Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddfl 41527
Description: Odd number representation by using the floor function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
oddfl ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Proof of Theorem oddfl
StepHypRef Expression
1 zre 11977 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2 1red 10634 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 11060 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
4 2rp 12386 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
61lem1d 11565 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
73, 1, 5, 6lediv1dd 12481 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2))
81rehalfcld 11876 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
95rpreccld 12433 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
108, 9ltaddrpd 12456 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
11 zcn 11978 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
122recnd 10661 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
13 2cnd 11707 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
145rpne0d 12428 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
1511, 12, 13, 14divsubdird 11447 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) / 2) = ((𝐾 / 2) − (1 / 2)))
1615oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) + 1) = (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1))
1711halfcld 11874 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
1813, 14reccld 11401 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
1917, 18, 12subadd23d 11011 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 / 2) − (1 / 2)) + 1) = ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))))
20 1mhlfehlf 11848 . . . . . . . . . . 11 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
2120oveq2i 7159 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2))
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 − (1 / 2))) = ((𝐾 / 2) + (1 / 2)))
2316, 19, 223eqtrrd 2859 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) + (1 / 2)) = (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
2410, 23breqtrd 5083 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))
257, 24jca 514 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
2625adantr 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1)))
271adantr 483 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
2827rehalfcld 11876 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 / 2) ∈ ℝ)
2911, 12npcand 10993 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3029oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
3130adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) + 1) / 2) = (𝐾 / 2))
32 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 mod 2) ≠ 0)
3332neneqd 3019 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 mod 2) = 0)
34 mod0 13236 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
351, 5, 34syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
3635adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 mod 2) = 0 ↔ (𝐾 / 2) ∈ ℤ))
3733, 36mtbid 326 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (𝐾 / 2) ∈ ℤ)
3831, 37eqneltrd 2930 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ)
39 simpl 485 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
40 1zzd 12005 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
4139, 40zsubcld 12084 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
42 zeo2 12061 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝐾 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4438, 43mpbird 259 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ)
45 flbi 13178 . . . . . 6 (((𝐾 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
4628, 44, 45syl2anc 586 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2) ↔ (((𝐾 − 1) / 2) ≤ (𝐾 / 2) ∧ (𝐾 / 2) < (((𝐾 − 1) / 2) + 1))))
4726, 46mpbird 259 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2))
4847oveq2d 7164 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → (2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) = (2 · ((𝐾 − 1) / 2)))
4948oveq1d 7163 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1) = ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1))
5011, 12subcld 10989 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
5150, 13, 14divcan2d 11410 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((𝐾 − 1) / 2)) = (𝐾 − 1))
5251oveq1d 7163 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
5352adantr 483 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
5429adantr 483 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
5549, 53, 543eqtrrd 2859 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod 2) ≠ 0) → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862   / cdiv 11289  2c2 11684  cz 11973  +crp 12381  cfl 13152   mod cmo 13229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fl 13154  df-mod 13230
This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  42370  dirkertrigeq  42371
  Copyright terms: Public domain W3C validator