Theorem elfzofz 13810

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13798	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13809	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13650	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789

This theorem is used by:  fzossfz  13813  elfzom1elp1fzo  13867  fzone1  13919  uzindi  14125  swrdfv0  14797  pfxsuffeqwrdeq  14847  telfsumo  15969  telfsumo2  15970  fsumparts  15973  prodfn0  16063  hashgcdlem  16965  cshwshashlem2  17274  efgs1b  19950  efgredlem  19961  cpmadugsumlemF  23194  dvfsumle  26341  dvfsumabs  26343  dvntaylp  26698  taylthlem1  26700  taylthlem2  26701  pntpbnd1  27913  pntlemj  27930  pntlemi  27931  pntlemf  27932  upgrewlkle2  30187  wlk1walk  30219  wlkp1lem6  30257  trlreslem  30282  upgrwlkdvdelem  30322  crctcshwlkn0lem4  30402  crctcshwlkn0lem5  30403  crctcshwlkn0lem6  30404  clwwisshclwws  30606  trlsegvdeglem1  30821  poimirlem24  38562  poimirlem25  38563  poimirlem29  38567  poimirlem31  38569  elfzfzo  46292  dvnmptdivc  46947  fourierdlem1  47117  fourierdlem12  47128  fourierdlem14  47130  fourierdlem15  47131  fourierdlem20  47136  fourierdlem25  47141  fourierdlem27  47143  fourierdlem41  47157  fourierdlem46  47161  fourierdlem48  47163  fourierdlem49  47164  fourierdlem50  47165  fourierdlem54  47169  fourierdlem63  47178  fourierdlem64  47179  fourierdlem65  47180  fourierdlem69  47184  fourierdlem70  47185  fourierdlem71  47186  fourierdlem72  47187  fourierdlem73  47188  fourierdlem74  47189  fourierdlem75  47190  fourierdlem76  47191  fourierdlem79  47194  fourierdlem80  47195  fourierdlem81  47196  fourierdlem84  47199  fourierdlem85  47200  fourierdlem88  47203  fourierdlem89  47204  fourierdlem90  47205  fourierdlem91  47206  fourierdlem92  47207  fourierdlem93  47208  fourierdlem94  47209  fourierdlem97  47212  fourierdlem102  47217  fourierdlem103  47218  fourierdlem104  47219  fourierdlem111  47226  fourierdlem113  47228  fourierdlem114  47229  ormkglobd  47886  iccpartiltu  48503  iccelpart  48514  iccpartiun  48515  icceuelpartlem  48516  icceuelpart  48517  iccpartdisj  48518  iccpartnel  48519  upgrimwlklem5  48998  gpgedgvtx0  49158