Theorem elmgpcntrd 49246

Description: The center of a ring. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmgpcntrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elmgpcntrd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elmgpcntrd.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
elmgpcntrd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
elmgpcntrd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))

Assertion

Ref	Expression
elmgpcntrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑀   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem elmgpcntrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmgpcntrd.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		elmgpcntrd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
3	2	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
4		elmgpcntrd.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5		elmgpcntrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20080	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	4, 7	mgpplusg 20079	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
9		elmgpcntrd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
10	6, 8, 9	elcntr 19259	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑍 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
11	1, 3, 10	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  Cntrccntr 19245  mulGrpcmgp 20075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-cntz 19246  df-cntr 19247  df-mgp 20076

This theorem is referenced by:  asclcntr  49248