Theorem elfzofz 13578

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13566	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13577	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13421	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558

This theorem is referenced by:  fzossfz  13581  elfzom1elp1fzo  13635  uzindi  13889  swrdfv0  14556  pfxsuffeqwrdeq  14604  telfsumo  15709  telfsumo2  15710  fsumparts  15713  prodfn0  15801  hashgcdlem  16699  cshwshashlem2  17008  efgs1b  19615  efgredlem  19626  cpmadugsumlemF  22761  dvfsumle  25924  dvfsumleOLD  25925  dvfsumabs  25927  dvntaylp  26277  taylthlem1  26279  taylthlem2  26280  taylthlem2OLD  26281  pntpbnd1  27495  pntlemj  27512  pntlemi  27513  pntlemf  27514  upgrewlkle2  29552  wlk1walk  29584  wlkp1lem6  29622  trlreslem  29643  upgrwlkdvdelem  29681  crctcshwlkn0lem4  29758  crctcshwlkn0lem5  29759  crctcshwlkn0lem6  29760  clwwisshclwws  29959  trlsegvdeglem1  30164  fzone1  32743  poimirlem24  37624  poimirlem25  37625  poimirlem29  37629  poimirlem31  37631  elfzfzo  45259  dvnmptdivc  45919  fourierdlem1  46089  fourierdlem12  46100  fourierdlem14  46102  fourierdlem15  46103  fourierdlem20  46108  fourierdlem25  46113  fourierdlem27  46115  fourierdlem41  46129  fourierdlem46  46133  fourierdlem48  46135  fourierdlem49  46136  fourierdlem50  46137  fourierdlem54  46141  fourierdlem63  46150  fourierdlem64  46151  fourierdlem65  46152  fourierdlem69  46156  fourierdlem70  46157  fourierdlem71  46158  fourierdlem72  46159  fourierdlem73  46160  fourierdlem74  46161  fourierdlem75  46162  fourierdlem76  46163  fourierdlem79  46166  fourierdlem80  46167  fourierdlem81  46168  fourierdlem84  46171  fourierdlem85  46172  fourierdlem88  46175  fourierdlem89  46176  fourierdlem90  46177  fourierdlem91  46178  fourierdlem92  46179  fourierdlem93  46180  fourierdlem94  46181  fourierdlem97  46184  fourierdlem102  46189  fourierdlem103  46190  fourierdlem104  46191  fourierdlem111  46198  fourierdlem113  46200  fourierdlem114  46201  ormkglobd  46856  iccpartiltu  47406  iccelpart  47417  iccpartiun  47418  icceuelpartlem  47419  icceuelpart  47420  iccpartdisj  47421  iccpartnel  47422  upgrimwlklem5  47885  gpgedgvtx0  48045