Theorem elmgpcntrd 50213

Description: The center of a ring. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmgpcntrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elmgpcntrd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elmgpcntrd.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
elmgpcntrd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
elmgpcntrd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))

Assertion

Ref	Expression
elmgpcntrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑀   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem elmgpcntrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmgpcntrd.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		elmgpcntrd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
3	2	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
4		elmgpcntrd.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5		elmgpcntrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	mgpbas 20371	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	4, 7	mgpplusg 20370	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
9		elmgpcntrd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
10	6, 8, 9	elcntr 19550	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑍 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
11	1, 3, 10	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  ._rcmulr 17435  Cntrccntr 19536  mulGrpcmgp 20366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-cntz 19537  df-cntr 19538  df-mgp 20367

This theorem is used by:  asclcntr  50215