Theorem elfzofz 13697

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13685	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13696	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13540	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677

This theorem is referenced by:  fzossfz  13700  elfzom1elp1fzo  13753  uzindi  14005  swrdfv0  14672  pfxsuffeqwrdeq  14721  telfsumo  15823  telfsumo2  15824  fsumparts  15827  prodfn0  15915  hashgcdlem  16812  cshwshashlem2  17121  efgs1b  19722  efgredlem  19733  cpmadugsumlemF  22819  dvfsumle  25983  dvfsumleOLD  25984  dvfsumabs  25986  dvntaylp  26336  taylthlem1  26338  taylthlem2  26339  taylthlem2OLD  26340  pntpbnd1  27554  pntlemj  27571  pntlemi  27572  pntlemf  27573  upgrewlkle2  29591  wlk1walk  29624  wlkp1lem6  29663  trlreslem  29684  upgrwlkdvdelem  29723  crctcshwlkn0lem4  29800  crctcshwlkn0lem5  29801  crctcshwlkn0lem6  29802  clwwisshclwws  30001  trlsegvdeglem1  30206  fzone1  32782  poimirlem24  37673  poimirlem25  37674  poimirlem29  37678  poimirlem31  37680  elfzfzo  45272  dvnmptdivc  45934  fourierdlem1  46104  fourierdlem12  46115  fourierdlem14  46117  fourierdlem15  46118  fourierdlem20  46123  fourierdlem25  46128  fourierdlem27  46130  fourierdlem41  46144  fourierdlem46  46148  fourierdlem48  46150  fourierdlem49  46151  fourierdlem50  46152  fourierdlem54  46156  fourierdlem63  46165  fourierdlem64  46166  fourierdlem65  46167  fourierdlem69  46171  fourierdlem70  46172  fourierdlem71  46173  fourierdlem72  46174  fourierdlem73  46175  fourierdlem74  46176  fourierdlem75  46177  fourierdlem76  46178  fourierdlem79  46181  fourierdlem80  46182  fourierdlem81  46183  fourierdlem84  46186  fourierdlem85  46187  fourierdlem88  46190  fourierdlem89  46191  fourierdlem90  46192  fourierdlem91  46193  fourierdlem92  46194  fourierdlem93  46195  fourierdlem94  46196  fourierdlem97  46199  fourierdlem102  46204  fourierdlem103  46205  fourierdlem104  46206  fourierdlem111  46213  fourierdlem113  46215  fourierdlem114  46216  ormkglobd  46871  iccpartiltu  47403  iccelpart  47414  iccpartiun  47415  icceuelpartlem  47416  icceuelpart  47417  iccpartdisj  47418  iccpartnel  47419  upgrimwlklem5  47881  gpgedgvtx0  48032