MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzofz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzofz 13036
Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzofz (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz
StepHypRef Expression
1 elfzouz 13025 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 elfzouz2 13035 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
3 elfzuzb 12885 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
41, 2, 3sylanbrc 586 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  cfv 6328  (class class class)co 7130  cuz 12221  ...cfz 12875  ..^cfzo 13016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017
This theorem is referenced by:  fzossfz  13039  elfzom1elp1fzo  13087  uzindi  13333  swrdfv0  13990  pfxsuffeqwrdeq  14039  telfsumo  15136  telfsumo2  15137  fsumparts  15140  prodfn0  15229  hashgcdlem  16102  cshwshashlem2  16408  efgs1b  18840  efgredlem  18851  cpmadugsumlemF  21459  dvfsumle  24602  dvfsumabs  24604  dvntaylp  24944  taylthlem1  24946  taylthlem2  24947  pntpbnd1  26148  pntlemj  26165  pntlemi  26166  pntlemf  26167  upgrewlkle2  27374  wlk1walk  27406  wlkp1lem6  27446  trlreslem  27467  upgrwlkdvdelem  27503  crctcshwlkn0lem4  27577  crctcshwlkn0lem5  27578  crctcshwlkn0lem6  27579  clwwisshclwws  27778  trlsegvdeglem1  27983  fzone1  30509  poimirlem24  34959  poimirlem25  34960  poimirlem29  34964  poimirlem31  34966  elfzfzo  41696  dvnmptdivc  42371  fourierdlem1  42541  fourierdlem12  42552  fourierdlem14  42554  fourierdlem15  42555  fourierdlem20  42560  fourierdlem25  42565  fourierdlem27  42567  fourierdlem41  42581  fourierdlem46  42585  fourierdlem48  42587  fourierdlem49  42588  fourierdlem50  42589  fourierdlem54  42593  fourierdlem63  42602  fourierdlem64  42603  fourierdlem65  42604  fourierdlem69  42608  fourierdlem70  42609  fourierdlem71  42610  fourierdlem72  42611  fourierdlem73  42612  fourierdlem74  42613  fourierdlem75  42614  fourierdlem76  42615  fourierdlem79  42618  fourierdlem80  42619  fourierdlem81  42620  fourierdlem84  42623  fourierdlem85  42624  fourierdlem88  42627  fourierdlem89  42628  fourierdlem90  42629  fourierdlem91  42630  fourierdlem92  42631  fourierdlem93  42632  fourierdlem94  42633  fourierdlem97  42636  fourierdlem102  42641  fourierdlem103  42642  fourierdlem104  42643  fourierdlem111  42650  fourierdlem113  42652  fourierdlem114  42653  iccpartiltu  43730  iccelpart  43741  iccpartiun  43742  icceuelpartlem  43743  icceuelpart  43744  iccpartdisj  43745  iccpartnel  43746
  Copyright terms: Public domain W3C validator