Theorem elfzofz 13655

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13643	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 13654	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 13502	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635

This theorem is referenced by:  fzossfz  13658  elfzom1elp1fzo  13706  uzindi  13954  swrdfv0  14606  pfxsuffeqwrdeq  14655  telfsumo  15755  telfsumo2  15756  fsumparts  15759  prodfn0  15847  hashgcdlem  16728  cshwshashlem2  17037  efgs1b  19652  efgredlem  19663  cpmadugsumlemF  22699  dvfsumle  25875  dvfsumleOLD  25876  dvfsumabs  25878  dvntaylp  26223  taylthlem1  26225  taylthlem2  26226  pntpbnd1  27434  pntlemj  27451  pntlemi  27452  pntlemf  27453  upgrewlkle2  29298  wlk1walk  29331  wlkp1lem6  29370  trlreslem  29391  upgrwlkdvdelem  29428  crctcshwlkn0lem4  29502  crctcshwlkn0lem5  29503  crctcshwlkn0lem6  29504  clwwisshclwws  29703  trlsegvdeglem1  29908  fzone1  32446  gg-taylthlem2  35634  poimirlem24  36979  poimirlem25  36980  poimirlem29  36984  poimirlem31  36986  elfzfzo  44448  dvnmptdivc  45116  fourierdlem1  45286  fourierdlem12  45297  fourierdlem14  45299  fourierdlem15  45300  fourierdlem20  45305  fourierdlem25  45310  fourierdlem27  45312  fourierdlem41  45326  fourierdlem46  45330  fourierdlem48  45332  fourierdlem49  45333  fourierdlem50  45334  fourierdlem54  45338  fourierdlem63  45347  fourierdlem64  45348  fourierdlem65  45349  fourierdlem69  45353  fourierdlem70  45354  fourierdlem71  45355  fourierdlem72  45356  fourierdlem73  45357  fourierdlem74  45358  fourierdlem75  45359  fourierdlem76  45360  fourierdlem79  45363  fourierdlem80  45364  fourierdlem81  45365  fourierdlem84  45368  fourierdlem85  45369  fourierdlem88  45372  fourierdlem89  45373  fourierdlem90  45374  fourierdlem91  45375  fourierdlem92  45376  fourierdlem93  45377  fourierdlem94  45378  fourierdlem97  45381  fourierdlem102  45386  fourierdlem103  45387  fourierdlem104  45388  fourierdlem111  45395  fourierdlem113  45397  fourierdlem114  45398  iccpartiltu  46552  iccelpart  46563  iccpartiun  46564  icceuelpartlem  46565  icceuelpart  46566  iccpartdisj  46567  iccpartnel  46568