MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  equivcmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivcmet 24684
Description: If two metrics are strongly equivalent, one is complete iff the other is. Unlike equivcau 24667, metss2 23871, this theorem does not have a one-directional form - it is possible for a metric 𝐢 that is strongly finer than the complete metric 𝐷 to be incomplete and vice versa. Consider 𝐷 = the metric on ℝ induced by the usual homeomorphism from (0, 1) against the usual metric 𝐢 on ℝ and against the discrete metric 𝐸 on ℝ. Then both 𝐢 and 𝐸 are complete but 𝐷 is not, and 𝐢 is strongly finer than 𝐷, which is strongly finer than 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcmet.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivcmet.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivcmet.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
equivcmet.4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
equivcmet.5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
equivcmet.6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ (𝑆 Β· (π‘₯𝐢𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivcmet (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦

Proof of Theorem equivcmet
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equivcmet.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 equivcmet.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
31, 22thd 265 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹)))
4 equivcmet.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
5 equivcmet.6 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ (𝑆 Β· (π‘₯𝐢𝑦)))
62, 1, 4, 5equivcfil 24666 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (CauFilβ€˜πΆ) βŠ† (CauFilβ€˜π·))
7 equivcmet.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
8 equivcmet.5 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
91, 2, 7, 8equivcfil 24666 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (CauFilβ€˜π·) βŠ† (CauFilβ€˜πΆ))
106, 9eqssd 3962 . . . 4 (πœ‘ β†’ (CauFilβ€˜πΆ) = (CauFilβ€˜π·))
11 eqid 2737 . . . . . . . 8 (MetOpenβ€˜πΆ) = (MetOpenβ€˜πΆ)
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
1311, 12, 1, 2, 7, 8metss2 23871 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜πΆ) βŠ† (MetOpenβ€˜π·))
1412, 11, 2, 1, 4, 5metss2 23871 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† (MetOpenβ€˜πΆ))
1513, 14eqssd 3962 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜πΆ) = (MetOpenβ€˜π·))
1615oveq1d 7373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((MetOpenβ€˜πΆ) fLim 𝑓) = ((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑓))
1716neeq1d 3004 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((MetOpenβ€˜πΆ) fLim 𝑓) β‰  βˆ… ↔ ((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑓) β‰  βˆ…))
1810, 17raleqbidv 3320 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (CauFilβ€˜πΆ)((MetOpenβ€˜πΆ) fLim 𝑓) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘“ ∈ (CauFilβ€˜π·)((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑓) β‰  βˆ…))
193, 18anbi12d 632 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (CauFilβ€˜πΆ)((MetOpenβ€˜πΆ) fLim 𝑓) β‰  βˆ…) ↔ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (CauFilβ€˜π·)((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑓) β‰  βˆ…)))
2011iscmet 24651 . 2 (𝐢 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (CauFilβ€˜πΆ)((MetOpenβ€˜πΆ) fLim 𝑓) β‰  βˆ…))
2112iscmet 24651 . 2 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (CauFilβ€˜π·)((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑓) β‰  βˆ…))
2219, 20, 213bitr4g 314 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   Β· cmul 11057   ≀ cle 11191  β„+crp 12916  Metcmet 20785  MetOpencmopn 20789   fLim cflim 23288  CauFilccfil 24619  CMetccmet 24621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ico 13271  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-fbas 20796  df-bases 22299  df-fil 23200  df-cfil 24622  df-cmet 24624
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator