Theorem asclelbas 48680

Description: Lifted scalars are in the base set of the algebra. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclelbas.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclelbas.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclelbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
asclelbas.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
asclelbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
asclelbas	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))

Proof of Theorem asclelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclelbas.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		asclelbas.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclelbas.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclelbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclval 21925	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
8	1, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
9		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10		asclelbas.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
11		assalmod 21905	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13		assaring 21906	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
14	9, 6	ringidcl 20291	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15	10, 13, 14	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
16	9, 3, 5, 4, 12, 1, 15	lmodvscld 20901	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
17	8, 16	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  Scalarcsca 17316   ·_𝑠 cvsca 17317  1_rcur 20210  Ringcrg 20262  LModclmod 20882  AssAlgcasa 21895  algSccascl 21897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-plusg 17326  df-0g 17503  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-mgp 20164  df-ur 20211  df-ring 20264  df-lmod 20884  df-assa 21898  df-ascl 21900

This theorem is referenced by:  asclcntr  48681  asclcom  48682