Theorem oddfl 45276

Description: Odd number representation by using the floor function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oddfl	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Proof of Theorem oddfl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		1red 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4		2rp 12956	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
6	1	lem1d 12116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
7	3, 1, 5, 6	lediv1dd 13053	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2))
8	1	rehalfcld 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
9	5	rpreccld 13005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
10	8, 9	ltaddrpd 13028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
11		zcn 12534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
12	2	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
13		2cnd 12264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14	5	rpne0d 13000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
15	11, 12, 13, 14	divsubdird 11997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) = ((𝐾 / 2) − (1 / 2)))
16	15	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) + 1) = (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1))
17	11	halfcld 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
18	13, 14	reccld 11951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
19	17, 18, 12	subadd23d 11555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1) = ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))))
20		1mhlfehlf 12401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
21	20	oveq2i 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2))
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
23	16, 19, 22	3eqtrrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 / 2)) = (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
24	10, 23	breqtrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
25	7, 24	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
27	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
28	27	rehalfcld 12429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
29	11, 12	npcand 11537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
30	29	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 mod 2) ≠ 0)
33	32	neneqd 2930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 mod 2) = 0)
34		mod0 13838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
35	1, 5, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
37	33, 36	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 / 2) ∈ ℤ)
38	31, 37	eqneltrd 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ)
39		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
40		1zzd 12564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
41	39, 40	zsubcld 12643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
42		zeo2 12621	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
44	38, 43	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ)
45		flbi 13778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
46	28, 44, 45	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
47	26, 46	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2))
48	47	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) = (2 · ((𝐾 − 1) / 2)))
49	48	oveq1d 7402	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1) = ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1))
50	11, 12	subcld 11533	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
51	50, 13, 14	divcan2d 11960	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((𝐾 − 1) / 2)) = (𝐾 − 1))
52	51	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
53	52	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
54	29	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
55	49, 53, 54	3eqtrrd 2769	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  2c2 12241  ℤcz 12529  ℝ⁺crp 12951  ⌊cfl 13752   mod cmo 13831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fl 13754  df-mod 13832

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  46098  dirkertrigeq  46099