Theorem etransclem9 46671

Description: If 𝐾 divides 𝑁 but 𝐾 does not divide 𝑀 then 𝑀 + 𝑁 cannot be zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem9.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
etransclem9.kn0	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
etransclem9.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
etransclem9.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
etransclem9.km	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑀)
etransclem9.kn	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
etransclem9	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem etransclem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem9.km	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑀)
2		etransclem9.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3		etransclem9.kn0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
4		etransclem9.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		dvdsval2 16224	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
7	1, 6	mtbid 324	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
8		df-neg 11380	. . . . . . 7 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → -𝑁 = (0 − 𝑁))
10		oveq1 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) = 0 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = (0 − 𝑁))
11	10	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) = 0 → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
13	4	zcnd 12634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
14		etransclem9.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
16	13, 15	pncand 11506	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
18	9, 12, 17	3eqtrrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → 𝑀 = -𝑁)
19	18	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) = (-𝑁 / 𝐾))
20		etransclem9.kn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)
21		dvdsnegb 16242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ -𝑁))
22	2, 14, 21	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ -𝑁))
23	20, 22	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ -𝑁)
24	14	znegcld 12635	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑁 ∈ ℤ)
25		dvdsval2 16224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
26	2, 3, 24, 25	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
27	23, 26	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
29	19, 28	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
30	7, 29	mtand 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 𝑁) = 0)
31	30	neqned 2939	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  0cc0 11038   + caddc 11041   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  ℤcz 12524   ∥ cdvds 16221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-z 12525  df-dvds 16222

This theorem is referenced by:  etransclem44  46706