Theorem elfzofz 13391

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13379	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13390	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13238	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  ℤ_≥cuz 12570  ...cfz 13227  ..^cfzo 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-fzo 13371

This theorem is referenced by:  fzossfz  13394  elfzom1elp1fzo  13442  uzindi  13690  swrdfv0  14350  pfxsuffeqwrdeq  14399  telfsumo  15502  telfsumo2  15503  fsumparts  15506  prodfn0  15594  hashgcdlem  16477  cshwshashlem2  16786  efgs1b  19330  efgredlem  19341  cpmadugsumlemF  22013  dvfsumle  25173  dvfsumabs  25175  dvntaylp  25518  taylthlem1  25520  taylthlem2  25521  pntpbnd1  26722  pntlemj  26739  pntlemi  26740  pntlemf  26741  upgrewlkle2  27961  wlk1walk  27993  wlkp1lem6  28033  trlreslem  28054  upgrwlkdvdelem  28090  crctcshwlkn0lem4  28164  crctcshwlkn0lem5  28165  crctcshwlkn0lem6  28166  clwwisshclwws  28365  trlsegvdeglem1  28570  fzone1  31107  poimirlem24  35787  poimirlem25  35788  poimirlem29  35792  poimirlem31  35794  elfzfzo  42774  dvnmptdivc  43438  fourierdlem1  43608  fourierdlem12  43619  fourierdlem14  43621  fourierdlem15  43622  fourierdlem20  43627  fourierdlem25  43632  fourierdlem27  43634  fourierdlem41  43648  fourierdlem46  43652  fourierdlem48  43654  fourierdlem49  43655  fourierdlem50  43656  fourierdlem54  43660  fourierdlem63  43669  fourierdlem64  43670  fourierdlem65  43671  fourierdlem69  43675  fourierdlem70  43676  fourierdlem71  43677  fourierdlem72  43678  fourierdlem73  43679  fourierdlem74  43680  fourierdlem75  43681  fourierdlem76  43682  fourierdlem79  43685  fourierdlem80  43686  fourierdlem81  43687  fourierdlem84  43690  fourierdlem85  43691  fourierdlem88  43694  fourierdlem89  43695  fourierdlem90  43696  fourierdlem91  43697  fourierdlem92  43698  fourierdlem93  43699  fourierdlem94  43700  fourierdlem97  43703  fourierdlem102  43708  fourierdlem103  43709  fourierdlem104  43710  fourierdlem111  43717  fourierdlem113  43719  fourierdlem114  43720  iccpartiltu  44830  iccelpart  44841  iccpartiun  44842  icceuelpartlem  44843  icceuelpart  44844  iccpartdisj  44845  iccpartnel  44846