Theorem asclcntr 48842

Description: The algebra scalar lifting function maps into the center of the algebra. Equivalently, a lifted scalar is a center of the algebra. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclelbas.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclelbas.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclelbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
asclelbas.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
asclelbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
asclcntr.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclcntr	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Cntr‘𝑀))

Proof of Theorem asclcntr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		asclcntr.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (Cntr‘𝑀) = (Cntr‘𝑀)
4		asclelbas.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
5		asclelbas.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		asclelbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
7		asclelbas.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
8		asclelbas.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	asclelbas 48840	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
10	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
11	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	4, 5, 6, 1, 13, 14	asclmul1 21933	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥))
16	4, 5, 6, 1, 13, 14	asclmul2 21934	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥))
17	15, 16	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)))
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)))
19	1, 2, 3, 9, 18	elmgpcntrd 48839	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Cntr‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  ._rcmulr 17308  Scalarcsca 17310   ·_𝑠 cvsca 17311  Cntrccntr 19356  mulGrpcmgp 20161  AssAlgcasa 21897  algSccascl 21899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-plusg 17320  df-0g 17497  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-cntz 19357  df-cntr 19358  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20886  df-assa 21900  df-ascl 21902

This theorem is referenced by: (None)