Theorem etransclem9 42548

Description: If 𝐾 divides 𝑁 but 𝐾 does not divide 𝑀 then 𝑀 + 𝑁 cannot be zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem9.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
etransclem9.kn0	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
etransclem9.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
etransclem9.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
etransclem9.km	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑀)
etransclem9.kn	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
etransclem9	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem etransclem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem9.km	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑀)
2		etransclem9.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3		etransclem9.kn0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
4		etransclem9.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		dvdsval2 15610	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ))
7	1, 6	mtbid 326	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
8		df-neg 10873	. . . . . . 7 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → -𝑁 = (0 − 𝑁))
10		oveq1 7163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) = 0 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = (0 − 𝑁))
11	10	eqcomd 2827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) = 0 → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
12	11	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (0 − 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
13	4	zcnd 12089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
14		etransclem9.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
16	13, 15	pncand 10998	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
17	16	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
18	9, 12, 17	3eqtrrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → 𝑀 = -𝑁)
19	18	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) = (-𝑁 / 𝐾))
20		etransclem9.kn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)
21		dvdsnegb 15627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ -𝑁))
22	2, 14, 21	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ -𝑁))
23	20, 22	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ -𝑁)
24	14	znegcld 12090	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑁 ∈ ℤ)
25		dvdsval2 15610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
26	2, 3, 24, 25	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ -𝑁 ↔ (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ))
27	23, 26	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
28	27	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (-𝑁 / 𝐾) ∈ ℤ)
29	19, 28	eqeltrd 2913	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 + 𝑁) = 0) → (𝑀 / 𝐾) ∈ ℤ)
30	7, 29	mtand 814	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 𝑁) = 0)
31	30	neqned 3023	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  0cc0 10537   + caddc 10540   − cmin 10870  -cneg 10871   / cdiv 11297  ℤcz 11982   ∥ cdvds 15607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-z 11983  df-dvds 15608

This theorem is referenced by:  etransclem44  42583