Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem9 42815
Description: If 𝐾 divides 𝑁 but 𝐾 does not divide 𝑀 then 𝑀 + 𝑁 cannot be zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem9.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
etransclem9.kn0 (𝜑𝐾 ≠ 0)
etransclem9.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
etransclem9.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
etransclem9.km (𝜑 → ¬ 𝐾𝑀)
etransclem9.kn (𝜑𝐾𝑁)
Assertion
Ref Expression
etransclem9 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem etransclem9
StepHypRef Expression
1 etransclem9.km . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾𝑀)
2 etransclem9.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
3 etransclem9.kn0 . . . . 5 (𝜑𝐾 ≠ 0)
4 etransclem9.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 dvdsval2 15610 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
62, 3, 4, 5syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
71, 6mtbid 327 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
8 df-neg 10871 . . . . . . 7 -𝑁 = (0 − 𝑁)
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → -𝑁 = (0 − 𝑁))
10 oveq1 7156 . . . . . . . 8 ((𝑀 + 𝑁) = 0 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = (0 − 𝑁))
1110eqcomd 2830 . . . . . . 7 ((𝑀 + 𝑁) = 0 → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
1211adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
134zcnd 12085 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
14 etransclem9.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1514zcnd 12085 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1613, 15pncand 10996 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
1716adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
189, 12, 173eqtrrd 2864 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → 𝑀 = -𝑁)
1918oveq1d 7164 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) = (-𝑁 / 𝐾))
20 etransclem9.kn . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑁)
21 dvdsnegb 15627 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁𝐾 ∥ -𝑁))
222, 14, 21syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝑁𝐾 ∥ -𝑁))
2320, 22mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∥ -𝑁)
2414znegcld 12086 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℤ)
25 dvdsval2 15610 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
262, 3, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
2723, 26mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
2827adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
2919, 28eqeltrd 2916 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
307, 29mtand 815 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑀 + 𝑁) = 0)
3130neqned 3021 1 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  0cc0 10535   + caddc 10538  cmin 10868  -cneg 10869   / cdiv 11295  cz 11978  cdvds 15607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-z 11979  df-dvds 15608
This theorem is referenced by:  etransclem44  42850
  Copyright terms: Public domain W3C validator