Theorem elfzofz 13589

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13577	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13588	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13432	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421  ..^cfzo 13568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569

This theorem is referenced by:  fzossfz  13592  elfzom1elp1fzo  13646  fzone1  13698  uzindi  13903  swrdfv0  14571  pfxsuffeqwrdeq  14619  telfsumo  15723  telfsumo2  15724  fsumparts  15727  prodfn0  15815  hashgcdlem  16713  cshwshashlem2  17022  efgs1b  19663  efgredlem  19674  cpmadugsumlemF  22818  dvfsumle  25980  dvfsumleOLD  25981  dvfsumabs  25983  dvntaylp  26333  taylthlem1  26335  taylthlem2  26336  taylthlem2OLD  26337  pntpbnd1  27551  pntlemj  27568  pntlemi  27569  pntlemf  27570  upgrewlkle2  29629  wlk1walk  29661  wlkp1lem6  29699  trlreslem  29720  upgrwlkdvdelem  29758  crctcshwlkn0lem4  29835  crctcshwlkn0lem5  29836  crctcshwlkn0lem6  29837  clwwisshclwws  30039  trlsegvdeglem1  30244  poimirlem24  37784  poimirlem25  37785  poimirlem29  37789  poimirlem31  37791  elfzfzo  45467  dvnmptdivc  46124  fourierdlem1  46294  fourierdlem12  46305  fourierdlem14  46307  fourierdlem15  46308  fourierdlem20  46313  fourierdlem25  46318  fourierdlem27  46320  fourierdlem41  46334  fourierdlem46  46338  fourierdlem48  46340  fourierdlem49  46341  fourierdlem50  46342  fourierdlem54  46346  fourierdlem63  46355  fourierdlem64  46356  fourierdlem65  46357  fourierdlem69  46361  fourierdlem70  46362  fourierdlem71  46363  fourierdlem72  46364  fourierdlem73  46365  fourierdlem74  46366  fourierdlem75  46367  fourierdlem76  46368  fourierdlem79  46371  fourierdlem80  46372  fourierdlem81  46373  fourierdlem84  46376  fourierdlem85  46377  fourierdlem88  46380  fourierdlem89  46381  fourierdlem90  46382  fourierdlem91  46383  fourierdlem92  46384  fourierdlem93  46385  fourierdlem94  46386  fourierdlem97  46389  fourierdlem102  46394  fourierdlem103  46395  fourierdlem104  46396  fourierdlem111  46403  fourierdlem113  46405  fourierdlem114  46406  ormkglobd  47061  iccpartiltu  47610  iccelpart  47621  iccpartiun  47622  icceuelpartlem  47623  icceuelpart  47624  iccpartdisj  47625  iccpartnel  47626  upgrimwlklem5  48089  gpgedgvtx0  48249