Theorem elmgpcntrd 48679

Description: The center of a ring. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmgpcntrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elmgpcntrd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elmgpcntrd.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
elmgpcntrd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
elmgpcntrd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))

Assertion

Ref	Expression
elmgpcntrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑀   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem elmgpcntrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmgpcntrd.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		elmgpcntrd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
3	2	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
4		elmgpcntrd.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5		elmgpcntrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20169	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	4, 7	mgpplusg 20167	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
9		elmgpcntrd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
10	6, 8, 9	elcntr 19372	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑍 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
11	1, 3, 10	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  ._rcmulr 17314  Cntrccntr 19358  mulGrpcmgp 20163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-plusg 17326  df-cntz 19359  df-cntr 19360  df-mgp 20164

This theorem is referenced by:  asclcntr  48681