Theorem elfzofz 13715

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13703	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13714	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13558	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695

This theorem is referenced by:  fzossfz  13718  elfzom1elp1fzo  13771  uzindi  14023  swrdfv0  14687  pfxsuffeqwrdeq  14736  telfsumo  15838  telfsumo2  15839  fsumparts  15842  prodfn0  15930  hashgcdlem  16825  cshwshashlem2  17134  efgs1b  19754  efgredlem  19765  cpmadugsumlemF  22882  dvfsumle  26060  dvfsumleOLD  26061  dvfsumabs  26063  dvntaylp  26413  taylthlem1  26415  taylthlem2  26416  taylthlem2OLD  26417  pntpbnd1  27630  pntlemj  27647  pntlemi  27648  pntlemf  27649  upgrewlkle2  29624  wlk1walk  29657  wlkp1lem6  29696  trlreslem  29717  upgrwlkdvdelem  29756  crctcshwlkn0lem4  29833  crctcshwlkn0lem5  29834  crctcshwlkn0lem6  29835  clwwisshclwws  30034  trlsegvdeglem1  30239  fzone1  32802  poimirlem24  37651  poimirlem25  37652  poimirlem29  37656  poimirlem31  37658  elfzfzo  45288  dvnmptdivc  45953  fourierdlem1  46123  fourierdlem12  46134  fourierdlem14  46136  fourierdlem15  46137  fourierdlem20  46142  fourierdlem25  46147  fourierdlem27  46149  fourierdlem41  46163  fourierdlem46  46167  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem50  46171  fourierdlem54  46175  fourierdlem63  46184  fourierdlem64  46185  fourierdlem65  46186  fourierdlem69  46190  fourierdlem70  46191  fourierdlem71  46192  fourierdlem72  46193  fourierdlem73  46194  fourierdlem74  46195  fourierdlem75  46196  fourierdlem76  46197  fourierdlem79  46200  fourierdlem80  46201  fourierdlem81  46202  fourierdlem84  46205  fourierdlem85  46206  fourierdlem88  46209  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  fourierdlem92  46213  fourierdlem93  46214  fourierdlem94  46215  fourierdlem97  46218  fourierdlem102  46223  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem111  46232  fourierdlem113  46234  fourierdlem114  46235  ormkglobd  46890  iccpartiltu  47409  iccelpart  47420  iccpartiun  47421  icceuelpartlem  47422  icceuelpart  47423  iccpartdisj  47424  iccpartnel  47425  gpgedgvtx0  48019