Theorem etransclem8 45621

Description: 𝐹 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem8.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
etransclem8.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem8.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
etransclem8	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem8.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
2	1	sselda 3979	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		etransclem8.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12538	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
7	2, 6	expcld 14137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
8		fzfid 13965	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1...𝑀) ∈ Fin)
9	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
10		elfzelz 13528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
13	9, 12	subcld 11596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 𝑗) ∈ ℂ)
14	3	nnnn0d 12557	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	14	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
16	13, 15	expcld 14137	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑥 − 𝑗)↑𝑃) ∈ ℂ)
17	8, 16	fprodcl 15923	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃) ∈ ℂ)
18	7, 17	mulcld 11259	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)) ∈ ℂ)
19		etransclem8.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
20	18, 19	fmptd 7119	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3945   ↦ cmpt 5226  ⟶wf 6539  (class class class)co 7415  ℂcc 11131  1c1 11134   · cmul 11138   − cmin 11469  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12497  ...cfz 13511  ↑cexp 14053  ∏cprod 15876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-prod 15877

This theorem is referenced by:  etransclem18  45631  etransclem23  45636  etransclem46  45659