Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem9 45544
Description: If 𝐾 divides 𝑁 but 𝐾 does not divide 𝑀 then 𝑀 + 𝑁 cannot be zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem9.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
etransclem9.kn0 (𝜑𝐾 ≠ 0)
etransclem9.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
etransclem9.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
etransclem9.km (𝜑 → ¬ 𝐾𝑀)
etransclem9.kn (𝜑𝐾𝑁)
Assertion
Ref Expression
etransclem9 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem etransclem9
StepHypRef Expression
1 etransclem9.km . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾𝑀)
2 etransclem9.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
3 etransclem9.kn0 . . . . 5 (𝜑𝐾 ≠ 0)
4 etransclem9.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 dvdsval2 16219 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
62, 3, 4, 5syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
71, 6mtbid 324 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
8 df-neg 11463 . . . . . . 7 -𝑁 = (0 − 𝑁)
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → -𝑁 = (0 − 𝑁))
10 oveq1 7421 . . . . . . . 8 ((𝑀 + 𝑁) = 0 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = (0 − 𝑁))
1110eqcomd 2733 . . . . . . 7 ((𝑀 + 𝑁) = 0 → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
1211adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
134zcnd 12683 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
14 etransclem9.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1514zcnd 12683 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1613, 15pncand 11588 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
1716adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
189, 12, 173eqtrrd 2772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → 𝑀 = -𝑁)
1918oveq1d 7429 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) = (-𝑁 / 𝐾))
20 etransclem9.kn . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑁)
21 dvdsnegb 16236 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁𝐾 ∥ -𝑁))
222, 14, 21syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝑁𝐾 ∥ -𝑁))
2320, 22mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∥ -𝑁)
2414znegcld 12684 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℤ)
25 dvdsval2 16219 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
262, 3, 24, 25syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
2723, 26mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
2827adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
2919, 28eqeltrd 2828 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
307, 29mtand 815 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑀 + 𝑁) = 0)
3130neqned 2942 1 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  0cc0 11124   + caddc 11127  cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  cz 12574  cdvds 16216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-z 12575  df-dvds 16217
This theorem is referenced by:  etransclem44  45579
  Copyright terms: Public domain W3C validator