Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddfl 45227
Description: Odd number representation by using the floor function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
oddfl ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Proof of Theorem oddfl
StepHypRef Expression
1 zre 12614 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2 1red 11259 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 11688 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4 2rp 13036 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
61lem1d 12198 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
73, 1, 5, 6lediv1dd 13132 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2))
81rehalfcld 12510 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
95rpreccld 13084 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
108, 9ltaddrpd 13107 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
11 zcn 12615 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
122recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
13 2cnd 12341 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
145rpne0d 13079 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
1511, 12, 13, 14divsubdird 12079 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) = ((𝐾 / 2) − (1 / 2)))
1615oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) + 1) = (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1))
1711halfcld 12508 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
1813, 14reccld 12033 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
1917, 18, 12subadd23d 11639 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1) = ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))))
20 1mhlfehlf 12482 . . . . . . . . . . 11 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
2120oveq2i 7441 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2))
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
2316, 19, 223eqtrrd 2779 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 / 2)) = (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
2410, 23breqtrd 5173 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
257, 24jca 511 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
2625adantr 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
271adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
2827rehalfcld 12510 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
2911, 12npcand 11621 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3029oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 mod 2) ≠ 0)
3332neneqd 2942 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 mod 2) = 0)
34 mod0 13912 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
351, 5, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
3733, 36mtbid 324 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 / 2) ∈ ℤ)
3831, 37eqneltrd 2858 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ)
39 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
40 1zzd 12645 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
4139, 40zsubcld 12724 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
42 zeo2 12702 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4438, 43mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ)
45 flbi 13852 . . . . . 6 (((𝐾 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
4628, 44, 45syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
4726, 46mpbird 257 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2))
4847oveq2d 7446 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) = (2 · ((𝐾 − 1) / 2)))
4948oveq1d 7445 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1) = ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1))
5011, 12subcld 11617 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
5150, 13, 14divcan2d 12042 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((𝐾 − 1) / 2)) = (𝐾 − 1))
5251oveq1d 7445 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
5352adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
5429adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
5549, 53, 543eqtrrd 2779 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  2c2 12318  cz 12610  +crp 13031  cfl 13826   mod cmo 13905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fl 13828  df-mod 13906
This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  46055  dirkertrigeq  46056
  Copyright terms: Public domain W3C validator