Theorem elfzofz 13575

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13563	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13574	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13418	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555

This theorem is referenced by:  fzossfz  13578  elfzom1elp1fzo  13632  fzone1  13684  uzindi  13889  swrdfv0  14557  pfxsuffeqwrdeq  14605  telfsumo  15709  telfsumo2  15710  fsumparts  15713  prodfn0  15801  hashgcdlem  16699  cshwshashlem2  17008  efgs1b  19648  efgredlem  19659  cpmadugsumlemF  22791  dvfsumle  25953  dvfsumleOLD  25954  dvfsumabs  25956  dvntaylp  26306  taylthlem1  26308  taylthlem2  26309  taylthlem2OLD  26310  pntpbnd1  27524  pntlemj  27541  pntlemi  27542  pntlemf  27543  upgrewlkle2  29585  wlk1walk  29617  wlkp1lem6  29655  trlreslem  29676  upgrwlkdvdelem  29714  crctcshwlkn0lem4  29791  crctcshwlkn0lem5  29792  crctcshwlkn0lem6  29793  clwwisshclwws  29995  trlsegvdeglem1  30200  poimirlem24  37694  poimirlem25  37695  poimirlem29  37699  poimirlem31  37701  elfzfzo  45388  dvnmptdivc  46046  fourierdlem1  46216  fourierdlem12  46227  fourierdlem14  46229  fourierdlem15  46230  fourierdlem20  46235  fourierdlem25  46240  fourierdlem27  46242  fourierdlem41  46256  fourierdlem46  46260  fourierdlem48  46262  fourierdlem49  46263  fourierdlem50  46264  fourierdlem54  46268  fourierdlem63  46277  fourierdlem64  46278  fourierdlem65  46279  fourierdlem69  46283  fourierdlem70  46284  fourierdlem71  46285  fourierdlem72  46286  fourierdlem73  46287  fourierdlem74  46288  fourierdlem75  46289  fourierdlem76  46290  fourierdlem79  46293  fourierdlem80  46294  fourierdlem81  46295  fourierdlem84  46298  fourierdlem85  46299  fourierdlem88  46302  fourierdlem89  46303  fourierdlem90  46304  fourierdlem91  46305  fourierdlem92  46306  fourierdlem93  46307  fourierdlem94  46308  fourierdlem97  46311  fourierdlem102  46316  fourierdlem103  46317  fourierdlem104  46318  fourierdlem111  46325  fourierdlem113  46327  fourierdlem114  46328  ormkglobd  46983  iccpartiltu  47532  iccelpart  47543  iccpartiun  47544  icceuelpartlem  47545  icceuelpart  47546  iccpartdisj  47547  iccpartnel  47548  upgrimwlklem5  48011  gpgedgvtx0  48171