Theorem etransclem8 46817

Description: 𝐹 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem8.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
etransclem8.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem8.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
etransclem8	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem8.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
2	1	sselda 3937	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		etransclem8.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12523	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
7	2, 6	expcld 14160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
8		fzfid 13987	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1...𝑀) ∈ Fin)
9	2	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
10		elfzelz 13530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
12	11	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
13	9, 12	subcld 11543	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 𝑗) ∈ ℂ)
14	3	nnnn0d 12543	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	14	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
16	13, 15	expcld 14160	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑥 − 𝑗)↑𝑃) ∈ ℂ)
17	8, 16	fprodcl 15983	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃) ∈ ℂ)
18	7, 17	mulcld 11203	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)) ∈ ℂ)
19		etransclem8.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
20	18, 19	fmptd 7096	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5182  ⟶wf 6518  (class class class)co 7397  ℂcc 11072  1c1 11075   · cmul 11079   − cmin 11415  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12482  ...cfz 13513  ↑cexp 14075  ∏cprod 15934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-rp 12995  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14345  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-clim 15516  df-prod 15935

This theorem is referenced by:  etransclem18  46827  etransclem23  46832  etransclem46  46855