Theorem asclelbas 48922

Description: Lifted scalars are in the base set of the algebra. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclelbas.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclelbas.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclelbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
asclelbas.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
asclelbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
asclelbas	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))

Proof of Theorem asclelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclelbas.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		asclelbas.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		asclelbas.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
4		assaring 21776	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
6		assalmod 21775	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		asclelbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
9		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10	1, 2, 5, 7, 8, 9	asclf 21797	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑊))
11		asclelbas.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
12	10, 11	ffvelcdmd 7064	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6519  Basecbs 17185  Scalarcsca 17229  Ringcrg 20148  LModclmod 20772  AssAlgcasa 21765  algSccascl 21767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mgp 20056  df-ur 20097  df-ring 20150  df-lmod 20774  df-assa 21768  df-ascl 21770

This theorem is referenced by:  asclcntr  48924  asclcom  48925