Theorem oddfl 45732

Description: Odd number representation by using the floor function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oddfl	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Proof of Theorem oddfl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12522	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		1red 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4		2rp 12941	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
6	1	lem1d 12083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
7	3, 1, 5, 6	lediv1dd 13038	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2))
8	1	rehalfcld 12418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
9	5	rpreccld 12990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
10	8, 9	ltaddrpd 13013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
11		zcn 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
12	2	recnd 11167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
13		2cnd 12253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14	5	rpne0d 12985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
15	11, 12, 13, 14	divsubdird 11964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) = ((𝐾 / 2) − (1 / 2)))
16	15	oveq1d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) + 1) = (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1))
17	11	halfcld 12416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
18	13, 14	reccld 11918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
19	17, 18, 12	subadd23d 11521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1) = ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))))
20		1mhlfehlf 12390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
21	20	oveq2i 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2))
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
23	16, 19, 22	3eqtrrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 / 2)) = (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
24	10, 23	breqtrd 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
25	7, 24	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
27	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
28	27	rehalfcld 12418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
29	11, 12	npcand 11503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
30	29	oveq1d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 mod 2) ≠ 0)
33	32	neneqd 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 mod 2) = 0)
34		mod0 13829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
35	1, 5, 34	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
37	33, 36	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 / 2) ∈ ℤ)
38	31, 37	eqneltrd 2857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ)
39		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
40		1zzd 12552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
41	39, 40	zsubcld 12632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
42		zeo2 12610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
44	38, 43	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ)
45		flbi 13769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
46	28, 44, 45	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
47	26, 46	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2))
48	47	oveq2d 7377	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) = (2 · ((𝐾 − 1) / 2)))
49	48	oveq1d 7376	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1) = ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1))
50	11, 12	subcld 11499	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
51	50, 13, 14	divcan2d 11927	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((𝐾 − 1) / 2)) = (𝐾 − 1))
52	51	oveq1d 7376	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
53	52	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
54	29	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
55	49, 53, 54	3eqtrrd 2777	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371   / cdiv 11801  2c2 12230  ℤcz 12518  ℝ⁺crp 12936  ⌊cfl 13743   mod cmo 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fl 13745  df-mod 13823

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  46549  dirkertrigeq  46550