Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddfl 45289
Description: Odd number representation by using the floor function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
oddfl ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Proof of Theorem oddfl
StepHypRef Expression
1 zre 12617 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2 1red 11262 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 11691 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4 2rp 13039 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
61lem1d 12201 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
73, 1, 5, 6lediv1dd 13135 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2))
81rehalfcld 12513 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
95rpreccld 13087 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
108, 9ltaddrpd 13110 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
11 zcn 12618 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
122recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
13 2cnd 12344 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
145rpne0d 13082 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
1511, 12, 13, 14divsubdird 12082 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) = ((𝐾 / 2) − (1 / 2)))
1615oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) + 1) = (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1))
1711halfcld 12511 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
1813, 14reccld 12036 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
1917, 18, 12subadd23d 11642 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1) = ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))))
20 1mhlfehlf 12485 . . . . . . . . . . 11 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
2120oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2))
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
2316, 19, 223eqtrrd 2782 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 / 2)) = (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
2410, 23breqtrd 5169 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
257, 24jca 511 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
2625adantr 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
271adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
2827rehalfcld 12513 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
2911, 12npcand 11624 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3029oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 mod 2) ≠ 0)
3332neneqd 2945 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 mod 2) = 0)
34 mod0 13916 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
351, 5, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
3733, 36mtbid 324 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 / 2) ∈ ℤ)
3831, 37eqneltrd 2861 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ)
39 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
40 1zzd 12648 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
4139, 40zsubcld 12727 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
42 zeo2 12705 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4438, 43mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ)
45 flbi 13856 . . . . . 6 (((𝐾 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
4628, 44, 45syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
4726, 46mpbird 257 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2))
4847oveq2d 7447 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) = (2 · ((𝐾 − 1) / 2)))
4948oveq1d 7446 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1) = ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1))
5011, 12subcld 11620 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
5150, 13, 14divcan2d 12045 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((𝐾 − 1) / 2)) = (𝐾 − 1))
5251oveq1d 7446 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
5352adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
5429adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
5549, 53, 543eqtrrd 2782 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  cz 12613  +crp 13034  cfl 13830   mod cmo 13909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910
This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  46115  dirkertrigeq  46116
  Copyright terms: Public domain W3C validator