Theorem elfzofz 13621

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13609	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13620	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13463	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600

This theorem is referenced by:  fzossfz  13624  elfzom1elp1fzo  13678  fzone1  13730  uzindi  13935  swrdfv0  14603  pfxsuffeqwrdeq  14651  telfsumo  15756  telfsumo2  15757  fsumparts  15760  prodfn0  15850  hashgcdlem  16749  cshwshashlem2  17058  efgs1b  19702  efgredlem  19713  cpmadugsumlemF  22859  dvfsumle  26006  dvfsumabs  26008  dvntaylp  26354  taylthlem1  26356  taylthlem2  26357  pntpbnd1  27567  pntlemj  27584  pntlemi  27585  pntlemf  27586  upgrewlkle2  29693  wlk1walk  29725  wlkp1lem6  29763  trlreslem  29784  upgrwlkdvdelem  29822  crctcshwlkn0lem4  29899  crctcshwlkn0lem5  29900  crctcshwlkn0lem6  29901  clwwisshclwws  30103  trlsegvdeglem1  30308  poimirlem24  38011  poimirlem25  38012  poimirlem29  38016  poimirlem31  38018  elfzfzo  45725  dvnmptdivc  46381  fourierdlem1  46551  fourierdlem12  46562  fourierdlem14  46564  fourierdlem15  46565  fourierdlem20  46570  fourierdlem25  46575  fourierdlem27  46577  fourierdlem41  46591  fourierdlem46  46595  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem50  46599  fourierdlem54  46603  fourierdlem63  46612  fourierdlem64  46613  fourierdlem65  46614  fourierdlem69  46618  fourierdlem70  46619  fourierdlem71  46620  fourierdlem72  46621  fourierdlem73  46622  fourierdlem74  46623  fourierdlem75  46624  fourierdlem76  46625  fourierdlem79  46628  fourierdlem80  46629  fourierdlem81  46630  fourierdlem84  46633  fourierdlem85  46634  fourierdlem88  46637  fourierdlem89  46638  fourierdlem90  46639  fourierdlem91  46640  fourierdlem92  46641  fourierdlem93  46642  fourierdlem94  46643  fourierdlem97  46646  fourierdlem102  46651  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fourierdlem111  46660  fourierdlem113  46662  fourierdlem114  46663  ormkglobd  47320  iccpartiltu  47897  iccelpart  47908  iccpartiun  47909  icceuelpartlem  47910  icceuelpart  47911  iccpartdisj  47912  iccpartnel  47913  upgrimwlklem5  48392  gpgedgvtx0  48552