Theorem asclcntr 48681

Description: The algebra scalars function maps into the center of the algebra. Equivalently, a lifted scalar is a center of the algebra. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclelbas.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclelbas.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclelbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
asclelbas.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
asclelbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
asclcntr.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclcntr	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Cntr‘𝑀))

Proof of Theorem asclcntr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		asclcntr.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
3		eqid 2740	. 2 ⊢ (Cntr‘𝑀) = (Cntr‘𝑀)
4		asclelbas.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
5		asclelbas.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		asclelbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
7		asclelbas.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
8		asclelbas.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	asclelbas 48680	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
10	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
11	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
13		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
14		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	4, 5, 6, 1, 13, 14	asclmul1 21931	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥))
16	4, 5, 6, 1, 13, 14	asclmul2 21932	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥))
17	15, 16	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)))
18	10, 11, 12, 17	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝐶)(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝐴‘𝐶)))
19	1, 2, 3, 9, 18	elmgpcntrd 48679	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Cntr‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  ._rcmulr 17314  Scalarcsca 17316   ·_𝑠 cvsca 17317  Cntrccntr 19358  mulGrpcmgp 20163  AssAlgcasa 21895  algSccascl 21897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-plusg 17326  df-0g 17503  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-cntz 19359  df-cntr 19360  df-mgp 20164  df-ur 20211  df-ring 20264  df-lmod 20884  df-assa 21898  df-ascl 21900

This theorem is referenced by: (None)