Theorem elfzofz 13712

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13700	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13711	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13555	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692

This theorem is referenced by:  fzossfz  13715  elfzom1elp1fzo  13768  uzindi  14020  swrdfv0  14684  pfxsuffeqwrdeq  14733  telfsumo  15835  telfsumo2  15836  fsumparts  15839  prodfn0  15927  hashgcdlem  16822  cshwshashlem2  17131  efgs1b  19769  efgredlem  19780  cpmadugsumlemF  22898  dvfsumle  26075  dvfsumleOLD  26076  dvfsumabs  26078  dvntaylp  26428  taylthlem1  26430  taylthlem2  26431  taylthlem2OLD  26432  pntpbnd1  27645  pntlemj  27662  pntlemi  27663  pntlemf  27664  upgrewlkle2  29639  wlk1walk  29672  wlkp1lem6  29711  trlreslem  29732  upgrwlkdvdelem  29769  crctcshwlkn0lem4  29843  crctcshwlkn0lem5  29844  crctcshwlkn0lem6  29845  clwwisshclwws  30044  trlsegvdeglem1  30249  fzone1  32808  poimirlem24  37631  poimirlem25  37632  poimirlem29  37636  poimirlem31  37638  elfzfzo  45227  dvnmptdivc  45894  fourierdlem1  46064  fourierdlem12  46075  fourierdlem14  46077  fourierdlem15  46078  fourierdlem20  46083  fourierdlem25  46088  fourierdlem27  46090  fourierdlem41  46104  fourierdlem46  46108  fourierdlem48  46110  fourierdlem49  46111  fourierdlem50  46112  fourierdlem54  46116  fourierdlem63  46125  fourierdlem64  46126  fourierdlem65  46127  fourierdlem69  46131  fourierdlem70  46132  fourierdlem71  46133  fourierdlem72  46134  fourierdlem73  46135  fourierdlem74  46136  fourierdlem75  46137  fourierdlem76  46138  fourierdlem79  46141  fourierdlem80  46142  fourierdlem81  46143  fourierdlem84  46146  fourierdlem85  46147  fourierdlem88  46150  fourierdlem89  46151  fourierdlem90  46152  fourierdlem91  46153  fourierdlem92  46154  fourierdlem93  46155  fourierdlem94  46156  fourierdlem97  46159  fourierdlem102  46164  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  fourierdlem111  46173  fourierdlem113  46175  fourierdlem114  46176  iccpartiltu  47347  iccelpart  47358  iccpartiun  47359  icceuelpartlem  47360  icceuelpart  47361  iccpartdisj  47362  iccpartnel  47363  gpgedgvtx0  47954