Theorem elfzofz 13688

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13676	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13687	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13535	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668

This theorem is referenced by:  fzossfz  13691  elfzom1elp1fzo  13739  uzindi  13987  swrdfv0  14639  pfxsuffeqwrdeq  14688  telfsumo  15788  telfsumo2  15789  fsumparts  15792  prodfn0  15880  hashgcdlem  16764  cshwshashlem2  17073  efgs1b  19698  efgredlem  19709  cpmadugsumlemF  22798  dvfsumle  25974  dvfsumleOLD  25975  dvfsumabs  25977  dvntaylp  26326  taylthlem1  26328  taylthlem2  26329  taylthlem2OLD  26330  pntpbnd1  27539  pntlemj  27556  pntlemi  27557  pntlemf  27558  upgrewlkle2  29440  wlk1walk  29473  wlkp1lem6  29512  trlreslem  29533  upgrwlkdvdelem  29570  crctcshwlkn0lem4  29644  crctcshwlkn0lem5  29645  crctcshwlkn0lem6  29646  clwwisshclwws  29845  trlsegvdeglem1  30050  fzone1  32589  poimirlem24  37150  poimirlem25  37151  poimirlem29  37155  poimirlem31  37157  elfzfzo  44687  dvnmptdivc  45355  fourierdlem1  45525  fourierdlem12  45536  fourierdlem14  45538  fourierdlem15  45539  fourierdlem20  45544  fourierdlem25  45549  fourierdlem27  45551  fourierdlem41  45565  fourierdlem46  45569  fourierdlem48  45571  fourierdlem49  45572  fourierdlem50  45573  fourierdlem54  45577  fourierdlem63  45586  fourierdlem64  45587  fourierdlem65  45588  fourierdlem69  45592  fourierdlem70  45593  fourierdlem71  45594  fourierdlem72  45595  fourierdlem73  45596  fourierdlem74  45597  fourierdlem75  45598  fourierdlem76  45599  fourierdlem79  45602  fourierdlem80  45603  fourierdlem81  45604  fourierdlem84  45607  fourierdlem85  45608  fourierdlem88  45611  fourierdlem89  45612  fourierdlem90  45613  fourierdlem91  45614  fourierdlem92  45615  fourierdlem93  45616  fourierdlem94  45617  fourierdlem97  45620  fourierdlem102  45625  fourierdlem103  45626  fourierdlem104  45627  fourierdlem111  45634  fourierdlem113  45636  fourierdlem114  45637  iccpartiltu  46791  iccelpart  46802  iccpartiun  46803  icceuelpartlem  46804  icceuelpart  46805  iccpartdisj  46806  iccpartnel  46807