Theorem oddfl 43987

Description: Odd number representation by using the floor function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oddfl	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Proof of Theorem oddfl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		1red 11215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4		2rp 12979	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
6	1	lem1d 12147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
7	3, 1, 5, 6	lediv1dd 13074	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2))
8	1	rehalfcld 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
9	5	rpreccld 13026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
10	8, 9	ltaddrpd 13049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
11		zcn 12563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
12	2	recnd 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
13		2cnd 12290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14	5	rpne0d 13021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
15	11, 12, 13, 14	divsubdird 12029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) = ((𝐾 / 2) − (1 / 2)))
16	15	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) + 1) = (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1))
17	11	halfcld 12457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
18	13, 14	reccld 11983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
19	17, 18, 12	subadd23d 11593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1) = ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))))
20		1mhlfehlf 12431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
21	20	oveq2i 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2))
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
23	16, 19, 22	3eqtrrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 / 2)) = (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
24	10, 23	breqtrd 5175	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
25	7, 24	jca 513	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
26	25	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
27	1	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
28	27	rehalfcld 12459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
29	11, 12	npcand 11575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
30	29	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
31	30	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
32		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 mod 2) ≠ 0)
33	32	neneqd 2946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 mod 2) = 0)
34		mod0 13841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
35	1, 5, 34	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
36	35	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
37	33, 36	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 / 2) ∈ ℤ)
38	31, 37	eqneltrd 2854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ)
39		simpl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
40		1zzd 12593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
41	39, 40	zsubcld 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
42		zeo2 12649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
44	38, 43	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ)
45		flbi 13781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
46	28, 44, 45	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
47	26, 46	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2))
48	47	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) = (2 · ((𝐾 − 1) / 2)))
49	48	oveq1d 7424	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1) = ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1))
50	11, 12	subcld 11571	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
51	50, 13, 14	divcan2d 11992	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((𝐾 − 1) / 2)) = (𝐾 − 1))
52	51	oveq1d 7424	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
53	52	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
54	29	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
55	49, 53, 54	3eqtrrd 2778	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12974  ⌊cfl 13755   mod cmo 13834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  44816  dirkertrigeq  44817