Theorem etransclem6 45690

Description: A change of bound variable, often used in proofs for etransc 45733. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
etransclem6	⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥,𝑦   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem etransclem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7422	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = (𝑦↑(𝑃 − 1)))
2		oveq2 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑥 − 𝑗) = (𝑥 − 𝑘))
3	2	oveq1d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑥 − 𝑗)↑𝑃) = ((𝑥 − 𝑘)↑𝑃))
4	3	cbvprodv 15890	. . . 4 ⊢ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑𝑃)
5		oveq1 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑘) = (𝑦 − 𝑘))
6	5	oveq1d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑘)↑𝑃) = ((𝑦 − 𝑘)↑𝑃))
7	6	prodeq2ad 45042	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑𝑃) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃))
8	4, 7	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃))
9	1, 8	oveq12d 7433	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)) = ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃)))
10	9	cbvmptv 5256	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃)))

Syntax hints:   = wceq 1533   ↦ cmpt 5226  (class class class)co 7415  ℝcr 11135  1c1 11137   · cmul 11141   − cmin 11472  ...cfz 13514  ↑cexp 14056  ∏cprod 15879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-seq 13997  df-prod 15880

This theorem is referenced by:  etransclem18  45702  etransclem23  45707  etransclem46  45730  etransclem48  45732