Theorem elfzofz 13651

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13639	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13650	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13498	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℤ_≥cuz 12823  ...cfz 13487  ..^cfzo 13630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631

This theorem is referenced by:  fzossfz  13654  elfzom1elp1fzo  13702  uzindi  13950  swrdfv0  14602  pfxsuffeqwrdeq  14651  telfsumo  15751  telfsumo2  15752  fsumparts  15755  prodfn0  15843  hashgcdlem  16727  cshwshashlem2  17036  efgs1b  19653  efgredlem  19664  cpmadugsumlemF  22728  dvfsumle  25904  dvfsumleOLD  25905  dvfsumabs  25907  dvntaylp  26256  taylthlem1  26258  taylthlem2  26259  taylthlem2OLD  26260  pntpbnd1  27469  pntlemj  27486  pntlemi  27487  pntlemf  27488  upgrewlkle2  29367  wlk1walk  29400  wlkp1lem6  29439  trlreslem  29460  upgrwlkdvdelem  29497  crctcshwlkn0lem4  29571  crctcshwlkn0lem5  29572  crctcshwlkn0lem6  29573  clwwisshclwws  29772  trlsegvdeglem1  29977  fzone1  32515  poimirlem24  37024  poimirlem25  37025  poimirlem29  37029  poimirlem31  37031  elfzfzo  44540  dvnmptdivc  45208  fourierdlem1  45378  fourierdlem12  45389  fourierdlem14  45391  fourierdlem15  45392  fourierdlem20  45397  fourierdlem25  45402  fourierdlem27  45404  fourierdlem41  45418  fourierdlem46  45422  fourierdlem48  45424  fourierdlem49  45425  fourierdlem50  45426  fourierdlem54  45430  fourierdlem63  45439  fourierdlem64  45440  fourierdlem65  45441  fourierdlem69  45445  fourierdlem70  45446  fourierdlem71  45447  fourierdlem72  45448  fourierdlem73  45449  fourierdlem74  45450  fourierdlem75  45451  fourierdlem76  45452  fourierdlem79  45455  fourierdlem80  45456  fourierdlem81  45457  fourierdlem84  45460  fourierdlem85  45461  fourierdlem88  45464  fourierdlem89  45465  fourierdlem90  45466  fourierdlem91  45467  fourierdlem92  45468  fourierdlem93  45469  fourierdlem94  45470  fourierdlem97  45473  fourierdlem102  45478  fourierdlem103  45479  fourierdlem104  45480  fourierdlem111  45487  fourierdlem113  45489  fourierdlem114  45490  iccpartiltu  46644  iccelpart  46655  iccpartiun  46656  icceuelpartlem  46657  icceuelpart  46658  iccpartdisj  46659  iccpartnel  46660