Theorem asclcntr 49038

Description: The algebra scalar lifting function maps into the center of the algebra. Equivalently, a lifted scalar is a center of the algebra. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclelbas.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclelbas.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclelbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
asclelbas.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
asclelbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
asclcntr.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclcntr	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Cntr‘𝑀))

Proof of Theorem asclcntr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		asclcntr.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
3		eqid 2731	. 2 ⊢ (Cntr‘𝑀) = (Cntr‘𝑀)
4		asclelbas.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
5		asclelbas.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		asclelbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
7		asclelbas.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
8		asclelbas.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	asclelbas 49036	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
10	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
11	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
13		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
14		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	4, 5, 6, 1, 13, 14	asclmul1 21821	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥))
16	4, 5, 6, 1, 13, 14	asclmul2 21822	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥))
17	15, 16	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)))
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)))
19	1, 2, 3, 9, 18	elmgpcntrd 49035	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Cntr‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  ._rcmulr 17159  Scalarcsca 17161   ·_𝑠 cvsca 17162  Cntrccntr 19226  mulGrpcmgp 20056  AssAlgcasa 21785  algSccascl 21787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-cntz 19227  df-cntr 19228  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20793  df-assa 21788  df-ascl 21790

This theorem is referenced by: (None)