Theorem etransclem9 47169

Description: If 𝐾 divides 𝑁 but 𝐾 does not divide 𝑀 then 𝑀 + 𝑁 cannot be zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem9.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
etransclem9.kn0	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
etransclem9.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
etransclem9.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
etransclem9.km	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑀)
etransclem9.kn	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
etransclem9	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem etransclem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem9.km	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑀)
2		etransclem9.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3		etransclem9.kn0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
4		etransclem9.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		dvdsval2 16378	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
7	1, 6	mtbid 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
8		df-neg 11501	. . . . . . 7 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → -𝑁 = (0 − 𝑁))
10		oveq1 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) = 0 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = (0 − 𝑁))
11	10	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) = 0 → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
13	4	zcnd 12759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
14		etransclem9.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
16	13, 15	pncand 11627	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
18	9, 12, 17	3eqtrrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → 𝑀 = -𝑁)
19	18	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) = (-𝑁 / 𝐾))
20		etransclem9.kn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)
21		dvdsnegb 16396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ -𝑁))
22	2, 14, 21	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ -𝑁))
23	20, 22	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ -𝑁)
24	14	znegcld 12760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑁 ∈ ℤ)
25		dvdsval2 16378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
26	2, 3, 24, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
27	23, 26	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
28	27	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
29	19, 28	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
30	7, 29	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 𝑁) = 0)
31	30	neqned 2962	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  (class class class)co 7409  0cc0 11157   + caddc 11160   − cmin 11498  -cneg 11499   / cdiv 11928  ℤcz 12648   ∥ cdvds 16375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-z 12649  df-dvds 16376

This theorem is used by:  etransclem44  47204