Theorem elfzofz 12808

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 12797	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 12807	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 12657	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 578	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℤ_≥cuz 11996  ...cfz 12647  ..^cfzo 12788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-fzo 12789

This theorem is referenced by:  fzossfz  12811  elfzom1elp1fzo  12858  uzindi  13104  swrdfv0  13745  2swrdeqwrdeqOLD  13777  pfxsuffeqwrdeq  13811  telfsumo  14942  telfsumo2  14943  fsumparts  14946  prodfn0  15033  hashgcdlem  15901  cshwshashlem2  16206  efgs1b  18537  efgredlem  18549  efgredlemOLD  18550  cpmadugsumlemF  21092  dvfsumle  24225  dvfsumabs  24227  dvntaylp  24566  taylthlem1  24568  taylthlem2  24569  pntpbnd1  25731  pntlemj  25748  pntlemi  25749  pntlemf  25750  upgrewlkle2  26958  wlk1walk  26990  wlkp1lem6  27033  trlreslem  27054  trlreslemOLD  27056  upgrwlkdvdelem  27092  crctcshwlkn0lem4  27166  crctcshwlkn0lem5  27167  crctcshwlkn0lem6  27168  clwwisshclwws  27408  trlsegvdeglem1  27628  poimirlem24  34064  poimirlem25  34065  poimirlem29  34069  poimirlem31  34071  elfzfzo  40408  dvnmptdivc  41091  fourierdlem1  41262  fourierdlem12  41273  fourierdlem14  41275  fourierdlem15  41276  fourierdlem20  41281  fourierdlem25  41286  fourierdlem27  41288  fourierdlem41  41302  fourierdlem46  41306  fourierdlem48  41308  fourierdlem49  41309  fourierdlem50  41310  fourierdlem54  41314  fourierdlem63  41323  fourierdlem64  41324  fourierdlem65  41325  fourierdlem69  41329  fourierdlem70  41330  fourierdlem71  41331  fourierdlem72  41332  fourierdlem73  41333  fourierdlem74  41334  fourierdlem75  41335  fourierdlem76  41336  fourierdlem79  41339  fourierdlem80  41340  fourierdlem81  41341  fourierdlem84  41344  fourierdlem85  41345  fourierdlem88  41348  fourierdlem89  41349  fourierdlem90  41350  fourierdlem91  41351  fourierdlem92  41352  fourierdlem93  41353  fourierdlem94  41354  fourierdlem97  41357  fourierdlem102  41362  fourierdlem103  41363  fourierdlem104  41364  fourierdlem111  41371  fourierdlem113  41373  fourierdlem114  41374  iccpartiltu  42400  iccelpart  42411  iccpartiun  42412  icceuelpartlem  42413  icceuelpart  42414  iccpartdisj  42415  iccpartnel  42416