Theorem elfzofz 13591

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13579	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13590	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13434	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571

This theorem is referenced by:  fzossfz  13594  elfzom1elp1fzo  13648  fzone1  13700  uzindi  13905  swrdfv0  14573  pfxsuffeqwrdeq  14621  telfsumo  15725  telfsumo2  15726  fsumparts  15729  prodfn0  15817  hashgcdlem  16715  cshwshashlem2  17024  efgs1b  19665  efgredlem  19676  cpmadugsumlemF  22820  dvfsumle  25982  dvfsumleOLD  25983  dvfsumabs  25985  dvntaylp  26335  taylthlem1  26337  taylthlem2  26338  taylthlem2OLD  26339  pntpbnd1  27553  pntlemj  27570  pntlemi  27571  pntlemf  27572  upgrewlkle2  29680  wlk1walk  29712  wlkp1lem6  29750  trlreslem  29771  upgrwlkdvdelem  29809  crctcshwlkn0lem4  29886  crctcshwlkn0lem5  29887  crctcshwlkn0lem6  29888  clwwisshclwws  30090  trlsegvdeglem1  30295  poimirlem24  37845  poimirlem25  37846  poimirlem29  37850  poimirlem31  37852  elfzfzo  45525  dvnmptdivc  46182  fourierdlem1  46352  fourierdlem12  46363  fourierdlem14  46365  fourierdlem15  46366  fourierdlem20  46371  fourierdlem25  46376  fourierdlem27  46378  fourierdlem41  46392  fourierdlem46  46396  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem50  46400  fourierdlem54  46404  fourierdlem63  46413  fourierdlem64  46414  fourierdlem65  46415  fourierdlem69  46419  fourierdlem70  46420  fourierdlem71  46421  fourierdlem72  46422  fourierdlem73  46423  fourierdlem74  46424  fourierdlem75  46425  fourierdlem76  46426  fourierdlem79  46429  fourierdlem80  46430  fourierdlem81  46431  fourierdlem84  46434  fourierdlem85  46435  fourierdlem88  46438  fourierdlem89  46439  fourierdlem90  46440  fourierdlem91  46441  fourierdlem92  46442  fourierdlem93  46443  fourierdlem94  46444  fourierdlem97  46447  fourierdlem102  46452  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  fourierdlem111  46461  fourierdlem113  46463  fourierdlem114  46464  ormkglobd  47119  iccpartiltu  47668  iccelpart  47679  iccpartiun  47680  icceuelpartlem  47681  icceuelpart  47682  iccpartdisj  47683  iccpartnel  47684  upgrimwlklem5  48147  gpgedgvtx0  48307