 6 ⊢ ((0..^𝑁) = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} ↔ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑁)∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦)
59	57, 58	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) = {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦})
60	39, 59	eqtr4id 2815	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦} = (0..^𝑁))
61	60	fveq2d 6866	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = (♯‘(0..^𝑁)))
62		nnnn0 12482	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
63		hashfzo0 14437	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
64	62, 63	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
65	61, 64	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} {𝑧 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑧 gcd 𝑁) = 𝑦}) = 𝑁)
66	38, 65	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (ϕ‘𝑑) = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  {crab 3413   ⊆ wss 3902  ifcif 4477  ∪ ciun 4946  Disj wdisj 5064   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Fincfn 8921  0cc0 11067   / cdiv 11838  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ..^cfzo 13653  ♯chash 14337  Σcsu 15704   ∥ cdvds 16277   gcd cgcd 16519  ϕcphi 16790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-disj 5065  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-oadd 8435  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-sum 15705  df-dvds 16278  df-gcd 16520  df-phi 16792

This theorem is referenced by:  unitscyglem2  42774  unitscyglem4  42776