Theorem etransclem8 43783

Description: 𝐹 is a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem8.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
etransclem8.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem8.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
etransclem8	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem8.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
2	1	sselda 3921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		etransclem8.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12274	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
7	2, 6	expcld 13864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
8		fzfid 13693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1...𝑀) ∈ Fin)
9	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
10		elfzelz 13256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
12	11	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
13	9, 12	subcld 11332	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 𝑗) ∈ ℂ)
14	3	nnnn0d 12293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	14	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
16	13, 15	expcld 13864	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑥 − 𝑗)↑𝑃) ∈ ℂ)
17	8, 16	fprodcl 15662	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃) ∈ ℂ)
18	7, 17	mulcld 10995	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)) ∈ ℂ)
19		etransclem8.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
20	18, 19	fmptd 6988	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   · cmul 10876   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  ↑cexp 13782  ∏cprod 15615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616

This theorem is referenced by:  etransclem18  43793  etransclem23  43798  etransclem46  43821