Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddfl 40129
Description: Odd number representation by using the floor function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
oddfl ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Proof of Theorem oddfl
StepHypRef Expression
1 zre 11628 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2 1red 10294 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 10712 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4 2rp 12033 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
61lem1d 11211 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
73, 1, 5, 6lediv1dd 12128 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2))
81rehalfcld 11525 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
95rpreccld 12080 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
108, 9ltaddrpd 12103 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
11 zcn 11629 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
122recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
13 2cnd 11350 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
145rpne0d 12075 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
1511, 12, 13, 14divsubdird 11094 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) = ((𝐾 / 2) − (1 / 2)))
1615oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) + 1) = (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1))
1711halfcld 11523 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
1813, 14reccld 11048 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
1917, 18, 12subadd23d 10668 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1) = ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))))
20 1mhlfehlf 11497 . . . . . . . . . . 11 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
2120oveq2i 6853 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2))
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
2316, 19, 223eqtrrd 2804 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 / 2)) = (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
2410, 23breqtrd 4835 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
257, 24jca 507 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
2625adantr 472 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
271adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
2827rehalfcld 11525 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
2911, 12npcand 10650 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3029oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
3130adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
32 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 mod 2) ≠ 0)
3332neneqd 2942 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 mod 2) = 0)
34 mod0 12883 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
351, 5, 34syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
3635adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
3733, 36mtbid 315 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 / 2) ∈ ℤ)
3831, 37eqneltrd 2863 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ)
39 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
40 1zzd 11655 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
4139, 40zsubcld 11734 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
42 zeo2 11711 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4438, 43mpbird 248 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ)
45 flbi 12825 . . . . . 6 (((𝐾 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
4628, 44, 45syl2anc 579 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
4726, 46mpbird 248 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2))
4847oveq2d 6858 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) = (2 · ((𝐾 − 1) / 2)))
4948oveq1d 6857 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1) = ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1))
5011, 12subcld 10646 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
5150, 13, 14divcan2d 11057 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((𝐾 − 1) / 2)) = (𝐾 − 1))
5251oveq1d 6857 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
5352adantr 472 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
5429adantr 472 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
5549, 53, 543eqtrrd 2804 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  2c2 11327  cz 11624  +crp 12028  cfl 12799   mod cmo 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fl 12801  df-mod 12877
This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  40954  dirkertrigeq  40955
  Copyright terms: Public domain W3C validator