Theorem elfzofz 13612

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13600	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13611	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13455	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592

This theorem is referenced by:  fzossfz  13615  elfzom1elp1fzo  13669  uzindi  13923  swrdfv0  14590  pfxsuffeqwrdeq  14639  telfsumo  15744  telfsumo2  15745  fsumparts  15748  prodfn0  15836  hashgcdlem  16734  cshwshashlem2  17043  efgs1b  19642  efgredlem  19653  cpmadugsumlemF  22739  dvfsumle  25902  dvfsumleOLD  25903  dvfsumabs  25905  dvntaylp  26255  taylthlem1  26257  taylthlem2  26258  taylthlem2OLD  26259  pntpbnd1  27473  pntlemj  27490  pntlemi  27491  pntlemf  27492  upgrewlkle2  29510  wlk1walk  29542  wlkp1lem6  29580  trlreslem  29601  upgrwlkdvdelem  29639  crctcshwlkn0lem4  29716  crctcshwlkn0lem5  29717  crctcshwlkn0lem6  29718  clwwisshclwws  29917  trlsegvdeglem1  30122  fzone1  32696  poimirlem24  37611  poimirlem25  37612  poimirlem29  37616  poimirlem31  37618  elfzfzo  45248  dvnmptdivc  45909  fourierdlem1  46079  fourierdlem12  46090  fourierdlem14  46092  fourierdlem15  46093  fourierdlem20  46098  fourierdlem25  46103  fourierdlem27  46105  fourierdlem41  46119  fourierdlem46  46123  fourierdlem48  46125  fourierdlem49  46126  fourierdlem50  46127  fourierdlem54  46131  fourierdlem63  46140  fourierdlem64  46141  fourierdlem65  46142  fourierdlem69  46146  fourierdlem70  46147  fourierdlem71  46148  fourierdlem72  46149  fourierdlem73  46150  fourierdlem74  46151  fourierdlem75  46152  fourierdlem76  46153  fourierdlem79  46156  fourierdlem80  46157  fourierdlem81  46158  fourierdlem84  46161  fourierdlem85  46162  fourierdlem88  46165  fourierdlem89  46166  fourierdlem90  46167  fourierdlem91  46168  fourierdlem92  46169  fourierdlem93  46170  fourierdlem94  46171  fourierdlem97  46174  fourierdlem102  46179  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181  fourierdlem111  46188  fourierdlem113  46190  fourierdlem114  46191  ormkglobd  46846  iccpartiltu  47396  iccelpart  47407  iccpartiun  47408  icceuelpartlem  47409  icceuelpart  47410  iccpartdisj  47411  iccpartnel  47412  upgrimwlklem5  47874  gpgedgvtx0  48025