Theorem elmgpcntrd 48921

Description: The center of a ring. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmgpcntrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elmgpcntrd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elmgpcntrd.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
elmgpcntrd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
elmgpcntrd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))

Assertion

Ref	Expression
elmgpcntrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑀   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem elmgpcntrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmgpcntrd.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		elmgpcntrd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
3	2	ralrimiva 3127	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
4		elmgpcntrd.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5		elmgpcntrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20060	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	4, 7	mgpplusg 20059	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
9		elmgpcntrd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
10	6, 8, 9	elcntr 19268	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑍 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
11	1, 3, 10	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3046  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  Basecbs 17185  ._rcmulr 17227  Cntrccntr 19254  mulGrpcmgp 20055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-cntz 19255  df-cntr 19256  df-mgp 20056

This theorem is referenced by:  asclcntr  48924