Theorem elfzofz 13612

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13600	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13611	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13455	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592

This theorem is referenced by:  fzossfz  13615  elfzom1elp1fzo  13669  uzindi  13923  swrdfv0  14590  pfxsuffeqwrdeq  14639  telfsumo  15744  telfsumo2  15745  fsumparts  15748  prodfn0  15836  hashgcdlem  16734  cshwshashlem2  17043  efgs1b  19650  efgredlem  19661  cpmadugsumlemF  22796  dvfsumle  25959  dvfsumleOLD  25960  dvfsumabs  25962  dvntaylp  26312  taylthlem1  26314  taylthlem2  26315  taylthlem2OLD  26316  pntpbnd1  27530  pntlemj  27547  pntlemi  27548  pntlemf  27549  upgrewlkle2  29587  wlk1walk  29619  wlkp1lem6  29657  trlreslem  29678  upgrwlkdvdelem  29716  crctcshwlkn0lem4  29793  crctcshwlkn0lem5  29794  crctcshwlkn0lem6  29795  clwwisshclwws  29994  trlsegvdeglem1  30199  fzone1  32773  poimirlem24  37631  poimirlem25  37632  poimirlem29  37636  poimirlem31  37638  elfzfzo  45268  dvnmptdivc  45929  fourierdlem1  46099  fourierdlem12  46110  fourierdlem14  46112  fourierdlem15  46113  fourierdlem20  46118  fourierdlem25  46123  fourierdlem27  46125  fourierdlem41  46139  fourierdlem46  46143  fourierdlem48  46145  fourierdlem49  46146  fourierdlem50  46147  fourierdlem54  46151  fourierdlem63  46160  fourierdlem64  46161  fourierdlem65  46162  fourierdlem69  46166  fourierdlem70  46167  fourierdlem71  46168  fourierdlem72  46169  fourierdlem73  46170  fourierdlem74  46171  fourierdlem75  46172  fourierdlem76  46173  fourierdlem79  46176  fourierdlem80  46177  fourierdlem81  46178  fourierdlem84  46181  fourierdlem85  46182  fourierdlem88  46185  fourierdlem89  46186  fourierdlem90  46187  fourierdlem91  46188  fourierdlem92  46189  fourierdlem93  46190  fourierdlem94  46191  fourierdlem97  46194  fourierdlem102  46199  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  fourierdlem111  46208  fourierdlem113  46210  fourierdlem114  46211  ormkglobd  46866  iccpartiltu  47416  iccelpart  47427  iccpartiun  47428  icceuelpartlem  47429  icceuelpart  47430  iccpartdisj  47431  iccpartnel  47432  upgrimwlklem5  47894  gpgedgvtx0  48045