Proof of Theorem oddfl
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | zre 12185 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈
ℝ) |
2 | | 1red 10839 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈
ℝ) |
3 | 1, 2 | resubcld 11265 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈
ℝ) |
4 | | 2rp 12596 |
. . . . . . . . 9
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
5 | 4 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈
ℝ+) |
6 | 1 | lem1d 11770 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾) |
7 | 3, 1, 5, 6 | lediv1dd 12691 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2)) |
8 | 1 | rehalfcld 12082 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈
ℝ) |
9 | 5 | rpreccld 12643 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2)
∈ ℝ+) |
10 | 8, 9 | ltaddrpd 12666 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < ((𝐾 / 2) + (1 / 2))) |
11 | | zcn 12186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈
ℂ) |
12 | 2 | recnd 10866 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈
ℂ) |
13 | | 2cnd 11913 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈
ℂ) |
14 | 5 | rpne0d 12638 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ≠
0) |
15 | 11, 12, 13, 14 | divsubdird 11652 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) = ((𝐾 / 2) − (1 /
2))) |
16 | 15 | oveq1d 7233 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) + 1) = (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) +
1)) |
17 | 11 | halfcld 12080 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈
ℂ) |
18 | 13, 14 | reccld 11606 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2)
∈ ℂ) |
19 | 17, 18, 12 | subadd23d 11216 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1) =
((𝐾 / 2) + (1 − (1 /
2)))) |
20 | | 1mhlfehlf 12054 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (1
− (1 / 2)) = (1 / 2) |
21 | 20 | oveq2i 7229 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) =
((𝐾 / 2) + (1 /
2)) |
22 | 21 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) =
((𝐾 / 2) + (1 /
2))) |
23 | 16, 19, 22 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 / 2)) = (((𝐾 − 1) / 2) +
1)) |
24 | 10, 23 | breqtrd 5084 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)) |
25 | 7, 24 | jca 515 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))) |
26 | 25 | adantr 484 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))) |
27 | 1 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈
ℝ) |
28 | 27 | rehalfcld 12082 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 / 2) ∈
ℝ) |
29 | 11, 12 | npcand 11198 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾) |
30 | 29 | oveq1d 7233 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2)) |
31 | 30 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2)) |
32 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 mod 2) ≠ 0) |
33 | 32 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬
(𝐾 mod 2) =
0) |
34 | | mod0 13454 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈
ℝ+) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ)) |
35 | 1, 5, 34 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈
ℤ)) |
36 | 35 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈
ℤ)) |
37 | 33, 36 | mtbid 327 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬
(𝐾 / 2) ∈
ℤ) |
38 | 31, 37 | eqneltrd 2857 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬
(((𝐾 − 1) + 1) / 2)
∈ ℤ) |
39 | | simpl 486 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈
ℤ) |
40 | | 1zzd 12213 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 1 ∈
ℤ) |
41 | 39, 40 | zsubcld 12292 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 − 1) ∈
ℤ) |
42 | | zeo2 12269 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ
→ (((𝐾 − 1) / 2)
∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈
ℤ)) |
43 | 41, 42 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ
↔ ¬ (((𝐾 −
1) + 1) / 2) ∈ ℤ)) |
44 | 38, 43 | mpbird 260 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) / 2) ∈
ℤ) |
45 | | flbi 13396 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 / 2) ∈ ℝ ∧
((𝐾 − 1) / 2) ∈
ℤ) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))) |
46 | 28, 44, 45 | syl2anc 587 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) →
((⌊‘(𝐾 / 2)) =
((𝐾 − 1) / 2) ↔
(((𝐾 − 1) / 2) ≤
(𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))) |
47 | 26, 46 | mpbird 260 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) →
(⌊‘(𝐾 / 2)) =
((𝐾 − 1) /
2)) |
48 | 47 | oveq2d 7234 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (2
· (⌊‘(𝐾
/ 2))) = (2 · ((𝐾
− 1) / 2))) |
49 | 48 | oveq1d 7233 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2
· (⌊‘(𝐾
/ 2))) + 1) = ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1)) |
50 | 11, 12 | subcld 11194 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈
ℂ) |
51 | 50, 13, 14 | divcan2d 11615 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2
· ((𝐾 − 1) /
2)) = (𝐾 −
1)) |
52 | 51 | oveq1d 7233 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2
· ((𝐾 − 1) /
2)) + 1) = ((𝐾 − 1) +
1)) |
53 | 52 | adantr 484 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2
· ((𝐾 − 1) /
2)) + 1) = ((𝐾 − 1) +
1)) |
54 | 29 | adantr 484 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾) |
55 | 49, 53, 54 | 3eqtrrd 2782 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 ·
(⌊‘(𝐾 / 2))) +
1)) |