Theorem etransclem9 46822

Description: If 𝐾 divides 𝑁 but 𝐾 does not divide 𝑀 then 𝑀 + 𝑁 cannot be zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem9.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
etransclem9.kn0	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
etransclem9.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
etransclem9.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
etransclem9.km	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑀)
etransclem9.kn	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
etransclem9	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem etransclem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem9.km	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑀)
2		etransclem9.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3		etransclem9.kn0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
4		etransclem9.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		dvdsval2 16291	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
7	1, 6	mtbid 326	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
8		df-neg 11419	. . . . . . 7 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → -𝑁 = (0 − 𝑁))
10		oveq1 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) = 0 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = (0 − 𝑁))
11	10	eqcomd 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) = 0 → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
12	11	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
13	4	zcnd 12680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
14		etransclem9.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
16	13, 15	pncand 11545	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
17	16	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
18	9, 12, 17	3eqtrrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → 𝑀 = -𝑁)
19	18	oveq1d 7413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) = (-𝑁 / 𝐾))
20		etransclem9.kn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)
21		dvdsnegb 16309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ -𝑁))
22	2, 14, 21	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ -𝑁))
23	20, 22	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ -𝑁)
24	14	znegcld 12681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑁 ∈ ℤ)
25		dvdsval2 16291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
26	2, 3, 24, 25	syl3anc 1392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
27	23, 26	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
28	27	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
29	19, 28	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
30	7, 29	mtand 825	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 𝑁) = 0)
31	30	neqned 2966	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   class class class wbr 5102  (class class class)co 7398  0cc0 11075   + caddc 11078   − cmin 11416  -cneg 11417   / cdiv 11846  ℤcz 12570   ∥ cdvds 16288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-z 12571  df-dvds 16289

This theorem is referenced by:  etransclem44  46857