Theorem elfzofz 13732

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13720	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13731	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13578	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712

This theorem is referenced by:  fzossfz  13735  elfzom1elp1fzo  13783  uzindi  14033  swrdfv0  14697  pfxsuffeqwrdeq  14746  telfsumo  15850  telfsumo2  15851  fsumparts  15854  prodfn0  15942  hashgcdlem  16835  cshwshashlem2  17144  efgs1b  19778  efgredlem  19789  cpmadugsumlemF  22903  dvfsumle  26080  dvfsumleOLD  26081  dvfsumabs  26083  dvntaylp  26431  taylthlem1  26433  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  pntpbnd1  27648  pntlemj  27665  pntlemi  27666  pntlemf  27667  upgrewlkle2  29642  wlk1walk  29675  wlkp1lem6  29714  trlreslem  29735  upgrwlkdvdelem  29772  crctcshwlkn0lem4  29846  crctcshwlkn0lem5  29847  crctcshwlkn0lem6  29848  clwwisshclwws  30047  trlsegvdeglem1  30252  fzone1  32805  poimirlem24  37604  poimirlem25  37605  poimirlem29  37609  poimirlem31  37611  elfzfzo  45191  dvnmptdivc  45859  fourierdlem1  46029  fourierdlem12  46040  fourierdlem14  46042  fourierdlem15  46043  fourierdlem20  46048  fourierdlem25  46053  fourierdlem27  46055  fourierdlem41  46069  fourierdlem46  46073  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem50  46077  fourierdlem54  46081  fourierdlem63  46090  fourierdlem64  46091  fourierdlem65  46092  fourierdlem69  46096  fourierdlem70  46097  fourierdlem71  46098  fourierdlem72  46099  fourierdlem73  46100  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fourierdlem76  46103  fourierdlem79  46106  fourierdlem80  46107  fourierdlem81  46108  fourierdlem84  46111  fourierdlem85  46112  fourierdlem88  46115  fourierdlem89  46116  fourierdlem90  46117  fourierdlem91  46118  fourierdlem92  46119  fourierdlem93  46120  fourierdlem94  46121  fourierdlem97  46124  fourierdlem102  46129  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem111  46138  fourierdlem113  46140  fourierdlem114  46141  iccpartiltu  47296  iccelpart  47307  iccpartiun  47308  icceuelpartlem  47309  icceuelpart  47310  iccpartdisj  47311  iccpartnel  47312