Theorem elfzofz 13681

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13669	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13680	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13523	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℤ_≥cuz 12839  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660

This theorem is referenced by:  fzossfz  13684  elfzom1elp1fzo  13738  fzone1  13790  uzindi  13995  swrdfv0  14663  pfxsuffeqwrdeq  14711  telfsumo  15830  telfsumo2  15831  fsumparts  15834  prodfn0  15924  hashgcdlem  16823  cshwshashlem2  17132  efgs1b  19776  efgredlem  19787  cpmadugsumlemF  22936  dvfsumle  26083  dvfsumabs  26085  dvntaylp  26434  taylthlem1  26436  taylthlem2  26437  pntpbnd1  27650  pntlemj  27667  pntlemi  27668  pntlemf  27669  upgrewlkle2  29807  wlk1walk  29839  wlkp1lem6  29877  trlreslem  29898  upgrwlkdvdelem  29936  crctcshwlkn0lem4  30013  crctcshwlkn0lem5  30014  crctcshwlkn0lem6  30015  clwwisshclwws  30217  trlsegvdeglem1  30422  poimirlem24  38143  poimirlem25  38144  poimirlem29  38148  poimirlem31  38150  elfzfzo  45856  dvnmptdivc  46512  fourierdlem1  46682  fourierdlem12  46693  fourierdlem14  46695  fourierdlem15  46696  fourierdlem20  46701  fourierdlem25  46706  fourierdlem27  46708  fourierdlem41  46722  fourierdlem46  46726  fourierdlem48  46728  fourierdlem49  46729  fourierdlem50  46730  fourierdlem54  46734  fourierdlem63  46743  fourierdlem64  46744  fourierdlem65  46745  fourierdlem69  46749  fourierdlem70  46750  fourierdlem71  46751  fourierdlem72  46752  fourierdlem73  46753  fourierdlem74  46754  fourierdlem75  46755  fourierdlem76  46756  fourierdlem79  46759  fourierdlem80  46760  fourierdlem81  46761  fourierdlem84  46764  fourierdlem85  46765  fourierdlem88  46768  fourierdlem89  46769  fourierdlem90  46770  fourierdlem91  46771  fourierdlem92  46772  fourierdlem93  46773  fourierdlem94  46774  fourierdlem97  46777  fourierdlem102  46782  fourierdlem103  46783  fourierdlem104  46784  fourierdlem111  46791  fourierdlem113  46793  fourierdlem114  46794  ormkglobd  47451  iccpartiltu  48028  iccelpart  48039  iccpartiun  48040  icceuelpartlem  48041  icceuelpart  48042  iccpartdisj  48043  iccpartnel  48044  upgrimwlklem5  48523  gpgedgvtx0  48683