Theorem elfzofz 13624

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13612	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13623	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13466	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℤ_≥cuz 12782  ...cfz 13455  ..^cfzo 13602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603

This theorem is referenced by:  fzossfz  13627  elfzom1elp1fzo  13681  fzone1  13733  uzindi  13938  swrdfv0  14606  pfxsuffeqwrdeq  14654  telfsumo  15759  telfsumo2  15760  fsumparts  15763  prodfn0  15853  hashgcdlem  16752  cshwshashlem2  17061  efgs1b  19705  efgredlem  19716  cpmadugsumlemF  22854  dvfsumle  26001  dvfsumabs  26003  dvntaylp  26351  taylthlem1  26353  taylthlem2  26354  taylthlem2OLD  26355  pntpbnd1  27566  pntlemj  27583  pntlemi  27584  pntlemf  27585  upgrewlkle2  29693  wlk1walk  29725  wlkp1lem6  29763  trlreslem  29784  upgrwlkdvdelem  29822  crctcshwlkn0lem4  29899  crctcshwlkn0lem5  29900  crctcshwlkn0lem6  29901  clwwisshclwws  30103  trlsegvdeglem1  30308  poimirlem24  37982  poimirlem25  37983  poimirlem29  37987  poimirlem31  37989  elfzfzo  45731  dvnmptdivc  46387  fourierdlem1  46557  fourierdlem12  46568  fourierdlem14  46570  fourierdlem15  46571  fourierdlem20  46576  fourierdlem25  46581  fourierdlem27  46583  fourierdlem41  46597  fourierdlem46  46601  fourierdlem48  46603  fourierdlem49  46604  fourierdlem50  46605  fourierdlem54  46609  fourierdlem63  46618  fourierdlem64  46619  fourierdlem65  46620  fourierdlem69  46624  fourierdlem70  46625  fourierdlem71  46626  fourierdlem72  46627  fourierdlem73  46628  fourierdlem74  46629  fourierdlem75  46630  fourierdlem76  46631  fourierdlem79  46634  fourierdlem80  46635  fourierdlem81  46636  fourierdlem84  46639  fourierdlem85  46640  fourierdlem88  46643  fourierdlem89  46644  fourierdlem90  46645  fourierdlem91  46646  fourierdlem92  46647  fourierdlem93  46648  fourierdlem94  46649  fourierdlem97  46652  fourierdlem102  46657  fourierdlem103  46658  fourierdlem104  46659  fourierdlem111  46666  fourierdlem113  46668  fourierdlem114  46669  ormkglobd  47324  iccpartiltu  47897  iccelpart  47908  iccpartiun  47909  icceuelpartlem  47910  icceuelpart  47911  iccpartdisj  47912  iccpartnel  47913  upgrimwlklem5  48392  gpgedgvtx0  48552