Theorem elfzofz 13732

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13720	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13731	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13573	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℤ_≥cuz 12888  ...cfz 13562  ..^cfzo 13710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711

This theorem is used by:  fzossfz  13735  elfzom1elp1fzo  13789  fzone1  13841  uzindi  14047  swrdfv0  14718  pfxsuffeqwrdeq  14768  telfsumo  15890  telfsumo2  15891  fsumparts  15894  prodfn0  15984  hashgcdlem  16880  cshwshashlem2  17189  efgs1b  19864  efgredlem  19875  cpmadugsumlemF  23102  dvfsumle  26249  dvfsumabs  26251  dvntaylp  26608  taylthlem1  26610  taylthlem2  26611  pntpbnd1  27823  pntlemj  27840  pntlemi  27841  pntlemf  27842  upgrewlkle2  30067  wlk1walk  30099  wlkp1lem6  30137  trlreslem  30162  upgrwlkdvdelem  30202  crctcshwlkn0lem4  30282  crctcshwlkn0lem5  30283  crctcshwlkn0lem6  30284  clwwisshclwws  30486  trlsegvdeglem1  30701  poimirlem24  38394  poimirlem25  38395  poimirlem29  38399  poimirlem31  38401  elfzfzo  46111  dvnmptdivc  46767  fourierdlem1  46937  fourierdlem12  46948  fourierdlem14  46950  fourierdlem15  46951  fourierdlem20  46956  fourierdlem25  46961  fourierdlem27  46963  fourierdlem41  46977  fourierdlem46  46981  fourierdlem48  46983  fourierdlem49  46984  fourierdlem50  46985  fourierdlem54  46989  fourierdlem63  46998  fourierdlem64  46999  fourierdlem65  47000  fourierdlem69  47004  fourierdlem70  47005  fourierdlem71  47006  fourierdlem72  47007  fourierdlem73  47008  fourierdlem74  47009  fourierdlem75  47010  fourierdlem76  47011  fourierdlem79  47014  fourierdlem80  47015  fourierdlem81  47016  fourierdlem84  47019  fourierdlem85  47020  fourierdlem88  47023  fourierdlem89  47024  fourierdlem90  47025  fourierdlem91  47026  fourierdlem92  47027  fourierdlem93  47028  fourierdlem94  47029  fourierdlem97  47032  fourierdlem102  47037  fourierdlem103  47038  fourierdlem104  47039  fourierdlem111  47046  fourierdlem113  47048  fourierdlem114  47049  ormkglobd  47706  iccpartiltu  48323  iccelpart  48334  iccpartiun  48335  icceuelpartlem  48336  icceuelpart  48337  iccpartdisj  48338  iccpartnel  48339  upgrimwlklem5  48818  gpgedgvtx0  48978