Theorem elfzofz 13721

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13709	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13720	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13562	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13551  ..^cfzo 13699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700

This theorem is used by:  fzossfz  13724  elfzom1elp1fzo  13778  fzone1  13830  uzindi  14036  swrdfv0  14707  pfxsuffeqwrdeq  14757  telfsumo  15877  telfsumo2  15878  fsumparts  15881  prodfn0  15971  hashgcdlem  16869  cshwshashlem2  17178  efgs1b  19850  efgredlem  19861  cpmadugsumlemF  23083  dvfsumle  26231  dvfsumabs  26233  dvntaylp  26585  taylthlem1  26587  taylthlem2  26588  pntpbnd1  27801  pntlemj  27818  pntlemi  27819  pntlemf  27820  upgrewlkle2  30014  wlk1walk  30046  wlkp1lem6  30084  trlreslem  30109  upgrwlkdvdelem  30149  crctcshwlkn0lem4  30229  crctcshwlkn0lem5  30230  crctcshwlkn0lem6  30231  clwwisshclwws  30433  trlsegvdeglem1  30642  poimirlem24  38352  poimirlem25  38353  poimirlem29  38357  poimirlem31  38359  elfzfzo  46054  dvnmptdivc  46710  fourierdlem1  46880  fourierdlem12  46891  fourierdlem14  46893  fourierdlem15  46894  fourierdlem20  46899  fourierdlem25  46904  fourierdlem27  46906  fourierdlem41  46920  fourierdlem46  46924  fourierdlem48  46926  fourierdlem49  46927  fourierdlem50  46928  fourierdlem54  46932  fourierdlem63  46941  fourierdlem64  46942  fourierdlem65  46943  fourierdlem69  46947  fourierdlem70  46948  fourierdlem71  46949  fourierdlem72  46950  fourierdlem73  46951  fourierdlem74  46952  fourierdlem75  46953  fourierdlem76  46954  fourierdlem79  46957  fourierdlem80  46958  fourierdlem81  46959  fourierdlem84  46962  fourierdlem85  46963  fourierdlem88  46966  fourierdlem89  46967  fourierdlem90  46968  fourierdlem91  46969  fourierdlem92  46970  fourierdlem93  46971  fourierdlem94  46972  fourierdlem97  46975  fourierdlem102  46980  fourierdlem103  46981  fourierdlem104  46982  fourierdlem111  46989  fourierdlem113  46991  fourierdlem114  46992  ormkglobd  47649  iccpartiltu  48229  iccelpart  48240  iccpartiun  48241  icceuelpartlem  48242  icceuelpart  48243  iccpartdisj  48244  iccpartnel  48245  upgrimwlklem5  48724  gpgedgvtx0  48884