Theorem elfzofz 13703

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13691	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13702	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13545	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534  ..^cfzo 13681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682

This theorem is referenced by:  fzossfz  13706  elfzom1elp1fzo  13760  fzone1  13812  uzindi  14017  swrdfv0  14686  pfxsuffeqwrdeq  14734  telfsumo  15853  telfsumo2  15854  fsumparts  15857  prodfn0  15947  hashgcdlem  16846  cshwshashlem2  17155  efgs1b  19805  efgredlem  19816  cpmadugsumlemF  23001  dvfsumle  26148  dvfsumabs  26150  dvntaylp  26499  taylthlem1  26501  taylthlem2  26502  pntpbnd1  27715  pntlemj  27732  pntlemi  27733  pntlemf  27734  upgrewlkle2  29896  wlk1walk  29928  wlkp1lem6  29966  trlreslem  29987  upgrwlkdvdelem  30025  crctcshwlkn0lem4  30102  crctcshwlkn0lem5  30103  crctcshwlkn0lem6  30104  clwwisshclwws  30306  trlsegvdeglem1  30511  poimirlem24  38182  poimirlem25  38183  poimirlem29  38187  poimirlem31  38189  elfzfzo  45887  dvnmptdivc  46543  fourierdlem1  46713  fourierdlem12  46724  fourierdlem14  46726  fourierdlem15  46727  fourierdlem20  46732  fourierdlem25  46737  fourierdlem27  46739  fourierdlem41  46753  fourierdlem46  46757  fourierdlem48  46759  fourierdlem49  46760  fourierdlem50  46761  fourierdlem54  46765  fourierdlem63  46774  fourierdlem64  46775  fourierdlem65  46776  fourierdlem69  46780  fourierdlem70  46781  fourierdlem71  46782  fourierdlem72  46783  fourierdlem73  46784  fourierdlem74  46785  fourierdlem75  46786  fourierdlem76  46787  fourierdlem79  46790  fourierdlem80  46791  fourierdlem81  46792  fourierdlem84  46795  fourierdlem85  46796  fourierdlem88  46799  fourierdlem89  46800  fourierdlem90  46801  fourierdlem91  46802  fourierdlem92  46803  fourierdlem93  46804  fourierdlem94  46805  fourierdlem97  46808  fourierdlem102  46813  fourierdlem103  46814  fourierdlem104  46815  fourierdlem111  46822  fourierdlem113  46824  fourierdlem114  46825  ormkglobd  47482  iccpartiltu  48059  iccelpart  48070  iccpartiun  48071  icceuelpartlem  48072  icceuelpart  48073  iccpartdisj  48074  iccpartnel  48075  upgrimwlklem5  48554  gpgedgvtx0  48714