Theorem asclcntr 49494

Description: The algebra scalar lifting function maps into the center of the algebra. Equivalently, a lifted scalar is a center of the algebra. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclelbasALT.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclelbasALT.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclelbasALT.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
asclelbasALT.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
asclelbasALT.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
asclcntr.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclcntr	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Cntr‘𝑀))

Proof of Theorem asclcntr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		asclcntr.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (Cntr‘𝑀) = (Cntr‘𝑀)
4		asclelbasALT.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
5		asclelbasALT.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		asclelbasALT.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
7		asclelbasALT.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
8		asclelbasALT.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	asclelbas 21873	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
10	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
11	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	4, 5, 6, 1, 13, 14	asclmul1 21876	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥))
16	4, 5, 6, 1, 13, 14	asclmul2 21877	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥))
17	15, 16	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)))
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)))
19	1, 2, 3, 9, 18	elmgpcntrd 49492	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Cntr‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  Cntrccntr 19282  mulGrpcmgp 20112  AssAlgcasa 21840  algSccascl 21842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-cntz 19283  df-cntr 19284  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20848  df-assa 21843  df-ascl 21845

This theorem is referenced by: (None)