Theorem etransclem8 46693

Description: 𝐹 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem8.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
etransclem8.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem8.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
etransclem8	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem8.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
2	1	sselda 3915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		etransclem8.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12470	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
7	2, 6	expcld 14100	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
8		fzfid 13927	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1...𝑀) ∈ Fin)
9	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
10		elfzelz 13470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
12	11	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
13	9, 12	subcld 11497	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 𝑗) ∈ ℂ)
14	3	nnnn0d 12490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	14	ad2antrr 732	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
16	13, 15	expcld 14100	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑥 − 𝑗)↑𝑃) ∈ ℂ)
17	8, 16	fprodcl 15909	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃) ∈ ℂ)
18	7, 17	mulcld 11157	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)) ∈ ℂ)
19		etransclem8.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
20	18, 19	fmptd 7056	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5154  ⟶wf 6482  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  1c1 11031   · cmul 11035   − cmin 11369  ℕcn 12166  ℕ₀cn0 12429  ...cfz 13453  ↑cexp 14015  ∏cprod 15860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15442  df-prod 15861

This theorem is referenced by:  etransclem18  46703  etransclem23  46708  etransclem46  46731