Theorem elfzofz 13700

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13688	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13699	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13541	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679

This theorem is referenced by:  fzossfz  13703  elfzom1elp1fzo  13757  fzone1  13809  uzindi  14014  swrdfv0  14683  pfxsuffeqwrdeq  14731  telfsumo  15850  telfsumo2  15851  fsumparts  15854  prodfn0  15944  hashgcdlem  16842  cshwshashlem2  17151  efgs1b  19801  efgredlem  19812  cpmadugsumlemF  23033  dvfsumle  26180  dvfsumabs  26182  dvntaylp  26534  taylthlem1  26536  taylthlem2  26537  pntpbnd1  27750  pntlemj  27767  pntlemi  27768  pntlemf  27769  upgrewlkle2  29956  wlk1walk  29988  wlkp1lem6  30026  trlreslem  30047  upgrwlkdvdelem  30085  crctcshwlkn0lem4  30162  crctcshwlkn0lem5  30163  crctcshwlkn0lem6  30164  clwwisshclwws  30366  trlsegvdeglem1  30571  poimirlem24  38295  poimirlem25  38296  poimirlem29  38300  poimirlem31  38302  elfzfzo  45996  dvnmptdivc  46652  fourierdlem1  46822  fourierdlem12  46833  fourierdlem14  46835  fourierdlem15  46836  fourierdlem20  46841  fourierdlem25  46846  fourierdlem27  46848  fourierdlem41  46862  fourierdlem46  46866  fourierdlem48  46868  fourierdlem49  46869  fourierdlem50  46870  fourierdlem54  46874  fourierdlem63  46883  fourierdlem64  46884  fourierdlem65  46885  fourierdlem69  46889  fourierdlem70  46890  fourierdlem71  46891  fourierdlem72  46892  fourierdlem73  46893  fourierdlem74  46894  fourierdlem75  46895  fourierdlem76  46896  fourierdlem79  46899  fourierdlem80  46900  fourierdlem81  46901  fourierdlem84  46904  fourierdlem85  46905  fourierdlem88  46908  fourierdlem89  46909  fourierdlem90  46910  fourierdlem91  46911  fourierdlem92  46912  fourierdlem93  46913  fourierdlem94  46914  fourierdlem97  46917  fourierdlem102  46922  fourierdlem103  46923  fourierdlem104  46924  fourierdlem111  46931  fourierdlem113  46933  fourierdlem114  46934  ormkglobd  47591  iccpartiltu  48171  iccelpart  48182  iccpartiun  48183  icceuelpartlem  48184  icceuelpart  48185  iccpartdisj  48186  iccpartnel  48187  upgrimwlklem5  48666  gpgedgvtx0  48826