Theorem asclcntr 48841

Description: The algebra scalar lifting function maps into the center of the algebra. Equivalently, a lifted scalar is a center of the algebra. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclelbas.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclelbas.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclelbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
asclelbas.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
asclelbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
asclcntr.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclcntr	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Cntr‘𝑀))

Proof of Theorem asclcntr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		asclcntr.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
3		eqid 2734	. 2 ⊢ (Cntr‘𝑀) = (Cntr‘𝑀)
4		asclelbas.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
5		asclelbas.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		asclelbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
7		asclelbas.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
8		asclelbas.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	asclelbas 48839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
10	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
11	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
13		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
14		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	4, 5, 6, 1, 13, 14	asclmul1 21859	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥))
16	4, 5, 6, 1, 13, 14	asclmul2 21860	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥))
17	15, 16	eqtr4d 2772	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)))
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)))
19	1, 2, 3, 9, 18	elmgpcntrd 48838	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Cntr‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  Basecbs 17228  ._rcmulr 17273  Scalarcsca 17275   ·_𝑠 cvsca 17276  Cntrccntr 19302  mulGrpcmgp 20104  AssAlgcasa 21823  algSccascl 21825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-plusg 17285  df-0g 17456  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-cntz 19303  df-cntr 19304  df-mgp 20105  df-ur 20146  df-ring 20199  df-lmod 20827  df-assa 21826  df-ascl 21828

This theorem is referenced by: (None)