Theorem elfzofz 13810

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13798	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13809	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13650	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3914  df-pss 4034  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789

This theorem is used by:  fzossfz  13813  elfzom1elp1fzo  13867  fzone1  13919  uzindi  14125  swrdfv0  14797  pfxsuffeqwrdeq  14847  telfsumo  15969  telfsumo2  15970  fsumparts  15973  prodfn0  16063  hashgcdlem  16965  cshwshashlem2  17274  efgs1b  19950  efgredlem  19961  cpmadugsumlemF  23194  dvfsumle  26341  dvfsumabs  26343  dvntaylp  26698  taylthlem1  26700  taylthlem2  26701  pntpbnd1  27913  pntlemj  27930  pntlemi  27931  pntlemf  27932  upgrewlkle2  30187  wlk1walk  30219  wlkp1lem6  30257  trlreslem  30282  upgrwlkdvdelem  30322  crctcshwlkn0lem4  30402  crctcshwlkn0lem5  30403  crctcshwlkn0lem6  30404  clwwisshclwws  30606  trlsegvdeglem1  30821  poimirlem24  38563  poimirlem25  38564  poimirlem29  38568  poimirlem31  38570  elfzfzo  46293  dvnmptdivc  46948  fourierdlem1  47118  fourierdlem12  47129  fourierdlem14  47131  fourierdlem15  47132  fourierdlem20  47137  fourierdlem25  47142  fourierdlem27  47144  fourierdlem41  47158  fourierdlem46  47162  fourierdlem48  47164  fourierdlem49  47165  fourierdlem50  47166  fourierdlem54  47170  fourierdlem63  47179  fourierdlem64  47180  fourierdlem65  47181  fourierdlem69  47185  fourierdlem70  47186  fourierdlem71  47187  fourierdlem72  47188  fourierdlem73  47189  fourierdlem74  47190  fourierdlem75  47191  fourierdlem76  47192  fourierdlem79  47195  fourierdlem80  47196  fourierdlem81  47197  fourierdlem84  47200  fourierdlem85  47201  fourierdlem88  47204  fourierdlem89  47205  fourierdlem90  47206  fourierdlem91  47207  fourierdlem92  47208  fourierdlem93  47209  fourierdlem94  47210  fourierdlem97  47213  fourierdlem102  47218  fourierdlem103  47219  fourierdlem104  47220  fourierdlem111  47227  fourierdlem113  47229  fourierdlem114  47230  ormkglobd  47887  iccpartiltu  48504  iccelpart  48515  iccpartiun  48516  icceuelpartlem  48517  icceuelpart  48518  iccpartdisj  48519  iccpartnel  48520  upgrimwlklem5  48999  gpgedgvtx0  49159