Theorem wrdeq 14492

Description: Equality theorem for the set of words. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
wrdeq	⊢ (𝑆 = 𝑇 → Word 𝑆 = Word 𝑇)

Proof of Theorem wrdeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sswrd 14478	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → Word 𝑆 ⊆ Word 𝑇)
2		sswrd 14478	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → Word 𝑇 ⊆ Word 𝑆)
3	1, 2	anim12i 611	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (Word 𝑆 ⊆ Word 𝑇 ∧ Word 𝑇 ⊆ Word 𝑆))
4		eqss 3998	. 2 ⊢ (𝑆 = 𝑇 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆))
5		eqss 3998	. 2 ⊢ (Word 𝑆 = Word 𝑇 ↔ (Word 𝑆 ⊆ Word 𝑇 ∧ Word 𝑇 ⊆ Word 𝑆))
6	3, 4, 5	3imtr4i 291	1 ⊢ (𝑆 = 𝑇 → Word 𝑆 = Word 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ⊆ wss 3949  Word cword 14470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14297  df-word 14471

This theorem is referenced by:  wrdeqi  14493  elovmptnn0wrd  14515  frmdval  18770  frmdgsum  18781  psgnfval  19411  efgval  19628  frgpup3lem  19688  israg  28213  ewlksfval  29123  wksfval  29131  wlkres  29192  wwlks  29354  wspn0  29443  clwwlk  29501  tocycval  32535  mrexval  34788  upwlksfval  46813