Theorem elfzofz 13850

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13838	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13849	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13690	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℤ_≥cuz 13005  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829

This theorem is used by:  fzossfz  13853  elfzom1elp1fzo  13907  fzone1  13959  uzindi  14165  swrdfv0  14839  pfxsuffeqwrdeq  14889  telfsumo  16013  telfsumo2  16014  fsumparts  16017  prodfn0  16107  hashgcdlem  17009  cshwshashlem2  17318  efgs1b  20001  efgredlem  20012  cpmadugsumlemF  23249  dvfsumle  26396  dvfsumabs  26398  dvntaylp  26755  taylthlem1  26757  taylthlem2  26758  pntpbnd1  27970  pntlemj  27987  pntlemi  27988  pntlemf  27989  upgrewlkle2  30244  wlk1walk  30276  wlkp1lem6  30314  trlreslem  30339  upgrwlkdvdelem  30379  crctcshwlkn0lem4  30459  crctcshwlkn0lem5  30460  crctcshwlkn0lem6  30461  clwwisshclwws  30663  trlsegvdeglem1  30878  poimirlem24  38830  poimirlem25  38831  poimirlem29  38835  poimirlem31  38837  elfzfzo  46566  dvnmptdivc  47221  fourierdlem1  47391  fourierdlem12  47402  fourierdlem14  47404  fourierdlem15  47405  fourierdlem20  47410  fourierdlem25  47415  fourierdlem27  47417  fourierdlem41  47431  fourierdlem46  47435  fourierdlem48  47437  fourierdlem49  47438  fourierdlem50  47439  fourierdlem54  47443  fourierdlem63  47452  fourierdlem64  47453  fourierdlem65  47454  fourierdlem69  47458  fourierdlem70  47459  fourierdlem71  47460  fourierdlem72  47461  fourierdlem73  47462  fourierdlem74  47463  fourierdlem75  47464  fourierdlem76  47465  fourierdlem79  47468  fourierdlem80  47469  fourierdlem81  47470  fourierdlem84  47473  fourierdlem85  47474  fourierdlem88  47477  fourierdlem89  47478  fourierdlem90  47479  fourierdlem91  47480  fourierdlem92  47481  fourierdlem93  47482  fourierdlem94  47483  fourierdlem97  47486  fourierdlem102  47491  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  fourierdlem111  47500  fourierdlem113  47502  fourierdlem114  47503  ormkglobd  48160  iccpartiltu  48777  iccelpart  48788  iccpartiun  48789  icceuelpartlem  48790  icceuelpart  48791  iccpartdisj  48792  iccpartnel  48793  upgrimwlklem5  49272  gpgedgvtx0  49432