Theorem oddfl 44446

Description: Odd number representation by using the floor function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oddfl	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Proof of Theorem oddfl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		1red 11222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4		2rp 12986	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
6	1	lem1d 12154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
7	3, 1, 5, 6	lediv1dd 13081	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2))
8	1	rehalfcld 12466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
9	5	rpreccld 13033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
10	8, 9	ltaddrpd 13056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
11		zcn 12570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
12	2	recnd 11249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
13		2cnd 12297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14	5	rpne0d 13028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
15	11, 12, 13, 14	divsubdird 12036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) = ((𝐾 / 2) − (1 / 2)))
16	15	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) + 1) = (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1))
17	11	halfcld 12464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
18	13, 14	reccld 11990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
19	17, 18, 12	subadd23d 11600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1) = ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))))
20		1mhlfehlf 12438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
21	20	oveq2i 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2))
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
23	16, 19, 22	3eqtrrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 / 2)) = (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
24	10, 23	breqtrd 5174	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
25	7, 24	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
27	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
28	27	rehalfcld 12466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
29	11, 12	npcand 11582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
30	29	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 mod 2) ≠ 0)
33	32	neneqd 2944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 mod 2) = 0)
34		mod0 13848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
35	1, 5, 34	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
37	33, 36	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 / 2) ∈ ℤ)
38	31, 37	eqneltrd 2852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ)
39		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
40		1zzd 12600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
41	39, 40	zsubcld 12678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
42		zeo2 12656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
44	38, 43	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ)
45		flbi 13788	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
46	28, 44, 45	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
47	26, 46	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2))
48	47	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) = (2 · ((𝐾 − 1) / 2)))
49	48	oveq1d 7427	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1) = ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1))
50	11, 12	subcld 11578	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
51	50, 13, 14	divcan2d 11999	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((𝐾 − 1) / 2)) = (𝐾 − 1))
52	51	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
53	52	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
54	29	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
55	49, 53, 54	3eqtrrd 2776	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451   / cdiv 11878  2c2 12274  ℤcz 12565  ℝ⁺crp 12981  ⌊cfl 13762   mod cmo 13841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fl 13764  df-mod 13842

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  45275  dirkertrigeq  45276