Theorem elmgpcntrd 49492

Description: The center of a ring. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmgpcntrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elmgpcntrd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elmgpcntrd.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
elmgpcntrd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
elmgpcntrd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))

Assertion

Ref	Expression
elmgpcntrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑀   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem elmgpcntrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmgpcntrd.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		elmgpcntrd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
3	2	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
4		elmgpcntrd.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5		elmgpcntrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20117	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	4, 7	mgpplusg 20116	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
9		elmgpcntrd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
10	6, 8, 9	elcntr 19296	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑍 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
11	1, 3, 10	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  Cntrccntr 19282  mulGrpcmgp 20112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-cntz 19283  df-cntr 19284  df-mgp 20113

This theorem is referenced by:  asclcntr  49494