Theorem elfzofz 13647

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13635	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13646	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13494	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℤ_≥cuz 12821  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627

This theorem is referenced by:  fzossfz  13650  elfzom1elp1fzo  13698  uzindi  13946  swrdfv0  14598  pfxsuffeqwrdeq  14647  telfsumo  15747  telfsumo2  15748  fsumparts  15751  prodfn0  15839  hashgcdlem  16720  cshwshashlem2  17029  efgs1b  19603  efgredlem  19614  cpmadugsumlemF  22377  dvfsumle  25537  dvfsumabs  25539  dvntaylp  25882  taylthlem1  25884  taylthlem2  25885  pntpbnd1  27086  pntlemj  27103  pntlemi  27104  pntlemf  27105  upgrewlkle2  28860  wlk1walk  28893  wlkp1lem6  28932  trlreslem  28953  upgrwlkdvdelem  28990  crctcshwlkn0lem4  29064  crctcshwlkn0lem5  29065  crctcshwlkn0lem6  29066  clwwisshclwws  29265  trlsegvdeglem1  29470  fzone1  32006  gg-dvfsumle  35177  poimirlem24  36507  poimirlem25  36508  poimirlem29  36512  poimirlem31  36514  elfzfzo  43976  dvnmptdivc  44644  fourierdlem1  44814  fourierdlem12  44825  fourierdlem14  44827  fourierdlem15  44828  fourierdlem20  44833  fourierdlem25  44838  fourierdlem27  44840  fourierdlem41  44854  fourierdlem46  44858  fourierdlem48  44860  fourierdlem49  44861  fourierdlem50  44862  fourierdlem54  44866  fourierdlem63  44875  fourierdlem64  44876  fourierdlem65  44877  fourierdlem69  44881  fourierdlem70  44882  fourierdlem71  44883  fourierdlem72  44884  fourierdlem73  44885  fourierdlem74  44886  fourierdlem75  44887  fourierdlem76  44888  fourierdlem79  44891  fourierdlem80  44892  fourierdlem81  44893  fourierdlem84  44896  fourierdlem85  44897  fourierdlem88  44900  fourierdlem89  44901  fourierdlem90  44902  fourierdlem91  44903  fourierdlem92  44904  fourierdlem93  44905  fourierdlem94  44906  fourierdlem97  44909  fourierdlem102  44914  fourierdlem103  44915  fourierdlem104  44916  fourierdlem111  44923  fourierdlem113  44925  fourierdlem114  44926  iccpartiltu  46080  iccelpart  46091  iccpartiun  46092  icceuelpartlem  46093  icceuelpart  46094  iccpartdisj  46095  iccpartnel  46096