Theorem oddfl 45711

Description: Odd number representation by using the floor function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oddfl	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Proof of Theorem oddfl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		1red 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4		2rp 12947	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
6	1	lem1d 12089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
7	3, 1, 5, 6	lediv1dd 13044	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2))
8	1	rehalfcld 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
9	5	rpreccld 12996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
10	8, 9	ltaddrpd 13019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
11		zcn 12529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
12	2	recnd 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
13		2cnd 12259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14	5	rpne0d 12991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
15	11, 12, 13, 14	divsubdird 11970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) = ((𝐾 / 2) − (1 / 2)))
16	15	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) + 1) = (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1))
17	11	halfcld 12422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
18	13, 14	reccld 11924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
19	17, 18, 12	subadd23d 11527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1) = ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))))
20		1mhlfehlf 12396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
21	20	oveq2i 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2))
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
23	16, 19, 22	3eqtrrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 / 2)) = (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
24	10, 23	breqtrd 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
25	7, 24	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
27	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
28	27	rehalfcld 12424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
29	11, 12	npcand 11509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
30	29	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 mod 2) ≠ 0)
33	32	neneqd 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 mod 2) = 0)
34		mod0 13835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
35	1, 5, 34	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
37	33, 36	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 / 2) ∈ ℤ)
38	31, 37	eqneltrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ)
39		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
40		1zzd 12558	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
41	39, 40	zsubcld 12638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
42		zeo2 12616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
44	38, 43	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ)
45		flbi 13775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
46	28, 44, 45	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
47	26, 46	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2))
48	47	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) = (2 · ((𝐾 − 1) / 2)))
49	48	oveq1d 7382	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1) = ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1))
50	11, 12	subcld 11505	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
51	50, 13, 14	divcan2d 11933	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((𝐾 − 1) / 2)) = (𝐾 − 1))
52	51	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
53	52	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
54	29	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
55	49, 53, 54	3eqtrrd 2776	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  ℤcz 12524  ℝ⁺crp 12942  ⌊cfl 13749   mod cmo 13828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-mod 13829

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  46528  dirkertrigeq  46529