Theorem elfzofz 13817

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13805	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13816	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13657	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℤ_≥cuz 12972  ...cfz 13646  ..^cfzo 13795

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796

This theorem is used by:  fzossfz  13820  elfzom1elp1fzo  13874  fzone1  13926  uzindi  14132  swrdfv0  14805  pfxsuffeqwrdeq  14855  telfsumo  15978  telfsumo2  15979  fsumparts  15982  prodfn0  16072  hashgcdlem  16974  cshwshashlem2  17283  efgs1b  19959  efgredlem  19970  cpmadugsumlemF  23203  dvfsumle  26350  dvfsumabs  26352  dvntaylp  26707  taylthlem1  26709  taylthlem2  26710  pntpbnd1  27922  pntlemj  27939  pntlemi  27940  pntlemf  27941  upgrewlkle2  30196  wlk1walk  30228  wlkp1lem6  30266  trlreslem  30291  upgrwlkdvdelem  30331  crctcshwlkn0lem4  30411  crctcshwlkn0lem5  30412  crctcshwlkn0lem6  30413  clwwisshclwws  30615  trlsegvdeglem1  30830  poimirlem24  38699  poimirlem25  38700  poimirlem29  38704  poimirlem31  38706  elfzfzo  46429  dvnmptdivc  47084  fourierdlem1  47254  fourierdlem12  47265  fourierdlem14  47267  fourierdlem15  47268  fourierdlem20  47273  fourierdlem25  47278  fourierdlem27  47280  fourierdlem41  47294  fourierdlem46  47298  fourierdlem48  47300  fourierdlem49  47301  fourierdlem50  47302  fourierdlem54  47306  fourierdlem63  47315  fourierdlem64  47316  fourierdlem65  47317  fourierdlem69  47321  fourierdlem70  47322  fourierdlem71  47323  fourierdlem72  47324  fourierdlem73  47325  fourierdlem74  47326  fourierdlem75  47327  fourierdlem76  47328  fourierdlem79  47331  fourierdlem80  47332  fourierdlem81  47333  fourierdlem84  47336  fourierdlem85  47337  fourierdlem88  47340  fourierdlem89  47341  fourierdlem90  47342  fourierdlem91  47343  fourierdlem92  47344  fourierdlem93  47345  fourierdlem94  47346  fourierdlem97  47349  fourierdlem102  47354  fourierdlem103  47355  fourierdlem104  47356  fourierdlem111  47363  fourierdlem113  47365  fourierdlem114  47366  ormkglobd  48023  iccpartiltu  48640  iccelpart  48651  iccpartiun  48652  icceuelpartlem  48653  icceuelpart  48654  iccpartdisj  48655  iccpartnel  48656  upgrimwlklem5  49135  gpgedgvtx0  49295