Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddfl 43598
Description: Odd number representation by using the floor function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
oddfl ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ ๐พ = ((2 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 2))) + 1))

Proof of Theorem oddfl
StepHypRef Expression
1 zre 12508 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
2 1red 11161 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
31, 2resubcld 11588 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4 2rp 12925 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
54a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
61lem1d 12093 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โ‰ค ๐พ)
73, 1, 5, 6lediv1dd 13020 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) / 2) โ‰ค (๐พ / 2))
81rehalfcld 12405 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ / 2) โˆˆ โ„)
95rpreccld 12972 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„+)
108, 9ltaddrpd 12995 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ / 2) < ((๐พ / 2) + (1 / 2)))
11 zcn 12509 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
122recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
13 2cnd 12236 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
145rpne0d 12967 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
1511, 12, 13, 14divsubdird 11975 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) / 2) = ((๐พ / 2) โˆ’ (1 / 2)))
1615oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐พ โˆ’ 1) / 2) + 1) = (((๐พ / 2) โˆ’ (1 / 2)) + 1))
1711halfcld 12403 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ / 2) โˆˆ โ„‚)
1813, 14reccld 11929 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
1917, 18, 12subadd23d 11539 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐พ / 2) โˆ’ (1 / 2)) + 1) = ((๐พ / 2) + (1 โˆ’ (1 / 2))))
20 1mhlfehlf 12377 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆ’ (1 / 2)) = (1 / 2)
2120oveq2i 7369 . . . . . . . . . 10 ((๐พ / 2) + (1 โˆ’ (1 / 2))) = ((๐พ / 2) + (1 / 2))
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐พ / 2) + (1 โˆ’ (1 / 2))) = ((๐พ / 2) + (1 / 2)))
2316, 19, 223eqtrrd 2778 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐พ / 2) + (1 / 2)) = (((๐พ โˆ’ 1) / 2) + 1))
2410, 23breqtrd 5132 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ / 2) < (((๐พ โˆ’ 1) / 2) + 1))
257, 24jca 513 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐พ โˆ’ 1) / 2) โ‰ค (๐พ / 2) โˆง (๐พ / 2) < (((๐พ โˆ’ 1) / 2) + 1)))
2625adantr 482 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ (((๐พ โˆ’ 1) / 2) โ‰ค (๐พ / 2) โˆง (๐พ / 2) < (((๐พ โˆ’ 1) / 2) + 1)))
271adantr 482 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
2827rehalfcld 12405 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ (๐พ / 2) โˆˆ โ„)
2911, 12npcand 11521 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) + 1) = ๐พ)
3029oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐พ โˆ’ 1) + 1) / 2) = (๐พ / 2))
3130adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ (((๐พ โˆ’ 1) + 1) / 2) = (๐พ / 2))
32 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ (๐พ mod 2) โ‰  0)
3332neneqd 2945 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ ยฌ (๐พ mod 2) = 0)
34 mod0 13787 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐พ mod 2) = 0 โ†” (๐พ / 2) โˆˆ โ„ค))
351, 5, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐พ mod 2) = 0 โ†” (๐พ / 2) โˆˆ โ„ค))
3635adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ ((๐พ mod 2) = 0 โ†” (๐พ / 2) โˆˆ โ„ค))
3733, 36mtbid 324 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ ยฌ (๐พ / 2) โˆˆ โ„ค)
3831, 37eqneltrd 2854 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ ยฌ (((๐พ โˆ’ 1) + 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
39 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
40 1zzd 12539 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
4139, 40zsubcld 12617 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
42 zeo2 12595 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐พ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ยฌ (((๐พ โˆ’ 1) + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ (((๐พ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ยฌ (((๐พ โˆ’ 1) + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
4438, 43mpbird 257 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
45 flbi 13727 . . . . . 6 (((๐พ / 2) โˆˆ โ„ โˆง ((๐พ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐พ / 2)) = ((๐พ โˆ’ 1) / 2) โ†” (((๐พ โˆ’ 1) / 2) โ‰ค (๐พ / 2) โˆง (๐พ / 2) < (((๐พ โˆ’ 1) / 2) + 1))))
4628, 44, 45syl2anc 585 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐พ / 2)) = ((๐พ โˆ’ 1) / 2) โ†” (((๐พ โˆ’ 1) / 2) โ‰ค (๐พ / 2) โˆง (๐พ / 2) < (((๐พ โˆ’ 1) / 2) + 1))))
4726, 46mpbird 257 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ / 2)) = ((๐พ โˆ’ 1) / 2))
4847oveq2d 7374 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 2))) = (2 ยท ((๐พ โˆ’ 1) / 2)))
4948oveq1d 7373 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ ((2 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 2))) + 1) = ((2 ยท ((๐พ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
5011, 12subcld 11517 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5150, 13, 14divcan2d 11938 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((๐พ โˆ’ 1) / 2)) = (๐พ โˆ’ 1))
5251oveq1d 7373 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ((๐พ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((๐พ โˆ’ 1) + 1))
5352adantr 482 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ ((2 ยท ((๐พ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((๐พ โˆ’ 1) + 1))
5429adantr 482 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) + 1) = ๐พ)
5549, 53, 543eqtrrd 2778 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ mod 2) โ‰  0) โ†’ ๐พ = ((2 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  2c2 12213  โ„คcz 12504  โ„+crp 12920  โŒŠcfl 13701   mod cmo 13780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-mod 13781
This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  44427  dirkertrigeq  44428
  Copyright terms: Public domain W3C validator